数学文化浸润数学课堂的微课例研究

陈国仙

最近，笔者参加了一次颇有特色的高中数学省市级课题研讨教研活动，数学教学设计中渗透数学文化的研究——基于《数系的扩充》（第1课时）教学案例设计与实践.活动共分四次进行，首先是通过微型课的方式来进行《数系的扩充》这一课的教学设计，然后进行研究讨论并提出修改方案，在第二次和第三次分别进行课堂模拟，最后总结得失，在课堂實践中渗透数学文化，最终体现数学的文化价值.这样的活动，不仅让我们的课堂变得更加生动，也让我们再次感受到数学文化对于目前的高中数学教学的重要之处，笔者颇有感悟.

主题叙述

本研究报告立足于《数系的扩充》这节课，本节课的内容选自苏教版高中数学必修2-2第3.1节第一课时. 在此之前，学生已有的知识体系中，数集的范围已扩充到了实数，而本课是把实数集再次扩充到复数集，完成中学课程的最后一次扩充. 从这个角度看本节课承载着建构数学知识，完善学生知识结构的重要任务.

本微课例的研究主要是对其中为什么以及如何从实数集扩充到复数集的引入和讲解作剖析. 复数是一个全新的概念，而且比较抽象，学生虽然对于实数比较了解，但对于实数的由来可能并不能系统的归纳，不了解事物的本质. 所以笔者试图从整理所有的数开始，唤起学生对于数的再次认识，从已有知识出发，温故而知新，通过归纳类比，从而掌握新知，这样才符合人的认知规律，体现数学文化的价值.

第一次教学案例

问题情境：五百多年前的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们的智力又面临了一个新的“怪物”的挑战，因为意大利数学家卡尔丹在所著的《重要的艺术》（1545）中提出了一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40. 你能做到吗？

学生活动：列式x（10-x）=40，化简得x2-10x+40=0，因为Δ=-60<0，所以方程无解.

设计意图：让学生从一个具体的实例出发，发现问题得不到解决，从而引发思考，激发学生的求知欲.

教师引导：从数的发展的需要，或者说解方程的需要，回顾数系的扩充历程：

设计意图：唤起学生对于数的意识，对于数的发展的历史的回顾，对于数学文化的了解和认识，起到承上启下的作用，为更好地掌握新知识做好铺垫.

建构新知：于是我们引入虚数单位i，并定义（略）.

设计意图：回顾数的发展历史，为解方程的需要，定义虚数单位，把数系再次扩充，让学生加深对于新知的掌握.

课后反思及研究：这一次的教学设计主要是从数学史中的一个小故事出发，引发学生对于数的发展的一点思考，并从解方程的角度回顾了数的发展历程，从课堂上学生的反映来看，还是比较容易接受的. 学生能够在教师的引导启发下完成数的发展历程的回顾，从而想到把数系再次进行扩充. 但在如何扩充这一环节，学生的能力还达不到预想的效果，在实施过程中，并不能直接想到引入新数，当然就更难把握这个新数的定义. 所以，回顾数系扩充的过程时要充分展示数学文化的内涵，数学来源于生活，最后运用于生活，所以如何在教学设计中渗透数学文化是笔者考虑的重点. 另外，在新知引入时，学生也有困难，所以在第二次备课时，笔者考虑结合前几次扩充的特征设计几个探究思考题，让学生找到前行的方向，并且思考题的设计要层层推进，让学生不断地发现问题，升华思维.

新的教学案例

情境引入：从社会生活的角度来看数的发展：为了计数的需要，产生了自然数;为了刻画相反意义的量的需要，产生了负数;为了满足测量与分配的需要，产生了分数;为了满足度量正方形对角线长的需要，产生了无理数. 这一切在今天看来是那么的自然，然而在数学史上，每一步的跨出都充满了艰难与曲折. 如“0”这个自然数的出现就比其他自然数要晚很多年，而且有人还因此受了酷刑;如在无理数诞生之前，人们发现边长为1的正方形的对角线长既不能用整数来表示，又不能用两个整数的比来表示，这就与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”相矛盾，从而引发了一次数学危机，致使苏帕萨斯被投入大海，为之献出了生命.

设计意图：这样可以让学生通过自己的回忆、归纳，体会出一次次数系扩充的根本原因，感受数与现实世界的联系，数学文化渗透课堂，更能进一步强化对整个数系的理解.

从数学内部发展的需要（同第一次设计）.

