基于认知负荷理论探析“平面向量”概念的教材呈现——以人教A版、北师大版教材为例

☉西北师范大学教育学院 张定强

☉西北师范大学教育学院 牛睿芳

基于认知负荷理论探析“平面向量”概念的教材呈现
——以人教A版、北师大版教材为例

☉西北师范大学教育学院 张定强

☉西北师范大学教育学院 牛睿芳

一、引言

向量是沟通代数、几何与三角函数的重要工具，具有代数的抽象和几何的直观特点.［1］《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）中就明确指出：要求学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.［2］从认知学习理论的角度看，教材是服务于教与学的，而知识自身带有认知负荷，所以，如何将认知负荷控制在一定的适度范围内就成为教材建构中思考的一个重要变量.［3］

本文以人民教育出版社出版（A版）和北京师范大学出版社出版（以下简称人教A版、北师大版）的两版高中数学教材必修4中第二章第一节向量概念的呈现为例，从认知负荷理论的视角来审视向量概念的教材呈现，以此为高中向量概念的教学提供参考.［4］

二、认知负荷理论视角下的教材知识呈现

澳大利亚认知心理学家J.Sweller及其同事于20世纪80年代提出认知负荷理论，此理论以资源有限理论和图式理论为基础，［5］认为认知负荷是指在信息加工过程中个体认知系统中所必需的认知资源和心理活动的总量.由于个体的认知资源有限，一旦其所需要的资源量超过个体的资源总量就会产生负荷，影响学习效率；与此同时，知识是以图式的方式存储于个体的长时记忆中，图式可以帮助形成认知活动的自动化来降低个体的认知负荷.教材知识的呈现就是要使学习者在一种适度的认知负荷内完成认知活动，形成稳固的认知图式，不断地增加认知资源总量.

认知负荷一般分为内在认知负荷、外在认知负荷及相关认知负荷三种.内在认知负荷是学习材料的内在特征给予的工作记忆负荷，它取决于学习材料本身的复杂性和学习者先前的知识经验等因素，那么数学教材建构中基于学生的数学现实选择适宜的学习材料来呈现知识就十分关键；外在认知负荷是由学习材料的组织和呈现方式给予的工作记忆负荷，那么数学教材建构中知识素材呈现的逻辑结构及表征方式就很重要，如加注一些旁白或导引语会影响概念的理解水平，会给予学习者外在的认知负荷；相关认知负荷是指在学习过程中会投入额外的认知资源来巩固知识的形成，帮助建构认知图式的自动化，这种负荷不是由学习材料自身引起的，是激励和促进学习者学习活动中的认知负荷分配，如教材建构中嵌入一些相关的数学问题会促进学习者的认知负荷分配.

认知负荷理论之下的教材知识呈现不仅要把握知识内在特性所产生的内在认知负荷，而且要控制学习材料的组织顺序所带来的外在认知负荷，更要考究相关认知负荷对教材知识呈现所产生的影响.特别要关注认知负荷理论之下数学教材呈现影响学习效果的教学效应，这种效应主要涉及注意分散效应和样例效应，注意分散效应是指学习材料呈现多种的信息源干扰学习，完成资源的整合会产生一定的认知负荷，这对于初学者影响尤其大；样例效应是指针对问题给出的示范性解答，以此来借用和重组长时记忆中的图式产生新的图式自动化.所以，教材知识概念的呈现既要考量认知负荷，也要注意认知负荷引起的教学效应.

三、研究方法

本文在认知负荷理论架构之下采用文本分析法对两版教材中的平面向量概念内容进行比较分析，选取必修4第二章第一节为样本来研究向量概念的教材呈现.教材呈现就是教材本身显示或显露出的内容，［6］从向量概念的具体内容呈现、编排顺序和导入形式三个维度展开，结合认知负荷理论以及教学效应进行微观的比较和分析，以发现两版教材在平面向量概念的呈现［7］，［8］的异同点.

四、认知负荷理论下“平面向量”概念教材呈现的具体探析

1.教材的具体内容呈现比较

就认知负荷理论的视角来看，具体内容是其内在认知负荷的主要表现，很大程度上取决于学习材料的复杂程度和学生原有的认知图式，［9］关于向量概念呈现的具体内容见表1.

表1 两版教材中关于向量概念的具体内容比较

由表1表明，两版教材的选择导入向量概念的内容设置有其一致性，按照内在认知负荷表现知识自身特性的原则来呈现，用有向线段A—→B表示向量，学习者的认知中包含起点、方向和长度三个学习元素，“A”、“B”和“→”等符号之间的相互关系形成元素的互动从而影响认知负荷的高低；向量的表示方法还有a（黑体小写字母a），学习者需处理几种表示方法的内在特征，但元素间互动较少，属于记忆层面，内在认知负荷并不高；两版教材都通过实例阐述向量相关概念，参与认知形成的元素较多，即使是低水平互动仍会产生内在认知负荷.从标题就可看出，向量涉及的基本概念非常多且非常重要，需要讲解和强调的内容很多，［10］如果单从标题去感知学习内容会承受较大的认知负荷.

