基于超几何级数的调和数求和公式

秦艳杰 刘红梅

【摘要】基于一个超几何级数求和公式和digamma函数的相关性质，利用改进的Newton-Andrews方法，本文建立了一系列推广的调和数求和公式.

【关键词】超几何级数求和公式;改进的Newton-Andrews方法;调和数求和公式

一、引 言

根据Bailey[1]和Slater[2]，超几何级数定义如下：

其中（a）k为k次升阶乘，定义为（a）0=1和（a）n=a（a+1）…（a+n-1），这里n=1，2，….

广义调和数定义为：

H0（x）=0和Hn（x）=∑n-1k=01k+x，n=1，2，….（1.2）

这里的x是一个变量，当x=1时，公式（1.2）就变成了经典调和数：

H0=0和Hn=∑n-1k=01k+1，n=1，2，….

在1775年欧拉首次提出了一个与调和数有关的非常优美的无穷级数恒等式：∑∞n=1Hn/n3=π4/72.

后来，这种优美的调和数恒等式吸引了人们的注意，并以各种方式对它进行研究.例如，Borweins[3]通过对傅立叶级数的Parseval恒等式再现了恒等式（1.1）.

近年来，Newton-Andrews方法，被广泛应用于推导调和数恒等式中.该方法基于以下公式：

d/dx（n+xnx）/=0=Hn.（1.3）

利用Newton-Andrews方法，文献[4-7]给出了大量有限和调和数恒等式.最近，Wang和Jia[8]运用Newton-Andrews方法又推导出许多无限和形式的调和数恒等式.

然而，在Newton-Andrews方法中，用二项系数表示超几何求和公式的过程很复杂，令

我们高兴的是，我们发现了升阶乘的导数：

ddx（a+λx）n|x=0=λ（a）nHn（a），（1.4）

其中（a）0=1和（a）n=a（a+1）…（a+n-1），这里n=1，2，….通过公式（1.4）可以直接研究超几何求和公式，不需要用二项系数来表示超几何级数公式.

在本文中，基于一个经典超几何级数求和公式，即Watsons 3F2-求和定理：

3F2a，b，c

12（a+b+1），2c1

=Γ12Γ12+cΓ12+a2+b2Γ12-a2-b2+c

Γ12+a2Γ12+b2Γ12-a2+cΓ12-b2+c

（R（2c-a-b）>-1），（1.5）

利用改进的Newton-Andrews方法来建立新的广义调和数求和公式.

为了书写的方便，我们通常将多个伽马函数的分数形式记为

Γa，b，…，cA，B，…，C=Γ（a）Γ（b）…Γ（c）Γ（A）Γ（B）…Γ（C）.

伽马函数有以下的性质：

Γ（x）Γ（1-x）=πcsc（πx），Γ（1+x）=xΓ（x）.伽马函数对数的导数称为digamma函数（或Psi函数）：

ψ（z）=ddz{logΓ（z）}=Γ′（z）Γ（z）.（1.6）

它与调和数有关系ψ（n）=Hn-1-γ，则ψ（1）=-γ，γ被称为Euler-Mascheroni常数，且γ=limn→∞（Hn-logn）.此外，digamma函数满足递归关系：

ψ（z+1）=ψ（z）+1z，（1.7）

和一个反射公式：ψ（1-z）-ψ（z）=πcot（πz），

此公式與gamma函数的反射公式类似.另外，我们列几个digamma函数的特殊值：

ψ12=-2ln2-γ，（1.8）

ψ13=-π23-32ln3-γ，（1.9）

ψ14=-π2-3ln2-γ，（1.10）

ψ16=-3π2-2ln2-32ln3-γ.（1.11）

二、主要结论

定理 对于任意的正整数a，b，c并且有2c-a-b>1，有如下一般形式的调和数恒等式：

∑∞n=1（a）n（b）n（c）nn！12（a+b+1）n（2c）nHn（a）-12Hna2+b2+12

=12Γ12，12+c，12+a2+b2，12-a2-b2+c12+a2，12+b2，12-a2+c，12-b2+c×

ψ12+a2+b2-ψ12-a2-b2+c-ψ12+a2+ψ12-a2+c.（2.1）

∑∞n=1（a）n（b）n（c）nn！12（a+b+1）n（2c）n[Hn（c）-2Hn（2c）]

=Γ12，12+c，12+a2+b2，12-a2-b2+c12+a2，12+b2，12-a2+c，12-b2+c×

ψ12+c+ψ12-a2-b2+c-ψ12-a2+c-ψ12-b2+c.（2.2）

证明 在（1.5）中令a→a+x可以把定理表示成无穷级数的恒等式：

∑∞n=1（a+x）n（b）n（c）nn！12（a+x+b+1）n（2c）n

=Γ12，12+c，12+a+x2+b2，12-a+x2-b2+c12+a+x2，12+b2，12-a+x2+c，12-b2+c .