问题1：（1）研究了这么多，我们回头看看这些数的发展历程，能不能从中获得一些启发，总结出一些共性呢？

（2）为什么要对数集进行一次又一次的扩充？

（3）每一次对数集进行扩充时，是如何解决矛盾的？

（4）数集扩充后，有没有影响到原有的运算性质？

设计意图：引导学生通过对前几次数系扩充的归纳与梳理，感受到数系扩充的合理性，并能提炼出数系扩充的一般原则，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好坚实的基础;同时，有利于让学生感受到数学文化的美妙之处，培养学生坚忍不拔的数学品质.由此，突破本节课的一个难点.

问题2：（1）我们的数集扩充到实数集后，是不是对所有的方程都有解了呢？比如意大利数学家卡尔丹在所著的《重要的艺术》（1545）中提出一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40.

（2）还有像x2+1=0这种方程我们能解吗？x2-2x+6=0这种方程我们会解吗？

设计意图：学生由此而想到，如果负数可以开根号，那么这类问题也就迎刃而解了. 同时又有数学家鲜活的实例，引发学生的兴趣，并反映了数学是人类文化的重要组成部分. 以上三个方程都可以转化为一个平方等于负数的形式（x2=-1）而得解，根据数系扩充的原则，你认为该怎么办？引导学生给出定义.？摇

根据第二次方案实施的行动跟进

根据修改后的新教案，首先在学生活动这方面进行调整，笔者把学生按“组间同质，组内异质”的规律对学生进行了分组，组内合作、组间竞争为学生创设了一个积极交往的课堂氛围，并在讲授新课之前，让学生写了一篇数学小论文《我对“数系扩充”的了解》，目的是为了让学生课前先通过查资料了解数学的文化历程，从而产生对于数学的兴趣.在寻找数系扩充所遵循的共同原则时，让学生分组讨论，使学生能在讨论中获得新知，逐步培养他们的探索精神和创新意识，对定理的印象也更为深刻，在不知不觉中，提高了数学修养. 其次，教师讲述这个定理时，尽量以学生为主体，教师起到辅助的作用即可，在学生遇到不能解决的问题时，给予一定的帮助，期望学生通过自己的探索来发现问题.

第二次上课后的反思、研究和提升

通过这样的两次备课和实践，才能发现在讲解时的问题所在. 对于高中数学学习，很多学生都有这样的感觉，“懂而不会”即听得懂，但是不会做，而这个问题的归因就是在新授课和习题的讲解中，我们灌输的比较多，缺乏让学生考虑、探索的一个过程，导致学生不能把所学到的知识很好的内化，进而进行灵活的应用. 《普通高中数学课程标准》中倡导“体现数学的文化价值”，数学课程应适当介绍数学历史、应用和发展趋势;数学的社会需求;社会发展对数学发展的推动作用;数学科学的思想体系;数学的美学价值;数学家的创新精神.我们的数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.

在这两次备课的过程中，笔者深入研究了三个问题.

1. 渗透数学文化，学会分组讨论，合作学习

合作学习是一种古老的教育理念和实践，我国古典教育名著《学记》中就有“独学而无友，则孤陋而寡闻”这一说，主要强调在学习中学习者要相互合作. 合作教学理论认为个体由于智力水平、兴趣爱好、发展水平的不同，对同一事物的理解、认识有着一定的差异，而这种差异可以通过学生之间的讨论、合作学习来互相弥补，笔者在第二次备课后就运用了这个理论，让学生分组后合作学习.

2. 渗透数学文化，培养坚忍不拔的意志品质

在整节课的过程中，笔者穿插了许多数学家的故事. 在人类文明发展的历史长河中，这些数学家用他们的坚持，做了许许多多我们常人无法想象的努力和奋斗，甚至有人为了这份执着而付出了宝贵的生命，他们在铺满荆棘的探索道路上一步步走到了今天，为人类社会的进步做出了贡献. 而今天，我们更应注重对学生的数学意志品质的培养，要学习并体会到科学家的这种精神，运用到实际生活中，遇到难题时要尽自己最大的努力去完成，不退缩，不放弃，这也是一种数学素养的体现.

3. 渗透数学文化，努力提升学生的“最近发展区”

维果斯基将学生在教师的指导下，借助成人的帮助所能达到解决问题的水平与在独立活动中所达到的解决问题的水平之间的差异称为“最近发展区”. 我们要清楚地认识到，更重要的并不是已有的，到今天为止已经发展好的智力水平，而是那些刚刚开始萌芽，正渴望发展的智力水平，但是这种发展是有前提的，必须借助于一定的外力. 作为教师，我们要做的就是给学生创造一定的情境，让他们一步步慢慢接近目标，跳一跳便能够着.

在本次微課例研究中，笔者进行了两次备课，在这个过程中不仅发现了教学中存在的一些问题，还进行了教学理论的研究，从而来改进笔者的教学实践，这样不仅提高了学生学习数学的兴趣和掌握知识的能力，同时也提升了笔者的个人专业素养，受益匪浅.