课堂不是给予，而是唤醒

罗风云

[摘  要] 学生的数学学习应该是一个自我探究、自我建构的过程，教学中，教师应该以问题为载体，唤醒学生进行自主探究. 为此，笔者开设了一节校际公开课，课题是人教A版必修1的“幂函数”，本文对课堂教学过程进行了摘录，并针对几个主要环节的设计给出了自己的思考.

[关键词] 唤醒;自主探究;幂函数;思考

近期，笔者开设了一节校际公开课，课题是人教A版必修1的“幂函数”，本节课笔者以问题为载体，唤醒学生进行自主探究，注重学生探究能力与自主学习能力的培养，体现了“以生为本”的课改新理念，在经历了多次打磨后，教学时取得了较为满意的效果. 现对课堂教学过程摘录如下，并针对几个主要环节的设计谈一下自己的思考.不足之处，望同行批评指正.

教学实录

1. 情境创设

问题1：请写出下列函数的解析式：

①如果某人购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么他需要付的钱数P（元）关于购买的蔬菜量w（千克）的函数解析式为_____.

②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S关于a的函数解析式为_____.

③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V关于a的函数解析式为_____.

④如果正方形的面积为S，那么正方形的边长a关于S的函数解析式为_____.

⑤如果某人t s內骑车行进了1 km，那么他骑车的速度v（km/s）关于t的函数解析式为___________.

问题2：如果将上述函数解析式左侧的因变量改成y，右侧的自变量改成x，请仔细观察得到的函数解析式，它们具有什么共同特征？是指数函数吗？

其共同特征是：①幂的形式且系数为1;②幂的底数是自变量x;③幂的指数是常数.它们都不是指数函数.

设计意图：从特殊到一般，将实际问题转化为数学问题，同时，统一自变量与因变量之后，让学生更能直观地感知幂函数解析式的共同特征，达到锻炼学生的观察能力与概括能力的目的.

2. 概念引入

师：经过以上的分析，我们把形如y=xα（α∈R）的函数叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数.

问题3：你能说出幂函数y=xα（α∈R）与指数函数y=ax（a>0，a≠1）有什么区别吗？

生3：很明显，这两个函数的自变量的位置与常数的位置是颠倒过来的.

设计意图：针对学生容易将幂函数和指数函数混淆的情况，组织学生对两类函数的解析式进行对比，从而达到强化记忆的目的.

设计意图：通过此题，让学生进一步了解幂函数的概念，掌握待定系数法.

3. 新知探究

问题4：研究函数一般从哪些方面着手？类比之前研究指数函数、对数函数的方法你准备怎样研究幂函数？

生5：研究函数一般从其定义域、值域、奇偶性与单调性等方面着手，考虑借助幂函数的图像研究幂函数的性质.

设计意图：引导学生类比之前研究指数函数与对数函数的思路，去研究幂函数的图像与性质.

设计意图：首先引导学生归纳未知函数的作图思路与具体操作方法，其次将五个幂函数的图像放在同一个直角坐标系中，有利于对比总结出幂函数的一些共性.

问题5：根据上述图像的特征，填写下面的表格（生7回答，教师板书）：

设计意图：由形到数，发现5个具体幂函数的性质，为探寻幂函数的共性做好铺垫.

师：从以上可以看出，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的图像和性质存在着较大的差异，下面就请同学们通过观察上述函数的图像来探寻幂函数的一些共性，我们来看以下5个问题：

问题6：幂函数图像过定点及象限的情况.

生8：观察图1可知：幂函数过定点（1，1），不一定过（0，0）;幂函数图像过第一象限，不过第四象限.

师：你能利用幂函数的解析式y=xα（a∈R）解释其中的原因吗？

生9：1α=1，因此幂函数过定点（1，1）;x>0，y=xα=（elnx）α=eαlnx>0，因此幂函数图像过第一象限.

问题7：幂函数在区间（0，+∞）上的单调性如何？

生10：观察图2可知：

α>0时，幂函数y=xα在（0，+∞）上是增函数;

α<0时，幂函数y=xα在（0，+∞）上是减函数.

师：你能通过解析式说明以上结论为何成立吗？

生11：y=xα=（elnx）α=eαlnx，根据复合函数的单调性，由ex和lnx的递增性可以得到上述结论.

师：α=0呢？另外，通过幂函数在区间（0，+∞）上的单调性，你能判断幂函数在区间（-∞，0）上的单调性吗？

生12：α=0时，幂函数变为y=x0=1（x≠0），此时无单调性. 判断幂函数在区间（-∞，0）上的单调性借助函数的奇偶性判断即可.

问题8：α>0时，幂函数y=xα在（0，+∞）上的图像的高低与指数的变化有何关系？

问题9：幂函数y=xα（x∈（0，+∞）），α>1与0<α<1的图像有何不同？

生14：观察图3可知：当α>1时，幂函数y=xα的图像向下凸出;当0<α<1时，幂函数y=xα的图像向上凸出. （教师借助几何画板动态检验，如图4）

问题10：减函数在（0，+∞）的图像特征又如何呢？

生15：观察图5可知：α<0时，幂函数y=xα在第一象限的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.