利用数学分析的方法可以证得：

ddx∑∞n=0（a+x）n（b）n（c）nn！12（a+x+b+1）n（2c）n

=∑∞n=0ddx（a+x）n（b）n（c）nn！12（a+x+b+1）n（2c）n，

而ddx（a+x）n（b）n（c）nn！12（a+x+b+1）n（2c）n

=（a+x）n（b）n（c）nn！12（a+x+b+1）n（2c）nHn（a+x）-  12Hna+x2+b2+12.

又由digamma函數（1.6）的性质可以证得：

ddxΓ12，12+c，12+a+x2+b2，12-a+x2-b2+c12+a+x2，12+b2，12-a+x2+c，12-a+x2+c

=12Γ12，12+c，12+a+x2+b2，12-a+x2-b2+c12+a+x2，12+b2，12-a+x2+c，12-b2+c ×

ψ12+a+x2+b2-ψ12-a+x2-b2+c-ψ12+a+x2+ψ12-a+x2+c.

令x=0，则（2.1）式成立.

同理，在（1.5）式中令c→c+x，

ddx∑∞n=0（a）n（b）n（c+x）nn！12（a=b+1）n（2c+2x）n

=∑∞n=0（a）n（b）n（c+x）nn！12（a=b+1）n（2c+2x）n

=∑∞n=0（a）n（b）n（c+x）nn！12（a+b+1）n（2c+2x）n×[Hn（c+x）-2Hn（2c+2x）].

又由digamma函数（1.6）式的性质可以证得：

ddxΓ12，12+c+x，12+a2+b2，12-a2-b2+c+x12+a2，12+b2，12-a2+c+x，12-b2+c+x

=Γ12，12+c+x，12+a2+b2，12-a2-b2+c+x12+a2，12+b2，12-a2+c+x，12-b2+c+x×

ψ12+c+x-ψ12-a2-b2+c+x-ψ12-a2+c+x+ψ12-b2+c+x.

令x=0，则（2.2）式成立.

推论1 在（2.1）式和（2.2）式中令c=2，a=b=1，有：

∑∞n=16n！（Hn-On+1）32n×（2+n）×（3+n）=-316π32，（2.3）

∑∞n=16n32n×（2+n）×（3+n）[Hn+1-2Hn+3]

=-32ln2+2π32，（2.4）

这里On=12Hn12=∑∞n=112k-1.（2.5）

推论2 在（2.1）式和（2.2）式中令c=1，a=b=13，有：

∑∞n=113n13n56n（2）nHn13-12Hn56

=91623π3-3.（2.7）

∑∞n=113n13n56n（2）n[Hn-2Hn+1]

=98-4ln2+32ln3-3π6+4.（2.8）

【参考文献】

[1]W N Bailey.Generalized hypergeometric series[M].Cambridge：Cambridge University Press，1953.

[2]L J Slater.Generalized Hypergeometric Functions[M].Cambridge：Cambridge University Press，1966.

[3]D Borwein，J M Borwein.On an intriguing integral and some series related toξ（4）[J].Proc.Amer.Math.Soc.，1995（4）：1191-1198.

[4]G E Andrews，K Uchimura.Identities in combinatorics Ⅳ：Differentiation and harmonic numbers[J].Util.Math，1985（28）：265-269.

[5]W Chu.Hypergeometric approach to Weidemans conjecture[J].Arch.Math.，2006（5）：400-406.

[6]W Chu，L De Donno.Hypergeometric series and harmonic number identities[J].Adv.Appl.Math.，2005（1）：123-137.

[7]W Chu and A M Fu.Dougall-Dixon formula and harmonic number identities[J].Ramanujan J.，2009（1）：11-31.

[8]W Wang，C Jia.Harmonic number identities via the Newton-Andrews method[J].Ramanujan J.，2014（2）：263-285.