挖掘教材深意，造就课堂韵味

2018-01-08张治才

数学教学通讯·高中版 2018年10期

张治才

[摘要] 从领会教材编写意图，深挖章头引言含义，用好教材所列素材等方面，阐述了如何挖掘教材深意，让数学课堂充满数学韵味.

[关键词] 教材;课堂;数学韵味

上一节好课是每个高中数学教师每一天的追求.怎样的数学课是好的数学课？数学教育家波利亚说：“当学生把所有的数学知识都忘记的时候，留在学生脑海深处的就是学生真正内化的数学本质的东西.”笔者认为，好的数学课应该充分渗透数学核心素养，能够在学生脑海中留下更多的数学本质的烙印，为学生的终身发展服务，笔者把这样的数学课堂称之为充满数学韵味的课堂.

如何让数学课堂充满数学韵味？用好教材是关键.在教学过程中，真正做到“用教材教”，而不是“教教材”. 这需要数学教师吃透数学教材，从课程标准和数学教材本身的角度挖掘教材的深意，把教材中隐藏的数学思想方法以合理的形式呈现出来，把教材中所隐含的前后联系用符合学生认知规律的方式在课堂中展现出来，把教材中蕴含的数学问题的研究思路挖掘出来. 只有这样深层次挖掘教材，才能让数学课充满数学韵味. 下面结合自己的教学实践，例谈如何挖掘教材深意，造就课堂韵味.

领会教材编写意图，让数学课堂充满数学化的韵味

教材的每一章、每一節，甚至每一句话，都有特定的意图. 只有充分领会教材编写的意图，才能创造性地使用教材，把教材中隐含的数学思想挖掘出来，并在教学过程中合理地组织教学，进而让数学课堂充满数学化的韵味.

教材中有的内容看似简单，甚至被部分老师认为可有可无，在该内容的教学中本应是一节课的内容十几分钟就完成了. 出现这种现象的主要原因在于教师没有深层次地领会教材编写的意图，没能把教材背后隐藏的数学思想方法挖掘出来. 这样的教学必定会丢失该节内容本应有的数学育人价值.

案例1：苏教版高中数学教材《必修3》第二章第一节“简单随机抽样”，这节内容在很多老师看来，非常简单，通常在进行这部分内容的教学过程中，草草了事，导致很多有价值的数学教育的元素丢失. 但当我们仔细挖掘教材时，发现有很多数学化的东西隐藏在本节教材中. 笔者在一次市评优课的教学过程中，知识的生成部分进行了如下的设计：

1. 问题情境

情境1：2013年度，湖南卫视的收视率居地方卫视的榜首，收视率的得到需要调查全中国所有电视用户吗？

情境2：为应对钓鱼岛局势，提升国防力量，某军工厂生产了一批炸弹，需要检测这批炸弹的威力，有什么好的办法？

情境3：在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次民意测验，调查查兰顿和罗斯福中谁将当选下一届总统. 为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表（注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有），通过分析收回的调查表，显示查兰顿非常受欢迎，于是此杂志预测查兰顿将在选举中获胜. 实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜. 其数据如下：

2. 数学探究

探究一：如何科学地抽样？

实例：为了提升我校办学水平，需要从我班所有同学中随机抽取10名同学进行民意调查，应如何抽取？

（1）讨论：学生讨论具体的抽取办法和步骤.

（2）交流：学生代表回答讨论结果，请其他同学补充、完善.

（3）一般化：将刚才的问题一般化，归纳出用抽签法从个体数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的一般步骤：

①将总体中的N个个体编号;

②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上;

③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀;

④从箱中每次抽出一个号签，连续抽出k次;

⑤将总体中与抽到的号签编号一致的k个个体取出.

探究二：如何将抽签法进行改进，以弥补其不足？

（1）抽签的本质是什么？

随机地抽出一组数.

（2）对比抽签法的步骤，用随机数表法解决上述实例.

（3）归纳出随机数表法的一般步骤：

①对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）;

②在随机数表中任选一个数作为开始;

③从选定的数开始按一定方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出;若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过;如此继续下去，直到取满为止;

④根据选定的号码抽取样本.

（4）引导学生阅读教材中随机数表的制作方法，从中体会运用随机数表法抽样的合理性.

探究三：抽签法与随机数表法有哪些共同特征？

引导学生结合抽签法和随机数表法的步骤，归纳出两种方法的共同点：①个体数有限;②逐个抽取;③不放回地抽取;④每个个体被抽到的可能性相同.在此基础上，得出简单随机抽样的概念.

设计说明：本节课设计的总体思路：从问题情境1、问题情境2感受抽样统计的重要性和必要性问题情境3引出如何科学抽样通过具体实例探究科学抽样的方法：抽签法反思抽签法的不足探究如何改进抽签法，弥补其不足（随机数表法）归纳两种抽样方法的共同点，得到简单随机抽样的概念.

本节内容有两条线索，一条主线：从生活经验数学化得到抽签法，再从抽签法进一步数学化，得到随机数表法. 两种方法有着非常强的内在逻辑联系，随机数表法是对抽签法的优化，让学生体会两次数学化的过程是本节课的核心. 另一条暗线隐藏教学活动中，那就是不断提出问题，解决问题，再不断提出新问题的过程，这正符合数学的发展历程.

