基于“四基”的概念教学设计与反思

吕兆勇

[摘  要] 本文通过“平面向量的数量积”这一课例，详细说明了数学课堂教学中，在充分尊重学生认知的基础上，“以问题为主线、以体系为依托、以学生为主体、以讨论为引导”培养学生“四基”能力，并进行了有益的探索和尝试.

[关键词] “四基”;平面向量的数量积;知识框架;自主构建

在《2017年江苏省高考说明》数学科目中的数学高考试卷命题指导思想中，明确提出要“突出数学基本知识、基本技能、基本思想方法的考查”“重视数学基本能力和综合能力的考查”以及“既考查中学数学的基本知识和方法，又考查考生进入高等学校继续学习所需要的基本能力”.

其中的基本知识、基本技能、基本思想方法以及进入高等学校继续学习所需要的基本能力，就是《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标明确的“四基”，即基本知识、基本技能、基本思想方法以及基本活动经验. 基础知识、基本技能是学生掌握高中数学的两个重要基础，但学生只有基础知识、基本技能是不够的，学生还要学会思考，还要去经历，还要有体验，而基本思想和基本活动经验，是在基本知识、基本技能的基础上发展而依存的，其实质就是让学生学会进行数学的思考. 从以前的“双基”（即基本知识、基本技能）到现行的“四基”的变化是对教师教学效果的一个显性目标到隐性目标的一次跨越，是培养学生数学核心素养的必然趋势.

笔者从“四基”要求出发，本着提高学生的多维学习能力、培养学生数学核心素养的教学理念，精心设计了“平面向量的数量积”一课，供读者讨论.

对教学内容的基本认识

《平面向量的数量积》是苏教版必修4第2章第4节内容. 在教材配套的《高中数学教学参考书》中介绍了本章编写意图及教学建议，其中有这样的叙述：“本章首先根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念（数学模型），然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，最后再运用数学模型去解决实际问题，这样处理体现了数学知识产生和发展过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的，同时也有助于数学应用意识的发展.”

教学设计

1. 基于学生基本活动经验，创设问题情境，实现知识合理迁移

基本活动经验是在学生参与数学学习的活动中积累起来的，数学基本活动经验的积累是一个长期的过程，不能指望一两次活动就能完成.因此，应当把活动经验的积累看作是一个长远的目标，教师要结合不同学段学生的发展和学习内容，用具有连续性的例子，使学生在学习过程中，持续不断地参与数学探究的过程，逐步形成数学活动经验，为后面的学习积累一定的研究问题的基本思想和基本方法.

情境：

问题1：请同学们回顾一下，我们研究向量的背景及研究了向量的哪些内容.

预设：其中研究了向量的哪些运算？（向量的加法、减法、数乘）

问题2：以上的運算是向量与向量之间的加、减法以及实数与向量的运算，那么向量与向量还可以进行什么样的运算？你接触过这样的运算吗？

预设：（从我们研究向量的实际情境出发，引导学生回归物理力学中矢量与矢量之间还有哪些运算）我们是如何来研究向量的加法运算的？物理中有没有两个向量的其他运算形式出现？

问题3：物体在光滑的水平面上，在力F作用下物体发生了位移s（力F与位移s方向上的夹角为θ），那么该力对物体所做的功为多少？

问题4：物理力学中是怎么样定义功的？（力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积：W=Fscosθ）

问题5：这两个矢量之间的运算是一种区别于向量的加法与减法的运算，那我们就有必要重新定义这种运算，如何定义？

设计意图：从学生的基本活动经验出发，用了与向量的加法、减法一脉相承的物理中的问题情境，结合学生的已有认知，创设适合学生思维发展的问题串，使学生在已有活动经验基础的支撑下，类比得到新的研究内容，形成研究此类问题的基本思想和基本方法.

2. 基于数学基本思想方法，研究概念的生成过程，建构数学

数学基本思想指的是“数学抽象的思想”“数学推理的思想”以及“数学模型的思想”. 数学中的许多版块内容都是在这些基本思想的指导下进行编写的. 教师在教学中要把这些思想贯穿始终，并对这些思想进行有意识的提炼和培养.

问题6：这里的F和s都是两个既有大小又有方向的量，W=Fscosθ，这样写合适吗？

（生：应该再把其改为W=Fscosθ就比较合适了）

设计意图：通过以上的问题，使学生通过感受、观察、反思、抽象、概括等这样的数学基本技能，体会到向量的数量积可以通过实数的运算得到体现.

问题7：从向量的运算角度看，这个结论可以用向量的运算方式表示出来吗？

（请同学们考虑一下后，得到了以下的结果，即abcosθ，即为a的模乘以b的模再乘以a与b夹角的余弦值（第一次对数量积的定义））

问题8：这样的两个向量之间的运算，我们如何来定义？从特点入手，它与之前所学的向量的加法、减法、数乘的运算结果上来看有什么不一样的？

问题9：既然运算的结果是数量，那么这个数量与哪些量有关系，其范围是什么？

生：a的模、b的模以及a与b夹角的余弦值. a≥0，b≥0，cosθ的范围要看a与b夹角θ的范围是什么.