设计意图：设计问题串，利用学生的自主探究完成幂函数图像与性质的梳理，一方面提高学生对教学的参与度，另一方面引导学生学会如何透过图像研究函数性质的方法.

4. 例题精析

例1：已知幂函数f（x）=（m-1）xm2-2m-2，请画出该函数的草图. （学生自行解决，之后教师利用DrawTools软件进行作图，验证草图的正确与否）

设计意图：首先利用此题强化了幂函数的概念，其次使学生明白为了得到函数草图就必须要去研究函数的一般性质：定义域、值域、单调性、奇偶性，让学生体验得到函数图像的过程，体现学生的主体地位，让学生享受成功带来的乐趣的同时，也为高考中一种常见题型（以未知函数解析式找寻图像的选择题）提供了解决思路.

设计意图：引导学生利用之前学过的构造函数法比较大小，此法究其本质而言是利用函数的单调性判断大小，通过例2使学生在构造函数时要注意考虑定义域，通过拓展延伸使学生关注两点：一是幂指数相同时构造成幂函数，底数相同时构造成指数函数;二是对指数函数与幂函数的单调性进行辨析.

思考

布鲁纳说过：探索是数学的生命线，没有探索就没有数学的发展. 目前以自主、合作、探究为主的教学方式已成为课堂教学中一道亮丽的“景致”，学生开展自主探究是以问题为载体，唤醒学生自主探究，在探究活动中充分发挥学生的自主性和能动性，让学生经历感悟、体验、反思和矫正的过程，从而实现学生自主学习能力的提高. 本节课笔者采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值. 教学过程中笔者以“问题串”的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结.为了设计好本节课，笔者作了如下的思考：

一个成功的新课导入能为课堂教学创设良好的开端，可以明确学生的思维方向和学习目标，可以拉近学生与学习材料之间的距离，降低理解学习材料的难度，同时能集中学生的注意力，激发强烈的学习兴趣和探究欲望. 对于新课的导入，教师需要创设合适的问题情境，最为重要的是切中主题，应该坚持启发性、目的性、关联性和简短性等原则，要凸显“数学味”. 为此，笔者深入挖掘课本资源，设计了一个问题串，通过从问题情境中抽象出具体函数，将得到的五个函数解析式左侧的因变量改成y，右侧自变量改成x，使函数的解析式变成统一格式，使学生通过观察迅速概括出幂函数解析式的共同特征，这样做有效地降低了学习难度，“唤醒”了学生的“食欲”.

在新知探究的过程中，笔者仍然通过“问题串”的形式组织教学. 对于课堂提问，笔者认为不宜过多地放在学生的“已知区”与“未知区”，也就是说问题不能过易或过难. 经验丰富的教师经常润物细无声，课堂提问的起点虽然不高，但是通过一系列问题串的引导，却总能激发学生学习的热情. 这些教师比较善于在学生的“最近发展区”与“已知區”两者的结合处（即在知识的“增长点”上）设计问题，这样处理对利用学生的已有知识对新知识进行同化非常有利，有助于学生形成、巩固和完善新的认知结构，促使学生的认知能力与思维能力迅速提高，从而实现将学生认知结构中的“未知区”转化为“已知区”的目的. 本节课之前学生已经系统地学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法，因此，本节课笔者考虑放手让学生自己进行合作探究学习. 在本节课新知探究的过程中，笔者引导学生首先总结研究函数的思路和方法，考虑到学生对抽象的幂函数及其图像缺乏感性的认识，于是，笔者采用从特殊到一般、再从一般到特殊的方式安排教学，根据学习目标所涉及的相关知识都设计了问题串.通过这样的问题串，与学生已有的知识结构相衔接，学生对未知的情况就有了极大的兴趣，同时学生对归纳幂函数的图像特征与性质有了明确的目标与方向，在一步一步地“自我唤醒”中，完成了对幂函数图像与性质的建构.

高考试题“源于教材，高于教材”，很多试题是对课本的基础知识与例习题进行“深加工”后的成果，因此，笔者认为课堂教学要用教材教，而不仅仅是教教材，在具体的实践中绝不能照搬教材，得根据学情创新教学内容，精心设置例习题，强调知识间的综合应用能力，“唤醒”学生利用所学知识急于解决问题的欲望. 在设计例题时，笔者考虑到学生已经对幂函数的图像与性质有了一个初步的了解，笔者并没有安排教材中的例题，而是另辟蹊径，安排例1让学生根据所学知识绘制未知函数f（x）=x-2的草图，之后利用信息技术软件进行现场作图，检测结果正确与否，让学生体会到学习数学是有用的、有价值的，同时针对学生容易将幂函数和指数函数混淆的情况，安排例2利用构造函数法比较大小，组织学生对这两类函数的解析式与单调性进行辨析，找出新旧知识的衔接点，从另一个层面进行复习巩固.