高师数学对新课标数学教材中“平面向量”的联系与辅助

王正伟++王杏++曾庆雨

摘 要： 平面向量是中学数学和高等数学中必要的内容，具有“数”与“形”的特点，在几何与代数上都有广泛的应用，也是高考必考内容之一。同时，高等师范院校学习的平面向量是中学学习平面向量的拓展和延伸。本文对平面向量在中学、高考和高校数学学习中的有关内容作探讨。

关键词： 高师数学 平面向量 辅助

1.高考中的向量

在高考中主要是考查平面向量的基础方面的知识或者向量与其他知识的联系[1]。向量具有“数”与“形”的双重特点，是中学数学和高师数学中不可缺少的内容，历年高考已经体现出对相关的知识的要求与掌握。主要体现为考查平面向量的基本运算技能、性质、运算法则，以及考查它和其他知识的联系，如：数列、曲线、函数等。

平面向量在近年高考中常出现两道不同的题目。主要是选择题或填空题和解答题，选择题或填空题考查向量的运算法则、数乘、性质、共线问题、数量积与轨迹问题，解答题考查三角、函数、曲线、数列等问题，主要以平面向量的基本形式为条件，求解其他方面知识。

如已知■，■是两个非零的向量，若■+3■与7■-5■垂直，■-4■与7■-2■垂直，求：■与■的夹角。本例中主要考查向量的数量积满足交换律■·■=■·■，但不满足■·■=|■||■|，这就与平时的数量乘积运算不同，同时要更注意如果■·■=■·■，但不能得出■=■。

再如，在一个平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）。（1）求平行四边形的两条对角线的长，（2）求t的值，其中假设实数t满足（■-t■）·■=0。此题主要考查学生对平面向量的理解和对运算的求解能力，涉及的知识点有平面向量的几何意义（数形结合）、向量的线性运算和数量积。

2.中学新课标对向量的安排概要

新课标在课程的设计中考虑得比较周全，对单元的脉络安排合理。如：新课标《平面向量》是这样安排的，首先学习向量的实际背景及基本概念，再学习向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，最后学习向量的数量积和向量的应用举例，体现了对知识的安排具有整体性和科学性。平面向量作为必学内容，使得这一节内容在这一章中的位置得到提升，更体现了新课标的科学性、创新性，同时重视了知识的应用，贴近生活。

3.如何运用高师数学所学向量知识辅助中学教学

一方面，在《解析几何》中，几何问题求解时就可以把几何条件转化成代数方程利用代数工具进行研究。如：《解析几何》中向量的外积、混合积、向量的共线、共面等问题实际上都是用线性运算来描画的，都可用行列式表示出来。由此可知，高等师范院校学习的内容有很大程度上是中学课程的延伸。《解析几何》反映出现实世界的“数”与“形”的紧密联系，而《高等代数》则把《解析几何》所揭示的“空间”概念通过“向量”推广到十分抽象的“维空间”，而“代数”这一领域，很多地方都是因为有了“向量”为基础，才能够发挥下去。

向量作为“数”与“形”联系的桥梁，本身就很重要。在高中阶段属于简单学习，而在高校里不仅要研究向量的基础知识，而且要研究向量的各种特性及它的各种运算。许多几何问题都可以用向量的知识快捷解答出来。

另一方面，在高等师范院校里，数学专业以向量代数方法研究为主，它在立体几何中的应用很广泛，如果取定了原点和坐标系后，多元的数组就可以被看成以原点为始点的向量，复数就可被看成是平面向量。许多抽象的代数概念就会获得了具体的几何背景，个数的数组就可以看成虚构的高维空间中的向量。许多高维数组构成的“空间”实则是现实空间中向量各种运算的推广，也就是高等师范院校所学习的维向量就可以用来辅助学习中学的二维和三维向量。

总之，高等师范学院数学专业的师范生只有掌握好数学方面的专业基础知识，才有可能把大学所学知识用帮助学生学习中学相关知识，如平面向量等。

4.结语

通过以上对中学向量和大学向量的论述可以看出，中学所学习的平面向量内容虽然不是很深入，但是对中学学习中解决几何运算、代数运算、坐标运算是一种很好的工具，也是为大学学习打好一定的基础，而大学所学的内容则可以从高观点辅助和驾驭中学内容。师范院校学生必须认识到中学数学内容和高师院校数学专业所学内容之间的区别与联系，从自己实际所学内容开始思考、分析这些问题，打好坚实的基础，成功利用高师数学辅助中学数学。

参考文献：

[1]罗崇善.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1999：94-96.

[2]华东师大数学系.数学分析[M].第三版，北京：高等教育出版社，2001：101.

[3]孟道骥，著.高等代数与解析几何[M].北京：科学出版社，1998：47.

[4]邱森，主编.高等代数[M].武汉：武汉大学出版社，1991：61.

[5]丘维声，编著.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996：19-21.

[6]冯精华，陈清华；对人教版（A）新课标高中数学教材的几点思考——以数学1为例[J].福建中学数学，2005（05）.