师：那么a与b夹角θ的范围是什么？（引导学生进行讨论）

预设：学生活动的结果主要有以下几种情形，所以，a与b的夹角θ∈[0，π].

问题10：这样的定义是否合理？（①引出学生对起点不在同一点的两个向量夹角的讨论;②引出对于向量夹角中非零向量a与b夹角的要求;③引出对于零向量与其他向量夹角的讨论）

生：不合理. 因为两个向量存在夹角，从角的定义来看，必须要有同一起点的两条射线，即两个向量的夹角模长必须非零. 所以要修改为：非零向量a与非零向量b的夹角θ∈[0，π].

师：那么对于0与其他向量的夹角我们如何定义呢？请同学们试着定义一下.

预设1：0与任意向量的夹角是任意的.

预设2：0与任意向量的夹角不存在.

对两种预设的夹角情况进行讨论，哪种更合适. 在学生没有明确的判断方向时，引导学生回到物理中，一个力的大小为0，那么其对物体所做的功的大小为0，是有具体实际意义的.抽象到数学中，也就是说0与其他向量的运算的结果为0，仍应该有意义，也就是说0bcosθ仍应该可以运算，即其夹角θ仍应存在，故第一种定义更合理.

师：怎样更精确地表述两个向量的数量积的概念呢？

从而得到向量的数量积的定义. （由学生小结，逐步完善得到第二次对数量积的定义）

设计意图：通过知识发生和发展过程的展示，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想;通过互动、探究、交流的基本数学活动方式，培养学生探求新知识、创设新概念的创新意识. 同时，在对实际问题抽象的过程中，培养学生细致、严谨的思维能力，整个过程也是积累基本抽象技能的过程.

3. 注重基本知识、基本技能训练，进一步提升学生基本活动经验和基本思想

基础知识一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基本公式等. 基本技能包括基本的运算、测量、绘图等技能. 知识与技能的培养是数学教育目标重要组成部分，在教学中，教师要在基本知识掌握过程、基本技能的培养过程中，渗透和提升学生基本活动经验和基本思想，实现新课标下学生数学核心素养的螺旋上升.

辨析：判断下列说法是否正确.

（1）两个向量的数量积一定是实数.

（2）若a·b=0，则a=0或者b=0.

（3）若a≠0，b≠0，则a·b≠0.

（4）若b≠0，a·b=b·c，则a=c.

（5）如果a·b>0，那么它们的夹角θ范围是0°<θ<90°.

设计意图：在新知识的建构过程中，学生难免会有一些易混淆的知识点，这就需要教师通过对知识的把握，先行组织有效的概念辨析. 通过对概念的辨析，进行难点的突破，带动学生对整个概念的理解，促进学生对基本知识的理解和掌握. 即辨析题是学生加深对概念理解的行之有效的题型.辨析题的设计也要遵循梯度原则，由浅入深.

师：现在我们对向量的数量积的运算有一个基本的认识，那接下来我们还要研究数量积运算的什么呢？（此处如果学生无法熟练回答，教师可以带领学生回顾、类比向量加法的学习过程，以此进一步明确研究新运算的基本方法和基本思想，这也是“四基”的基本内容之一）

预设：新的运算引入以后，我们还要去研究哪些内容？在我们学习向量的加法运算的定义以后，又研究了向量加法的什么内容？

设计意图：通过教师对学生学情的把握，设计了一个合理的脚手架，让学生反思以前所研究问题的基本思路，从而清楚在定义了新的运算后，我们应该如何进一步深入研究运算的哪些内容（即两个量的运算，交换运算律，以及三个量的运算及三个量之间的结合运算律等的基本研究思路）.

学生通过教师的适当类比，引导学生建构研究运算律的基本方法，建立正确的研究方向，再进行验证、质疑、总结（过程略）.

4.？摇典型例题

略.

5. 课堂回顾与小结

由学生小结本节课的学习，从两个角度（即内容与方法）小结学到了什么，教师PPT展示.？摇

（1）认识新的运算的过程：定义新的运算→新运算的表示→关注运算的完备性→运算（运算律）及性质→应用.

（2）平面向量数量积的定义.

设计意图：帮助学生建构研究问题基本框架的同时，也让学生真切感受到基本框架的重要性，同时在基本框架的指导下，为深入研究向量的数量积运算做了铺垫.

几点反思

1. 以问题为主线，架起从感性认识到理性认知的桥梁，凸显基本知识，培养基本技能

学生学习的过程，就是新知识建构的过程.  但是，新知识的建构并不是孤立的，他是在原有知识的基础上“生长”出来的，教师在教学过程中，要善于发现新旧知识之间的区别和联系，再把这些区别和联系用问题引导，让学生感受，从而实现学生对数学发现的兴趣，提高学生自主研究的能力，促进学生知识的自然生长.

