泰勒公式中两种余项之比较及应用

陶耘 狄芳

【摘要】泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在近似计算、定理证明中发挥着重要作用.本文首先介绍了泰勒公式的两种余项，并做了比较，然后巧用两种余项，解决不同问题.

【关键词】泰勒公式;拉格朗日型余项;皮亚诺型余项;极限;拐点;不等式;级数敛散性

泰勒公式是高等数学的重要内容，因其能把复杂函数转化为多项式函数的特性，因此，在近似计算、定理证明等方面都发挥着重要作用.比较有趣的是，泰勒公式中的余项，有两种不同的形式.大部分教材对泰勒公式都有比较详细的阐述和论证，但是对这两种余项有何区别介绍较少.因此，在具体应用中，该使用哪种余项，让很多学生感觉十分迷茫.

以下我们将分别介绍带这两种余项的泰勒公式，并通过几个例子，帮助理解，拨开“迷雾”.

一、两种不同余项的泰勒公式

（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式

定理1 假设函数y=f（x）在点x0存在直至n阶导数，则在x0近旁有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+o（（x-x0）n），其中，o（（x-x0）n）称为皮亚诺型余项.

特别地，若x0=0，则

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn），

称它为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式.

（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式

定理2 假设函数y=f（x）在[a，b]上存在直至n阶的连续导数，在（a，b）内存在n+1阶导数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈（a，b），使得

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x），

其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1，ξ介于x0与x之间，Rn（x）为拉格朗日型余项.

特别地，若x0=0，则

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+f（n+1）（θx）（n+1）！xn+1，0<θ<1，

称它为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.

比对两个定理，我们发现，带有皮亚诺型余项的泰勒公式对函数的假设条件较少，只需要在x0处n阶可导，不需要n+1阶导数存在，也不需要在x0的邻域内存在n阶（连续）导数.皮亚诺型余项只是定性地告诉我们：当x→x0时，逼近误差是较（x-x0）n高阶的无穷小量，而拉格朗日型余项则是一个定量形式的余项，是对逼近误差进行具体的计算或估算.

因此，应用上述定理，可以视问题的具体需求，在x0附近将函数进行带不同余项的泰勒展开.

二、带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用

例1 limx→06ex2sinx-x（6+5x2）arctanx-x+x33.

分析 这个函数的极限可以利用洛必达法则来求，但是分子、分母会变得越来越复杂.用泰勒公式则方便得多，我们可以将函数展开成x的幂级数，余项用皮亚诺型.展开的目的是消去分子、分母中的多项式.

解 ex2=1+x2+x42！+x63！+o（x6），

sinx=x-x33！+x55！+o（x5），

ex2·sinx=x+56x3+41120x5+o（x5），

arctanx=x-13x3+15x5+o（x5），

原式=limx→06x+5x3+4120x5+o（x5）-6x-5x3x-x33+x55+o（x5）-x+x33

=limx→04120x5+o（x5）x55+o（x5）=414.

例2 設f（x0）存在，且f（x0）≠0，f″（x0）=0，则（x0，f（x0））是否为曲线y=f（x）的拐点？

解 对f″（x）应用泰勒公式，有

f″（x）=f″（x0）+f（x0）（x-x0）+o（x-x0）.

由于f″（x0）=0，

则有f″（x）=f（x0）（x-x0）+o（x-x0）.

由题设f（x0）≠0，

不妨设f（x0）>0，于是存在δ>0，使得x0<x<x0+δ时，有

f（x0）（x-x0）>0，从而有f″（x0）>0，

而当x0-δ<x<x0时，有

f（x0）（x-x0）<0，从而有f″（x0）<0，

所以f″（x）在x0两侧异号.

同理可证，若f（x0）<0，f″（x）在x0两侧异号.

由拐点的定义可知，（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点.

三、带拉格朗日型余项的泰勒公式的应用

例3 证明：当0<x<1时，有e2x<1+x1-x.

证明 要证e2x<1+x1-x，即证2x<ln（1+x）-ln（1-x）.

设f（t）=lnt，将其展开为带有拉格朗日型余项的泰勒公式，可得

f（t）=f（1）+f′（1）（t-1）+f″（ξ）2！（t-1）2，

ξ介于1到t之间.从而

f（1+x）=f（1）+f′（1）x+f″（ξ1）2！x2，1<ξ1<1+x，

f（1-x）=f（1）+f′（1）（-x）+f″（ξ2）2！x2，1-x<ξ2<1，

即ln（1+x）=x-x2ξ21·2！，1<ξ1<1+x，

ln（1-x）=-x-x2ξ22·2！，1-x<ξ2<1，

即有ln（1+x）-ln（1-x）=2x-x2ξ21·2！+x2ξ22·2！

=2x+1ξ22-1ξ21x22！>2x（1-x<ξ2<ξ1<1+x），

从而不等式e2x<1+x1-x得证.

例4 设f（x）在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且 limx→0f（x）x=0，判断级数∑∞n=1f1n的敛散性.

解 因为 limx→0f（x）x=0，

所以 limx→0f（x）=0且 limx→0f′（x）=0.

由题设f（x）在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，

所以f（0）=0且f′（0）=0.

将f（x）展开成带有拉格朗日型余项的泰勒公式，

有f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（ξ）2！·x2=12f″（ξ）·x2，

ξ介于0与x之间.

由题设，f″（x）在x=0的邻域内连续.

因此，f″（x）在包含x=0的一个小闭区间内连续.

由闭区间上连续函数的性质，在包含x=0的一个闭区间内，M>0，使得|f″（x）|≤M，

所以|f（x）|=12f″（ξ）·x2≤M2·x2.

令x=1n，有f1n≤M2·1n2.

已知p-級数∑∞n=11n2收敛，因此级数∑∞n=1M2·1n2收敛.

从而∑∞n=1f1n绝对收敛.

以上我们借助几个实例展示了泰勒公式的应用.通过例子我们发现带皮亚诺型余项的泰勒公式，多用于只需对余项定性的问题中，如极限计算等;而带拉格朗日型余项的泰勒公式，多用于需对余项定量的问题中，如级数敛散性判断等.

泰勒公式可以巧妙解决很多数学问题，在其他学科的问题中，也有着广泛的应用.当然，具体使用哪种余项，需要因地制宜、灵活把握.

【参考文献】

[1]苗文静，王昕.关于泰勒公式及其应用的思考与讨论[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013（5）：29.

[2]姚志健.泰勒公式在证明不等式中的应用[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2015（1）：29.

[3]徐海娜.泰勒公式的应用例举[J].科技信息：学术研究，2008（14）：83-84+87.

[4]于力，刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用[J].高等数学研究，2003（3）：6.