建构数学的过程分三步：第一步是探究如何科学地抽样，这个过程中，以实际的例子让学生讨论、交流、完善，从而归纳出抽签法的一般步骤，并用数学语言来描述，整个过程以学生为主体，教师通过提问，适当引导，充分发挥学生的主体能动性.从第一步到第二步，让学生反思抽签法的不足，引导学生思考解决问题的办法，自然过渡到随机数表法. 从抽签法到随机数表法的数学化过程，是本节课的难点，为突破难点，对比抽签法的步骤，在教师的引导下，通过师生互动，进行教学.第三步，探究两种抽样方法的共同点，可以进一步巩固两种抽样方法，并在此基础上，归纳、提炼出共同点，水到渠成地得到简单随机抽样的概念.

在案例1中，一节看似简单的课，当我们充分挖掘教材编写意图，把教材中隐含的数学思想即两次数学化的过程进行充分挖掘，这种充满数学化韵味的课堂对学生的数学思维的发展很有益.

深挖章頭引言含义，让数学课堂充满探究的韵味

教材的每一章都有章头引言，章头引言要么在内容上起到统领全章的作用，要么在问题上是全章的核心问题，提出了研究这一章内容的必要性. 在教学过程中，深挖章头引言的含义，并在课堂教学中合理地用好章头引言，通过对章头引言充分利用，可以让数学课堂充满探究的韵味.

案例2：苏教版高中数学教材《必修4》中的“三角函数”一章，章头引言提出了这样一个问题：生活中有很多“按照一定规律周而复始”的现象，比方说摩天轮问题，把生活中的现象抽象出数学问题：如何用数学模型来刻画点P在圆周上周而复始的运动？

这是全章的核心问题，全章都在围绕着这个问题展开. 为了找到刻画周期现象的数学模型，首先解决了如何去刻画圆周上点的位置，可以建立直角坐标系，把点P用直角坐标P（x，y）来表示，也可以以水平方向为参照方向，把点P用（r，α）或者（r，l）来表示. 围绕着如何用数学模型来刻画点P在圆周上周而复始的运动，自然就有了如下的几个问题：

（1）当点P周而复始地运动时，角α如何刻画？

（2）r，l，α之间有怎样的联系？

（3）x，y，r，α之间有怎样的关系？

（4）刻画点P在圆周上周而复始的运动的数学模型到底是什么数学模型？这样的数学模型是什么时候建立起来的？

（5）这样的数学模型是如何刻画点P在圆周上周而复始的运动的？

（6）这样的数学模型具有怎样的性质？

设计说明：在教学中，充分运用章头引言，合理自然地引导学生提出上述问题，并探究解决上述问题.在探究的过程中，问题（1）的解决就有了任意角的概念;问题（2）的解决就有了弧度制;问题（3）的解决有了合理定义任意角的三角函数这一节内容;问题（4）让学生理解三角函数是函数，它是刻画生活中周而复始的现象的数学模型;问题（5）和问题（6）的解决有了三角函数的周期性和三角函数的图像与性质这两节的内容.

可以看出，全章内容通过章头引言进行了很好的连贯，每一节内容的学习都有它的必要性（解决上述问题），每一节内容的学习也都那么自然.在教学过程中，笔者引导学生提出上面的问题，并组织合理探究，探究上述问题如何解决.在探究中，自然地建构新的知识. 让全章内容融为一体，既让学生对三角函数的认识非常深刻，又能提升学生数学探究的能力和数学学习的兴趣.

由此可见，在数学教学中，深度挖掘章头引言，可以让全章的数学内容更具有知识的生长点. 围绕着知识的生长点，合理组织探究活动，可以让数学课堂充满探究的韵味. 在数学探究的过程中，主动地建构知识，对学生数学核心素养的发展具有较好的促进作用.

用好教材所列素材，让数学课堂充满理性的韵味

为了达成课程标准的要求，教材在编写的过程中，每节内容都有特定的素材.在语言的形式上有图形语言、文字语言、符号语言，在教材内容的呈现上，有的以例题、习题的形式呈现，有的以思考、链接的形式呈现.每一个教材中的素材，都有其独特的作用. 教师应该在准确理解教材编写意图的基础上，创造性地使用教材中的素材，让数学课堂充满理性的韵味.

1. 问题情境

问题情境1：某黄金店因故只有一制造不够精确的天平可用（天平的左右两臂长不相等，左臂长为l1，右臂长为l2），商家提议：先把黄金放在天平的左盘，称得质量为a，再把黄金放在右盘，称得质量为b，把两次所得的质量平均一下，作为黄金的质量.我要不要接受商家的建议？

（1）PM=_________，半圆的半径R=_________.

（2）当点P在半圆上运动时，比较PM与R的大小关系.

2. 数学探究

学生分小组讨论，每四个同学一个小组，讨论后交流结果，以教师提问，小组派代表回答，教师在学生回答的基础上板书三种证法：比较法、分析法、综合法.

探究二：学生分小组探究下列问题.

（1）基本不等式中，若去掉a≥0，b≥0这个前提条件，结论成立吗？

（2）如何从图形角度理解当且仅当a=b时，取“=”.

（3）从基本不等式左右两边的式子特征，你能联想到以前学过的什么知识？

（两个正数的等差中项大于等于它的等比中项）

案例3中，合理用好教材所呈现的素材，将教材进行创造性的处理，让学生经历从感性到理性的思维发展过程，可以让学生充分感受数学的理性的魅力.