一类弦方程的结点问题

王敏

【摘要】本文考虑定义在[0，β]区间上的弦方程特征函数的结点问题.在密度函数ρ（x）满足一定条件时，利用已知的结点信息建立了与结点相关的平均值公式.

【关键词】弦方程;结点;特征函数;特征值

一、预备知识

常型Sturm-Liouville系统是一类连续的振动系统，而势方程和弦方程是Sturm-Liouville系统中最常见的两种研究对象.经过一个多世纪的不断发展，Sturm-Liouville理论日趋完善，其在数学物理、工程技术和气象物理等各个方面有着重要的理论意义和应用价值.人们对势方程的研究越来越多，也取得了许多进展，见文[1-5].然而，对于弦方程的结点问题研究甚少.本文的目的是利用研究勢方程结点问题的方法来研究弦方程的结点问题，建立了与节点相关的平均值公式，并给出详细证明.

本文主要考虑弦方程（1）的特征函数的结点集问题，并给出关于结点的平均值公式.

y″（x）+λρ（x）y（x）=0，y（0）=y（β）=0.（1）

其中，0<x<β，ρ（x）称为密度函数，ρ（x）>0且ρ（x）∈C2[0，β]是一个实值函数.

设φn（x）表示弦方程（1）的第n个特征值λn所对应的特征函数，x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示特征函数φn（x）在区间（0，β）上的全部结点.记x（n）0=0，x（n）n=β，I（n）j=[x（n）j-1，x（n）j]，|I（n）j|表示结点区间I（n）j的长度，记|I（n）j|=x（n）j-x（n）j-1.根据变分原理和特征值的单调性得[6]

λn=∫ x（n）j x（n）j-1[φn′（x）]2dx∫ x（n）j x（n）j-1ρ（x）[φn（x）]2dx，

π2max（ρ，I（n）j）|I（n）j|2≤λn≤π2min（ρ，I（n）j）|I（n）j|2

（2）

成立，其中，max（ρ，I（n）j）和min（ρ，I（n）j）|I（n）j|2分别表示函数ρ（x）在区间I（n）j上的最大值和最小值.

二、主要结论

本节利用结点和相关性质给出关于结点的平均值公式.

引理1[6] 设x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示问题（1）的特征值λn所对应特征函数φn（x）的结点，ρ（x）是密度函数，则有

limn→∞∑nj=1ρ（x（n）j）n=∫β0（ρ（x））3dx∫β0ρ（x）dx.

引理2[6] 设x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示问题（1）的特征函数φn（x）的结点，ρ（x）是密度函数，则有

limn→∞1n2∑nj=11x（n）j-x（n）j-1=∫β0（ρ（x））2dx∫β0ρ（x）dx2.

定理3 设x（n）1<x（n）2<…<x（n）n-1表示问题（1）的特征值λn所对应的特征函数φn（x）的全部结点，ρ（x）是密度函数，则有

limn→∞1n3∑nj=11（x（n）j-x（n）j-1）2=

∫β0（ρ（x））3dx∫β0ρ（x）dx3.

证明 由（2）式得

λnmin（ρ，I（n）j）≤π21|I（n）j|2≤λnmax（ρ，I（n）j），

同时，关于j求和可得

λn∑nj=1min（ρ，I（n）j）≤π2∑nj=11|I（n）j|2≤λn∑nj=1max（ρ，I（n）j），

同除以n3得

λnn2∑nj=1min（ρ，I（n）j）n≤π2n3∑nj=11|I（n）j|2≤λnn2∑nj=1max（ρ，I（n）j）n，

对上式取极限（n→∞）有

limn→∞λnn2∑nj=1min（ρ，I（n）j）n≤limn→∞π2n3∑nj=11|I（n）j|2

≤limn→∞λnn2∑nj=1max（ρ，I（n）j）n.

由于

limn→∞λnn2=π2∫β0ρ（x）dx2，（3）

因此，

π2∫β0ρ（x）dx2·∫β0ρ（x）ρ（x）dx∫β0ρ（x）dx≤limn→∞π2n3∑nj=11|I（n）j|2

≤π2∫β0ρ（x）dx2·∫β0ρ（x）ρ（x）dx∫β0ρ（x）dx，

所以，定理3得证.证毕.

三、结 语

通过对弦方程结点问题的研究，建立了关于结点的平均值公式.这对我们今后解决逆结点问题提供了思路，接下来，可以考虑利用结点与密度函数的关系，思考仅利用结点信息是否可以唯一重构相应的密度函数;此外，我们也可思考当密度函数不满足ρ（x）∈C2时，即密度函数ρ（x）是逐段连续的实值函数时，如何建立相应的均值公式.

【参考文献】

[1]王於平.参数边界条件下Sturm-Liouville算子的逆谱问题[J].应用泛函分析学报，2017（3）：294-298.

[2]王卫星，魏广生.一类Schrdinger算子逆谱问题的唯一性[J].纺织高校基础科学学报，2013（1）：60-64.

[3]卞翠，魏广生.Sturm-Liouville逆结点问题的唯一确定性[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2011（5）：20-22.

[4]傅守忠，徐宗本，魏广生.不定型Sturm-Liouville逆问题[J].数学学报：中文版，2009（1）：47-60.

[5]魏朝颖，魏广生.非连续Dirac算子谱的分布及其逆谱问题[J].应用数学学报，2014（1）：170-178.

[6]SHEN C L.On the nodal sets of the eigenfunctions of the string equation[J].SIAM Journal on Applied Mathematics，1988（6）：1419-1424.