比较发现其不同点人教A版中向量概念的呈现是由3小节、2例题、3个问题旁白、2个注释旁白和3个图片旁白构成，通过两个物理学的实例引出概念，过渡到向量的几何表示，加上一些问题旁白的启发，引发学习者深度思考，虽然加重了一些认知负荷，但有利于深化对向量概念的理解；最后一小节阐述相等向量与平行向量，用例2来认知这两个重要的向量，由于概念高度关联，差异不大，容易对不同认知水平的学习者形成不同的学习体验，内在认知负荷也受到学习者先验知识水平的影响；而北师大版教材的向量概念是由2小节、1例题、8图片旁注构建，形式上不及人教A版丰富，其中第一小节以物理、生活背景为主，如飞机飞行、去学校、掷标枪、起重机吊物、汽车爬坡等6个实例，这些信息元素的数量和关联程度在物理知识储备不同的学生之间形成相对认知难度，即知识储备丰富的学习者认知负荷较低，储备薄弱者则承受较高认知负荷；第二节以“向量的概念”独立成节，给出了向量相关的知识，如有向线段、长度、零向量、单位向量、相等向量、平行或共线向量等，篇幅明显不及人教A版多.值得一提的是，北师大教材明确区分了物理矢量与数学向量的不同，即向量起点位置可任意这一特性，给出了向量被称为“自由向量”的解释，这使得自由向量的呈现不唐突，缓解了学习者的认知负荷.

就教学效应而言物理知识向数学知识的过渡需要关注知识的本质属性，知识的复杂度和学生的先验知识水平影响学生概念理解的难易性，因此教学过程中要注意样例效应和注意分散效应来增进学生分析和解决问题的能力，关注向量的数学化呈现，培养学生的抽象概括能力，通过学习元素间的低水平互动向高水平互动的过渡进行知识的整合和巩固.

2.向量概念的编排顺序比较

教材是学习者获取知识的主要媒介，学习材料的编排顺序影响学习者的认知活动，直接影响学习的外在认知负荷，表2是两版教材的编排顺序比较.

表2 两版本教材向量概念编排顺序的比较

由表2可以看到，两个版本的教材呈现的编排顺序基本趋于相同，都从物理背景引入向量的概念，抽象出数学中向量的几何表示法，通过例子进行知识的拓展，增加学生的认知负荷，加深对概念的理解.两版教材中向量的模、零向量，单位向量这三个概念的认知负荷表现基本相同，关于模的表征，即向量的长度，用符号“||”表示，在这里需要注意其与代数中绝对值符号的不同意义，进而降低外在认知负荷.两版教材均关注了学习者认知的顺序性，考虑了学习者认知负荷的潜在因素，但是需要注意信息的丰富度，例如文本中图示的使用给视觉信息加工增加负荷，根据资源有限理论，应该考虑文本与图示的适度匹配使学习者的认知负荷达到平衡.

当然，编排顺序还是有一些不同：（1）部分知识点呈现顺序不同：北师大版教材的顺序为“相等向量→平行向量→共线向量”，平行向量是概念弱化了的相等向量；而人教A版则以“平行向量→相等向量→共线向量”的顺序展开，就认知领域而言旨在强化向量由其方向和模决定这一特性.作为初学者，并不具备很高的专业知识，相近概念的学习需要较高的信息处理能力，否则会出现信息干扰，增加信息处理与储存的负荷.（2）例题的设置位置不同：人教A版中，向量相关概念讲解后例题紧随其后，学中有练，注重知识的衔接与过渡，促进了向量相关知识的认知图式自动化；北师大版各部分内容紧凑，展现概念的内涵与外延，但只在末尾呈现一个例题，样例效应被弱化.

就教学效应而言学习材料呈现的顺序、梯度影响外在认知负荷，教学中应该准确把握样例的呈现，以及相似概念间的影响，避免学生的注意分散效应；学生的先验知识水平提供信息处理引擎，但是个体有差异，教学应该协调学习者的概念理解，不断提炼知识的图式建构，增加有效的相关认知负荷，［11］适度控制外在认知负荷.

3.向量概念呈现中设置关联认知的比较

所谓关联认知是指学习者的学习过程中促进图式的建构而需要投入其他认知资源，表现为相关认知负荷，在教科书的呈现中主要体现为文本里引发思考的问题旁白和正文后深化知识的练习与习题.两版本教材中向量概念呈现的相关认知设置比较见表3.

表3 两版本教材向量概念呈现的相关认知设置比较

由表3可以看到，人教A版的问题旁白与物理学知识相结合，鼓励学生思考，培养探究的习惯，在调动多种学习元素互动参与中增加了相关认知负荷；北师大版中没有安排问题旁白，但其实例与生活联系紧密，缓冲力度适中，以先验知识水平为出发点层层递进，在文本中体现相关认知负荷，也有其合理性；练习与习题方面，人教A版数量多于北师大版，题目的难易程度遵循先易后难的原则，主要有以方位知识为背景的向量表示、确定几何图形中相等向量的数量等题目；两版教材的题目设置上人教A版有判断题，并且要注明理由，对学生的相关认知是一个挑战，这一点在北师大版的题目中没有体现.不同的相关认知设置体现了不同教材的特色，练习与习题是学生课后巩固的主要渠道.