课例中，在引入数量积的定义时，教师以物理背景为依托，从物理中来，在物理情境中设问，让学生更容易抽象出数学知识.在对问题抽象的过程中，提出了“这样的两个向量之间的运算，我们如何来定义？”即第一次对数量积进行定义，但在定义过程中又遇到了一些问题，比如a与b夹角范围的讨论，教师并没有在课上立即指出夹角范围是[0，π]，而是通过“问题1：那么a与b夹角θ的范围是什么？”“问题2：这样的定義是否合理？”“问题3：那么对于0与其他向量的夹角我们如何定义呢？请同学们试着定义一下”等问题引导学生进行正确的定义. 同时，在课前，教师进行了充分的预设，把学生可能存在的讨论结果，即“预设1：0与任意向量的夹角是任意的”“预设2：0与任意向量的夹角不存在”，进行了充分的课前思考，帮助学生构建完整、严密的认知. 对于预设中的两个问题的讨论，教师在教学中，也没有进行强硬的灌输，而是再次引导学生回到物理中去，利用物理结论，让学生感受概念定义的合理性，帮助学生构建概念. 在这些问题完美解决以后，又引导学生“怎样更精确地表述两个向量的数量积的概念呢？”从而完成第二次对数量积的准确定义.

2. 以体系为依托，让概念的认识过程变成概念建构的过程，培养基本思想方法以及基本活动经验

概念课的一个显著特点就是涉及内容关系多而杂，研究的方向在学生看来不明晰. 其实，每一个概念认识的过程都是有一定的科学认知规律的，要想引导学生能对概念研究有一个明确的方向，就需要教师在平时的教学活动中，有意识地去培养学生的认知思路. 所以教师要对全章内容，甚至是同种类型概念的研究过程有全面的把握，寻找概念生成的主线，在多次概念教学中，不断渗透主线、体系，把主线、体系内化为学生研究方向的再认识，培养学生的基本思想方法、基本活动经验，帮助学生提高自我学习的能力.

本课例中，向量的数学积引入以后，如何研究以及研究什么，这样的问题就会摆在学生面前. 作为教学活动的先行组织者，要帮助学生搭建知识的认知结构框架. 本节课通过类比向量和加法、减法的认知过程类比得到“定义新的运算→新运算的表示→关注运算的完备性→运算（运算律）及性质→应用”这样一个结构框架，使学生在概念的理解过程中，把零碎的、孤立的知识点通过知识的内在联系形成知识体系，变成研究新知的思路，体现知识研究的连贯性和体系.

3. 以学生为主体，实现学生概念的自主建构，让学生的基本活动经验在学习过程中有效运用

学生的概念建构过程，如果只有教师在不断的“一个定义几项注意”的“填鸭式”教学，那学生对概念的生成就没有深刻的体会. 教师只有在教学过程中，引导学生像数学家一样思考问题，再现知识的“生成”过程，以学生为主体，进行合理的课堂预设，以问题为主线，促使学生进行有效思考，让学生不断积累生成经验，从而学会思考、总结，最终形成解决问题的基本技能.

本课例中的四个环节，即向量数量积的引入，向量数量积的定义，向量数量积的运算律以及向量数量积的应用，都从学生的已有认知出发，结合学生的认知基础，把问题放在学生的最近发展区内，使学生有了利用已有的知识框架来认识新知识的欲望，遇到了新的问题出现，如何解决，都是以学生为主体的基础上进行展开. 对于辨析，教师更要把握学情，把学生学习数量积的常见问题分层、逐步抛给学生，让学生在互动、讨论中体会数量积的运算，充分发挥学生的学习主观能动性，体验概念的建构过程，最终实现概念的自主建构.

4. 以讨论为引导，促使学生思维更开阔、更缜密，使学生的“四基”在学习过程中融会贯通

学生之间关于新知识的讨论意在培养学生的学习兴趣、学习的参与性与学习习惯.讨论模式应是先独立思考，在学生有充分的自我思考以后才能进行讨论，只有这样，才能让学生有百思而不得其解，一言以醍醐灌顶的顿悟，才能让“四基”在讨论中得到巩固、提高、升华，才能体会学习数学的乐趣，真正培养学生学习数学的兴趣和热情.

本课例中，学生在第一次对数量积进行定义时，教师在学生进行了较深入思考之后，提出了“那么a与b夹角θ的范围是什么”这个问题，让学生进行讨论，教师对学生可能出现的几种结论进行了有效的预设，其目的就是让学生真切感受定义中的向量必须要是非零向量，对0与其他向量的夹角以及数量积又该如何定义. 这样的问题提出，让课堂出现了一个小高潮，学生的思维在这时得到了升华，提高了学生的思维水平，培养了学生思维的严谨性.在辨析题的讨论中，以第（4）、（5）小题为依托，再次明确向量运算与实数运算的区别与联系，体现了数学思维严密的逻辑性，充分利用自己的“四基”水平进行研究、解决问题，让学生更加明确了向量的數量积是怎样一回事.

结束语

高中数学教学主要是引导学生要学会数学的思考问题，寻找有效研究问题的途径. 这就需要教师在课堂上，以提升学生基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验为教学目的，培养学生的数学核心素养. 要在尊重学生的认知结构特点的基础上，把知识的发生、发展过程充分展现在学生面前，调动学生自主学习和研究数学的积极性，提高学生研究数学的能力，从而为实现学生的终生学习打下良好的知识基础和能力基础.