深度推行一题多解，方法思想并重齐行

郭琪

[摘  要] 一题多解是强化学生知识脉络、深度拓展解题思维的一种重要的学习方式，对于一题多解的开展应该从方法和思想两个层面来进行，让学生在学习中不仅获得解题的方法技巧，还获得数学思想的提升. 结合两道解析几何题分别讲解方法、思想两个层面的多解推进.

[关键词] 一题多解;圆锥曲线;方法;思想;素养

在现阶段的多解探究学习中主要沿用了“问题分析—多解尝试—方法总结”的模式，对于多解的角度和层面定位较为模糊，不能对问题的多解分析形成更为透彻的认识，实质上一题多解应该从方法和思想两个层面来渗透，这样两者结合的多解学习更能体现一题多解开展的价值.

基于方法的多解

开展多题一解，从方法层面多视角地对同一问题进行解答是现阶段强化学生知识、提升学生能力最为重要的一种方式. 采用不同的方法，基于不同的原理来分析问题需要学生掌握基本的运算法则和较为清晰的解题思路，下面结合一道考题讲解方法层面的多解.

考题：（2017年全国卷1第10题）已知抛物线C：y2=4x，F为其焦点，过焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，且直线l1与抛物线C相交于点A和B，直线l2与抛物线C相交于点D和E，求AB+DE的最小值.

分析：相互垂直的直线l1，l2与抛物线C交于四点，求AB+DE的最小值，需要构建关于直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程，从而分别找到AB和DE关于相关参数的关系. 构建的方法可以采用直接法和参数法在直角坐标中进行，也可以采用极坐标法在极坐标系中进行，需要注意的是获得的AB+DE的值必然是一个取值范围，要注意其等号成立的条件，下面将详细讲解直接法、参数法和极坐标法的解题过程.

解法1：直线法

解法2：参数法

解法3：极坐标法

由题意可知p=2，以抛物线焦点为极点建立极坐标系，抛物线开口向右，极坐标方程为ρ=■，假设点A的极角为α，点B的极角为π+α，AB=ρA+ρB=■，同理可得DE=■，AB+DE=■+■=■≥16，当且仅当α=■时，AB+DE取得最小值16.

点评：直接法、参数法和极坐标法都是构建直线或曲线方程常用的方法，都有其自身的特点，以参数法为例，通过参数的设定，利用参数来描述直线的变化规律，将待求问题转化为研究解析几何的参数关系，避免了中间繁复的运算过程. 三种方法的解题思路均是相同的，构建直线方程是基础，探究弦长与相关参数关系是关键，选择合理的等号成立条件是重点.

■基于思想的多解

在解题过程中渗透数学思想是数学解题的更深层次，同样开展数学一题多解的学习可以从思想层面进行，即采用不同的数学思想对同一问题进行分析、运算，从而降低思维难度，实现问题的简单作答，该过程不仅可以强化解题技巧，还可以深入学习解题思想，实现思想方法与实战练习的结合，接下来将结合一道模考题讲解思想层面的一题多解.

考题：已知一抛物线C：y=x2+1，以及x轴上一动点A（a，0），过点A引出抛物线的两条切线AP和AQ，其切点分别为点P，Q，设其切线AP，AQ的斜率分别为k1和k2.

（1）试证明k1k2=-4;

（2）试分析直线PQ是否会通过定点，如果通过请写出定点坐标，否则说明不通过的理由.

第（1）问分析：证明两斜率之积为一定值，该过程必然需要将斜率用相关参数表示，则需要联立直线与抛物线的方程，为减少计算量可尝试采用设而不求思想和类比思想.

解法1：设而不求思想

假设经过点A并与抛物线相切的直线斜率为k，切线方程为y=k（x-a），联立切线方程和抛物线解析式，y=k（x-a），y=x2+1，整理得x2-kx+（ka+1）=0，Δ=k2-4ak-4=0，k1和k2是方程的两个解，所以有k1k2=-4，证毕.

解法2：类比思想

第（2）问分析：分析直线通过的定点，需要求出直线的方程，总体上来说可以先设出直线上点P和Q的坐标，通过关系联立，基于两点来建立直线的斜率公式，从而逐步求解直线的方程，从思想层面来分析构建过程可以采用类比思想、整体代换思想和设而不求思想.

解法1：类比思想

解法2：整体代换思想

解法3：设而不求思想

点评：上述题目为高中解析几何问题，计算量大、求解复杂是其最为典型的特点，因此从思想层面的分析、简化步骤可以采用设而不求、类比和整体代换等思想，题目的求解过程也同样是基于上述思想来设未知量，构建基本的解题框架，最终实现了问题的高效求解.

关于教学实践的启示

1. 扎实基础知识，生成程序化思路

小问题蕴含大智慧，同样的大问题需从基础问题入手，尤其适用于高考、模考中的综合题，上述求解解析几何的综合题是从不同的角度进行的分析解答，可以明显注意到无论是哪种角度都是采用最为基础的方法、定理以及公式，运用基础知识来逐步探究问题，从而构建问题的解题思路. 当然，基础知识是一方面，灵活选用是解题的另一方面，但是没有扎实的基础以及对基础知识的深刻理解，就做不到准确把握解题方向，无法顺利推进解题进程，更无法在解题过程中抓住思维灵光一闪的瞬间，促成解题思维的顿悟. 因此，注重基础、生成程序化思考问题的习惯应成为学习的重要任务.

2. 并重方法与思想，扩充思维深度

传统的多解探究更为注重对于方法选取的思考，多解的思想过于狭隘，在当下注重学生方法、能力、思想等多方面提升的环境下，开展一题多解的探究应从方法和思想两方面来进行，尤其是更深层的多思应成为多解学习过程中的重点. 将方法和思想结合起来，在多解的过程中渗透数学思想，用思想方法来引领一题多解，让学生不仅掌握数学的解题方法，还要通过思想方法的多思获得数学思想的提升，从而真正实现“解一道题，会一类题”的学习效果，确保学生思想深度的扩充.

3. 培养思维品质，落实核心素养

在中学教学中落实数学的核心素养是课改推行的首要任务，提升数学的核心素养，不止于解题本身，是真正做到理解数学，掌握数学. 对于圆锥曲线问题，解题的关键能力是数学关系的逻辑推理和数学的技巧运算，做到两者的完美结合可实现问题的完美作答，对于一题多解同样适用，只是在前者的基础上增加了更多思想层面的思考. 因此，在实践教学中需要引导学生更多地掌握解题的运算法则、解题的思路要点，领悟解题的思维视角，逐步帮助学生养成有条理、重论据、讲道理的思维品质，促进学生数学核心素养的提升.

写在最后

总之，对于一题多解的探究需要从方法和思想两个层面来进行，透过问题现象，把握问题本质，从解题思路入手，选取合适的解题方法和解题思想，用思想指导方法，用方法簡化过程，最终实现高效解题的目的. 另外，在教学中要合理、适度地开展一题多解，通过方法和思想的双重指导，提升学生解题能力，发展学生思维的灵活性和发散性，在解题中逐步培养学生的思维品质，形成数学的核心素养.