高等数学教学中发散思维的培养

吕春燕

【摘要】现在社会需要的是创新型人才，要创新就要思路开阔，而发散性思维是创新的重要源泉.在实际的教学和学习中，一题多变，一题多解就是培养人的发散性思维的具体体现.本文以高等数学及工程数学中常见的幂指函数为例，举例说明在教学中如何培养学生的发散思维.

【关键词】高等数学;发散思维;一题多解

高等数学是理科及理工科大学中必不可少的学科，其主要作用是培养人的逻辑思维能力、抽象思维能力等，同时它也是学习其他专业基础课和专业课的基础.但是，高等数学也被认为是大学课程中最难学的课程，因为其题目的多变性和解题方法的灵活性而让学生望而生畏，所以要想学好高等数学必须多做题、多总结.概念的理解与深化，方法的灵活应用都反映在做习题上.在实际的教学中，要求教师除了完成所给的教学任务外还要有意识地培养并训练学生的发散思维，具体体现在教学方式的多变性、丰富性，题目讲解中的一题多变、一题多解等.下面举例说明.

例 设y=（1+x）sinx，求y′.

解法一 对数求导法

解 在y=（1+x）sinx两边同时取对数，有lny=sinx·ln（1+x），两边同时对x求导，有1y·y′=cosx·ln（1+x）+sinx1+x，所以有y′=（1+x）sinx·cosx·ln（1+x）+sinx1+x.

解法二 恒等变形法

解 因为y=（1+x）sinx=eln（1+x）sinx=esinxln（1+x），

所以y′=esinxln（1+x）·[sinxln（1+x）]′

=esinxln（1+x）·cosxln（1+x）+sinx·1x+1

=（1+x）sinx·cosx·ln（1+x）+sinxx+1.

解法三 利用公式法

如果y=u（x）v（x），则有y′=v（x）u（x）v（x）-1·u′（x）+u（x）v（x）lnu（x）·v′（x）.

解 令u（x）=1+x，v（x）=sinx，

y′=sinx（1+x）sinx-1·（1+x）′+（1+x）sinx·ln（1+x）·（sinx）′=sinx（1+x）sinx-1·1+（1+x）sinxln（1+x）·cosx=（1+x）sinx·sinxx+1+cosx·ln（1+x）.

解法四 偏导数求导法

令u=φ（x），v=φ（x），将y=φ（x）φ（x）看作y=uv，u=φ（x），v=φ（x），复合而成的二元复合函数，利用复合函数的求导法则求y′.即y′=dydx=yu·dudx+yv·dvdx.

解 令u=1+x，v=sinx，将y=（1+x）sinx看作由y=uv，u=1+x，v=sinx复合而成的二元复合函数，利用二元复合函数求导的法则，从而有

y′=dydx=yu·dudx+yv·dvdx

=vuv-1·1+uvlnu·cosx

=sinx（1+x）sinx-1·1+（1+x）sinxln（1+x）·cosx

=（1+x）sinx·sinxx+1+cosx·ln（1+x）.

综上所述，同一道题目，其解题的思路和方法及用到的知识点却各不相同，但其最终的结果都一样，这就是数学的美，确切地说是发散性思维的妙处.因此，发散性思维是数学教学中的很重要的教学目的.首先，教师在平时的教学中不断探索新的教学方法、新的解题思路、充分发挥主观想象力，并为学生提供一个能充分发挥想象力的空间与契机.其次，还要鼓励学生多向思维，激发学生创造欲望.教师在教学中要多表扬、少批评，让学生建立自信，同时鼓励学生求新，训练学生沿着新方向、新途径去思考新问题，寻求首创性的思维.再次，要打破常规，弱化思维定式.“创”与“造”两方面是有机结合起来的，“创”就是打破常规，“造”就是在此基础上生产出有价值、有意义的东西来.最后，要教会学生逆向思维，并大胆说出自己的想法，敢于质疑.质疑能力的培养对啟发学生的思维发展和创新意识具有重要作用，质疑常常是培养创新思维的突破口.总之，发散性思维的培养不是一朝一夕的事情，更不是哪门学科的目的，它需要教师和学生的共同努力.

【参考文献】

[1]田玉伟.高等数学（上册）[M].北京：北京理工大学出版社，2009.

[2]宋振新，等.幂指函数导数的计算方法[J].唐山师范学院学报，2006（5）：29-30.

[3]和志芳.高等数学教学中发散思维的培养[J].数学学习与研究，2015（21）：104-106.