实变函数极限的求法

邓琴

【摘要】本文主要研究高等数学中函数极限的求法，对函数极限的求法做较系统的归纳总结，给出了几种常用的方法和技巧.

【关键词】函数极限;高等数学;实变函数

一、十三种常用的方法

函数极限的求法是高等数学中的重点和难点.函数极限的求解方法灵活多样，而且目前的教科书对函数极限的求法没有做较系统的归纳.本文主要研究函数极限法，对其求法做较系统的归纳总结，给出十三种常用方法.

1.利用函数极限定义求极限.

2.利用函数极限的四则运算法则求极限.

3.利用左极限和右极限求极限.

4.利用函数的连续性求极限.

5.若极限为00型，可通过因式分解或有理化的方法，然后消去分子、分母的零因子，再求极限或利用已知结果求极限.

6.若极限为∞∞型的有理分式的形式，则利用下面这个公式来求极限：

limx→∞a0xm+a1xm-1+…+amb0xn+b1xn-1+…+bn=a0b0，当n=m，0，当n>m，∞，当n<m，

其中，a0≠0，b0≠0，m，n為非负整数.

7.若极限为∞-∞型，一般通过通分或有理化，消去零因子，再求极限.

8.利用两个重要极限公式求极限.

9.利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质求极限.

10.利用等价无穷小代换的方法求乘积的极限.

11.利用夹逼准则求极限.

12.利用洛必达法则求极限.

13.利用导数定义求极限.

二、应用举例

例1 求 limx→1xn+1-（n+1）x+n（x-1）2.

解 此函数极限属于00型，利用因式分解消去分子、分母的零因子，所以，

原式=limx→1x（xn-1）-n（x-1）（x-1）2

=limx→1x（x-1）（xn-1+xn-2+…+x+1）-n（x-1）（x-1）2

=limx→1[（xn-1+xn-2+…+1）+（xn-2+xn-3+…+1）+…+1]（x-1）2（x-1）2

=n+（n+1）+…+1

=n（n+1）2.

例2 求 limx→∞cosxex-e-x.

解 利用无穷小与有界量的乘积还是无穷小的性质，所以，原式=0.

例3 求 limx→0ax+bx+cx31x.

解 此函数极限属于1∞型，利用重要极限公式和等价无穷小替换定理，所以，

原式=limx→01+ax+bx+cx-333ax+bx+cx-3ax+bx+cx-33x，

又因为 limx→0ax+bx+cx-33x

=13limx→0ax-1x+bx-1x+cx-1x

=13lnabc，

所以，原式=e13lnabc=（abc）13.

三、小 结

在求函数极限之前，我们需要先判断此函数极限是属于什么类型的极限，再用对应的方法去求.而且，有些函数的极限是可以采用几种方法求解，或者必须有几种方法的结合才能解出来，这就需要大家在做题时灵活运用这些方法.

【参考文献】

[1]李伟.高等数学习题课教程[M].天津：天津大学出版社，2004.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]刘玉莲.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.