求导揭性质，逐层析函数

毛天梅

[摘  要] 导数与函数有着紧密的联系，导函数是分析函数性质的重要工具，利用导数分析问题的便利性，可将复杂的函数问题层次化、简单化，从而达到逐步求解的目的，本文将结合考题简要讲解导数在函数问题中的应用，以期对学生的学习备考有所帮助.

[关键词] 导数;函数;极值;不等式;单调性

高考对导数的考查主要集中在利用导数分析函数单调性、求极值、最值，以及利用导数解决函数不等式问题，同时也从侧面反映出导数对于解决函数问题有着显著的作用，合理运用导函数的辅助特性可以起到良好的解题效果.

真题解析，解法评析

1. 真题呈现

（2017年天津数学卷）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数.

（1）求g（x）的单调区间;

（2）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m-x0）-f（m），求证：h（m）h（x0）<0.

2. 试题解析

分析：（1）求g（x）的单调区间，可求导，令g′（x）=0，求函数的驻点，然后通过判断导函数在区间内的正负情况来确定函数的单调性.

（2）证明h（m）h（x0）<0，可分别确定在定义域内h（m）和h（x0）的符号即可，h（m）=g（m）（m-x0）-f（m），h（x0）=g（x0）·（m-x0）-f（m），可构造函数H1（x）=g（x）·（x-x0）-f（x），H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），对H1（x），H2（x）进行求导，确定其单调性，辅助判断h（m）和h（x0）的符号，证明不等式.

解：（1）g（x）=f ′（x）=8x3+9x2-6x-6，可得g′（x）=24x2+18x-6. 令g′（x）=0，解得x=-1或x=■. 当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

令函数H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），则H′2（x）=g（x0）-g（x）. 由（1）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（（x）>0，H2（x）单调递增;当x∈（x0，2]时，H′2（（x）<0，H2（x）单调递减. 因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）<H2（x0）=0，可得H2（m）<0，即h（x0）<0. 所以，h（m）h（x0）<0.

3. 解法评析

本题目为高考常见的函数与导数的综合题，主要考查学生利用导数解决问题的能力，上述题目求函数的单调性以及不等式恒成立问题，（1）问通过对函数求导，利用导函数g′（x）的正负号来确定原函数的单调性;（2）问则是巧妙地构造函数，通过求导来分析构造函数的单调性以及最值，最后利用构造函数的性质来证明不等式的恒成立. 导数的运用是解决函数问题的关键，通过求导可准确分析函数的基本性质，等价转换问题，从而降低思维难度，打开解题的突破口.

考题衔接，求导破解

导数在求解函数问题时有着特有的便利性，有效利用导函数可以准确获得原函数的基本性质，例如单调性、极值、零点等，这些函数性质对于下一步的求解有着关键的作用. 对于一些会直接影响导函数符号的参数，要进行分类讨论，针对性分析.

（2016年天津数学卷）设函数f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3.

分析：（1）求f（x）的单调区间，可对其求导，需要注意的是a的正负性直接影响着函数的单调性，需要分类讨论. （2）f（x）存在极值点，可对其求导，获得解题条件，然后利用f（x1）=f（x0），以及（1）问求导获得单调性来建立x1和x0的关系式.

解：（1）由f（x）=（x-1）3-ax-b，可得f ′（x）=3（x-1）2-a. 下面分两种情况讨论：

①当a≤0时，有f ′（x）=3（x-1）2-a≥0恒成立，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）.

二次求导，逐層分析

对于一些较为复杂的函数问题，直接求导后仍然难以确定导函数的正负性，此时可以考虑在导函数的基础上再次求导，即二阶求导，二阶求导是基于一次导函数的基础之上，可通过分析二阶导函数来分析一阶导函数的单调性，从而确定原函数的基本性质.

正是对函数的二次求导，从而确定了构造函数的性质，为下一步分析不等式提供了条件，二次求导是解决较为复杂问题的一种十分有效的方法策略，需要注意的是二次导函数的性质分析要基于原函数的定义域，脱离定义域的函数分析是无意义的.

总之，函数单调性、极值、零点及不等式问题归根到底就是研究函数性质问题，导数对于研究函数性质有着极为明显的效果，在解题时要充分利用导函数对函数单调性本质反应的特点，逐步深入，层层剖析，适当转换问题，找到问题关键，获得解题思路. 学习求导不仅是学习方法，也是对思维的锻炼，提升逻辑推理能力的过程.