浅析数学概念教学容易忽视的几个角度

金怡

[摘  要] 数学概念教学是高中数学教学的重要内容之一，正确理解数学概念，是学生学好数学知识的前提条件，也是提高教师教学质量的重要环节. 在组织数学概念教学时，教师容易忽视以下几个角度：一是概念的命名方式;二是概念的表征方式，三是概念之间的联系. 如果在教学中兼顾到这三点，可以有效地提升概念教学的质量.

[关键词] 概念教学;命名方式;表征方式;相互关系

数学概念是数学的逻辑起点，是教师教学、学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心. 概念教学是高中数学教学的重要内容之一，新课程标准指出“要使学生学好基本知识和掌握基本技能，首先要使学生正确理解数学概念”，这就促使我们不得不去思考如何抓好概念教学，提高数学教学质量，我们不但要让学生关注概念的内涵和外延，还要从以下几个角度着手，让学生对数学概念形成更加深刻的认识.

领会数学概念命名的特点

数学语言简洁而精炼，这一点在数学概念的命名上显得尤其明显. 很多概念的命名都是为了方便人们的理解，同时也有助于人们实现对表象的简约化处理，进而实现思维由现实到虚拟的一种跨越.

为了避免在字面造成认识上的混淆，同时还要将与概念相关的要素关系体现出来，让人能比较直观地看清楚概念间的关联和区别，这就要求在命名数学概念时能够讲究方式方法. 结合一些文献的研究和分析，笔者发现数学概念的命名方式比较多，常见的有以下六種.

1. 复合式

所谓“复合式”，指的是在命名过程中用外语本意和表示形象的词语组合来进行命名. 现代数学理论主要源于西方，很多数学概念都隐含着外语的本意，比如“函数”这个概念就是如此，它是由清代数学家李善兰结合“function”一词翻译并转化而来，关于命名，李善兰有这样的表述：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数. ”即一个量要随着其他量的变化而发生变化，这也是“函数”概念变量说的理解.

2. 结构式

所谓“结构式”，就是结合数学对象的构成元素以及元素之间的基本关系和特征来规定命名，比如“等差数列”，这一概念首先明确概括的对象是数列，而且还讲清了数列之间的关系——“等差”，一般讲到这一概念时，我们无须与学生做过多的强调，完全可以由学生自己对名称的理解来进行把握，类似的概念还有“等比数列”.

3. 假借式

所谓“假借式”，就是人们在定义数学概念时借用古语、诗词、名言中所出现的词汇来进行定义. 中国有着悠久的文化历史，我们的祖先创造出的很多词汇都蕴含着丰富的内涵，因此当西方的数学理论传入中国时，人们也经常借用古语中出现的词汇来对其进行命名. 比如“几何”，这就是借用了诗经中的一句“为犹将多，尔居徒几何”（这只是其中的一种说法），我们在教学中和学生分享这些概念的来源，能够让我们的数学课堂多一份文化的气息.

4. 直观式

所谓“直观式”，就是人们根据数学对象直观的特点来进行命名，比如“抛物线”，这就是一个非常形象的概念，它与物理学中的抛体运动有着非常紧密的关联，即在只考虑重力影响的环境下，将物体平抛或斜抛出去，其运动的轨迹即为抛物线. 此外，诸如“圆”“椭圆”“双曲线”等，这些概念都有非常直观的色彩，学生在理解时完全可以从概念上理解其数学含义.

5. 概括式

所谓“概括式”，主要是针对多个数学对象提供一个统称. 比如对应着有理数乘方，人们提出了“指数”这个概念，它实际上反映的是相同因数相乘的关联.

6. 哲学式

所谓“哲学式”，这是从哲学的角度来进行概念的命名，比如有了“有理数”，那么从辩证地角度来讲，就应该有“无理数”，有了“实数”，那么也就有“虚数”的概念，这样的命名方式从一定程度上反映出概念提出时研究者的一种心理状态，同时也能够反应相关概念产生的过程.

不同的命名方式往往对应概念不同的特点，我们在组织教学时，引导学生展开比较和分析，有助于学生以更加积极而灵活的思维来学习数学，提升认识.

结合表征方式来理解概念

数学语言的博大精深还体现在其表征方式的多元化方面，文字、符号、图形等都可以用于数学概念的表征，我们引导学生从多个角度来更加全面地理解概念，就是要结合多种表征来进行理解，相关做法还有助于学生对数学语言形成自己的感悟，提升他们语言表达的严谨性和丰富性.