相关认知负荷在教学中主要是以问题启发为主，还可以尝试选择人人头脑里都有的知识印象作为向量概念的原型，突破向量实际背景只有物理学背景的瓶颈，“问题旁注”是对即将引入的内容加以预设，在安排教学中适时强调，避免资源浪费，并借由相关负荷来促进高级认知图式的建构；课堂练习应该以典型题为主，强调向量知识的核心要点，这意味着对教师有更高要求，要合理掌控时间，在准确把握学生认知水平的基础之上，降低注意分散效应，增强样例效应来引导学生进行思考和探究，不断深化教学.

五、结论与建议

1.结论

（1）两版本教材内容呈现具有相似性，但侧重点不同两版教材内容呈现考虑了学习材料的复杂程度和学生原有的认知图式，体现了《课标》中现实情境与知识的对应要求，从物理背景向数学过渡.但是从小标题的呈现可以读出其不同，北师大版背景独立成节，而以向量概念为题展现其相关概念；人教A版分3小节呈现，篇幅较多，侧重概念与例题穿插讲解，但整体来看，二者相似度高.

（2）两版本教材编排顺序基本趋同，部分知识点呈现与例题位置略有差异

两版本教材注重学生先验知识水平，调动相关学习元素的参与，增加物理与数学学科间的联系，体现了外在认知负荷的重要性，遵循物理背景为原型向数学概念过渡的顺序.部分概念呈现顺序有差异，例题的位置不同，北师大版教材样例少，缺少样例效应可能会加大外在认知负荷.

（3）两版本教材相关认知的设置稍有不同，习题所涉及的知识范围相似

人教A版教材中在向量概念的呈现过程中设置问题旁白引发思考来帮助建构知识，注重思考探究，结合样例效应、注意分散效应，促进了知识的巩固；北师大版中没有设置问题旁注，但教材导入背景充实，选取了合理的预设视角，形成了适中的缓冲力度，体现了对注意分散效应的思考，以促进学生对于向量概念的理解；两版教材习题内容均以方位、速度等物理知识和几何图形中相等向量的应用为范围，所涉及的知识范围极其相似.

总之，内在认知负荷、外在认知负荷与相关认知负荷在总量上有此消彼长的特点，教材的呈现实现了学习者认知资源的重组和建构，遵循了认知负荷理论的一个原则，即：应用对学习材料的理解和学科间知识的整合来调整教材的内在认知负荷和外在认知负荷，从而完成相关认知图式自动化的促进作用，使向量概念更好地储存于学习者的长时记忆之中.

2.建议

（1）教材编写建议

通过基于认知负荷理论对向量概念教材呈现的比较分析，了解到不同版本教材知识呈现的特色，在建构向量概念的教材时，应全面考察文本解释、文本解释与实例是否有冗余信息以及将文本描述整合起来帮助理解概念内涵，考虑例子与习题的难易程度，有渐进、有梯度的建构，使文本、例题、旁白有机结合，实现呈现最优化.基于学习者的知识经验，并且有利于其学习，是教材知识呈现的一个重要的视角，那么在调研学生知识水平的基础上建构向量知识网络势在必行.因此，在完善教材建构中，需要做大量的调研工作，真正找到学习的切入点，从而使建构的教材既不加重学生的认知负荷，又不弱化学生的认知负荷，最大限度地发挥教材的育人功能.

（2）教学建议

教材服务于教学，因此教师要根据不同学生的实际认知情况适度运用不同教材，提高教学的灵活性和生动性.向量概念的呈现是物理与数学学科之间的过度，教材多运用物理实例引入向量概念，在不逾越学习者工作记忆资源有限性的前提下，教育者要判断学习者的认知水平，可以嵌入其他文化情景，通过增加元素互动数量的方式使内在认知负荷达到最佳水平.向量学习的目标是帮助学生关注元素之间的关联性，形成整体的知识网络.在教学中合理安排图形、文本、板书的位置，使知识粘合在一起，消解注意分散效应；样例的改变也会改变认知元素的互动，从而改变认知负荷.因此，要精心选择样例，以学生认知水平为基准，通过样例给学生呈现正确解决问题的每一步骤，以此巩固知识.关注教学效应不仅降低外在认知负荷方面效果显著，而且内在认知负荷也可以由它们的恰当组合来降低，以此来得到满意的教学效果.

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4.杨丽恒，原文志，马建宏.基于认知负荷理论的数学“翻转课堂”教学模式探究［J］.教学与管理，2015（5）.

5.孙崇勇，李淑莲.认知负荷理论及其在教学设计中的运用〔M〕.北京：清华大学出版社，2017.

6.张定强，蔡娟娥.基于理解视角分析“导数概念”的教材呈现［J］.高中数学教与学，2016（3）.

7.刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学4必修A版［M］.北京：人民教育出版社，2007.

8.严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）［M］.北京：北京师范大学出版社，2010.

9.范亚楠，王光明.认知负荷理论简介及其对数学PPT教学设计的启示［J］.数学教学研究，2015（11）.

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