1. 文字表征

文字表征是最常见的数学概念表征方式，一般来讲，当我们以文字来表征数学概念时，文字都会体现出科学、自然、简洁、完整等特点，而且能够揭示出概念最为本质的内容. 当然，我们也应该明确，文字是理解的核心，但文字并不是数学体系的核心，深度地理解切不可止步于文字表面.

比如“椭圆”的概念，首先我们应该让学生领会文字表征的严谨性和精确性，椭圆是平面内到定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的动点P的轨迹，F1，F2称为椭圆的两个焦点. 上述表达中“平面内”“定点”“大于F1F2”“动点”等关键词，貌似可有可无，但是正是这些词汇让椭圆的概念表达更加精确. 但是如果只是对文字进行翻来覆去地记忆，这也无助于学生对椭圆形成深度的认识和理解，所以学生的认识必须要结合其他表征方式一起来进行.

2. 符号表征

符号表征是对文字表征的一种重要弥补，符号的最大特点是简洁性，一个简单的例子：“=”和“等于”在作用上是等价的，显然“=”更能让人一目了然，尤其是在数学证明问题的处理中，涉及大量概念的引用，如果全部以文字的形式来表达，这显然会让整个证明过程拖沓不堪，学生看到这些，也会很快被弄晕了.

比如，上面“椭圆”的概念理解，符号语言：PF1+PF2=2a（a为常数）（2a>F1F2）. 再比如，余弦定理，文字语言：三角形的任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍;其符号语言：a2=b2+c2-2bccosA. 文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构;符号语言抽象、简洁，每个符号都有明确的指代性，而且能够对数学内容进行较为集中的表示，描述起来给人以结构感.

数学符号的引入不但起到了简化表达的作用，笔者还认为，这也促进了数学文化的交流，有人将数学符号称作“全世界通用的语言”，这是非常客观而中肯的一段描述.

3. 图形表征

在数学研究的领域中，数和形是密切相连的两个整体，在很多问题的处理过程中，人们要将数和形整合起来，一起完成对问题的表征，这就是“数形结合”的思想. 当我们将图形用于数学概念的表征时，是用最直观而形象的手段来完成对概念的表示.

图像，它最常见的一种应用是用于函数的表征，比如，研究正弦函数的单调性、对称性、周期性等，只要将图像绘制出来，所有的问题都迎刃而解. 我们可以画示意图，并将其作为工具，引导学生搭建“方程的根”和“函数的交点”概念之间的关联，以此来促成学生对概念的图式结构. 此题如果学生不能熟练掌握或者不能灵活运用各种表征，就会产生思维受阻现象. 准确理解、互化各种表征是准确、迅速、合理地解决一道数学题的关键.

和符号相比，图形能够更好地将概念的空间特点刻画出来，但是它也有着自身的局限性，比如图像不能太简洁、粗糙，否则就容易导致表征内容的错误.

辨明概念之间的关系

数学学习具有明显的体系性，组织学生學习数学概念时，指导他们区分概念之间的关联就显得非常重要了. 不同的概念组成了一个个集合，这些集合之间存在着相容或不相容的关系，教学中引导学生探析这些关系是我们教学的重点.

1. 相容关系

如果两个概念之间属于相容关系，它表明两个概念外延所对应集合的交集非空，在高中数学教学中它往往有三种体现：①如果两个概念外延所对应的集合完全一致，我们就将其称为“同一关系”，比如函数的零点和方程的根，这两个概念就属于“同一关系”;②如果两个概念外延所对应的集合存在一部分的重叠，我们就将其称为“交叉关系”，比如反比例函数和幂函数，这两个概念就存在“交叉关系”;③如果某概念外延所对应的集合正好是另外一个概念外延所对应集合的子集，我们就认为他们存在“从属关系”，比如正弦函数和三角函数存在“从属关系”.

2. 不相容关系

如果两个概念同属于一个概念体系，但是其外延集合的交集是一个空集，那么这两个概念之间就属于不相容的关系，这在数学体系中是比较常见的，而教学中我们必须要引导学生明确两类不相容关系的作用：其一是反对关系，比如椭圆和双曲线都属于圆锥曲线的类型，但是二者之间却没有共同的内容，因此属于反对关系;其二是矛盾关系，即概念外延的并集组成了他们的属概念，而两者之间又是截然矛盾的，比如实数和虚数相对于复数就是矛盾关系.

综上所述，在高中数学的教学过程中，教师在引导学生认识概念时，要结合以上几个角度来展开教学，暴露概念形成的全过程，如此能够促进学生对概念的认识和理解，并抓住概念本质，提高审题能力与解题的灵活性，有助于形成良好的思维品质，发展学生数学思维素养.