偏文类学生数学教学辅助策略探索

☉江苏省新沂市高级中学 王登平

偏文类学生数学教学辅助策略探索

☉江苏省新沂市高级中学 王登平

全新的课程改革正在酝酿，新的课程标准已经于2017年初制定完毕，对于数学学科而言，文理科分科正在这一轮课程改革中逐步取消，有些省份走在课程改革试点前沿（如浙江、上海已经取消文理分科）.但对于学生而言，却不会因为文理分科的取消而没有层次差别，有些学生依旧是偏理型的人才，而有些学生则依旧拥有偏文类的特点.如何面对文理分科取消后的数学教学？如何在数学教学中将偏文类学生与偏理类学生一起教学？面对解题困扰时，教师如何掌控这一教学难点？这些都成为数学教学新面临的疑惑点.

笔者认为新的教学起点，新的契机，要有新的尝试.可以从几个方面来思考偏文类学生数学教学的一些辅助策略，将这一策略实施到位，有助于偏文类学生在数学学习中获得一定的成功感.本文结合教学片断和案例与大家一起交流.

一、注重学情，因材施教

偏文类学生与偏理类学生最大的不同在于其感性化程度较高，理性化抽象思维较弱.对于偏文类学生的教学正是要基于学生的这一重要特性，进行不同的教学设计，从知识理解的角度设计一定的感性部分，逐步将知识上升为理性层面，以求获得知识的巩固和理解.

案例1对定义域为R的函数f（x），其相关式子f（a+x）=f（b-x）与f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

分析：不少偏文类学生对于这种侧重抽象含义的数学表达式理解存在困难，其一，惧怕抽象式；其二，不理解；其三，因为这种循环造成了实际问题中也无法面对这些抽象表述，从而无法获得学习的快乐.笔者认为对于偏理类学生，我们更多的是依照教师自身多年的教学经验，结合抽象表述进行一番思考即可.但是对于偏文类学生而言，这一招几乎没用，因为其根本无法直接进入理性思考的层面，因此针对学情因材施教才是关键.将其分为三个步骤进行教学：

（1）思考特殊关系式，令a=b=0，表达式f（x）=f（-x）表达的含义是什么？显然说明定义域为R的函数f（x）是偶函数，其图像关于x=0（即y轴）对称.

（2）对于表达式f（a+x）=f（b-x），首先令x=1、x=2、x=3等多个变量取值，观测不同变量带来的影响，可以发现f（a+1）=f（b-1）、f（a+2）=f（b-2）、f（a+3）=f（b-3）等，显然其说明定义域为R的函数f（x）其图像关于对称.

图1

（3）进一步从更高层面的理性角度思考，对于f（a+x）=f（b-x）中，a、b为两个常数，对定义域为R的函数而言，即x任意变化情况下，我们作出其图像（如图1）.

抽象式f（a+x）=f（b-x）所表示的含义：自变量x1=a+x与x2=bx到它们的中点等距离，且（fx）=（fx），考虑到变量12的任意性，因此自变量x1=a+x与x2=b-x到它们的中点永远等距离，且函数值一定相等，从而可知定义域为R的函数（fx）图像关于直线成轴对称.

同理：对f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含义，也可以分为三步骤进行，思考教学中最基本的奇函数概念及其性质，即该表达式中a=b=0，因此获得了f（x）+f（-x）=0的更进一步的理解，对于更为一般性的表达式f（a+x）+f（b-x）=0，正是可以从这样的视角首先思考；最后理性环节的思考可以与上述第三步骤一样作出其图像（如图2）.抽象式f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含义：自变量x1=a+x与x2=b-x到它们的中点等距离，且f（x1）+f（x2）=0，即函数值互为相反数，由自变量的任意性，x1=a+x与x2=b-x的函数值互为相反数，从而可知函数f（x）关于点成中心对称.

图2

变式：对定义域为R的函数f（x），其相关式子f（x+a）=f（x-b）的含义又说明什么呢？

分析：显然本问题的结论是思考函数的周期性，但是偏文类学生往往又和第一个问题类型混淆.建议学生从特殊情形入手思考，取a=b=0，显然为恒等式；取a=b=1，则f（x+1）=f（x-1），显然与上述轴对称和中心对称均不相同，从一个角度再辅助偏文类学生思考，再次尝试令x=1、x=2、x=3，发现可得f（2）=f（0）、f（3）=f（1）、f（4）=f（2）等一系列值，这恰意味着周期性的体现.可以引导学生进一步进行理性证明，令x-b=t，则f（x+a）=f（x-b）⇒f（t+a+b）=f（t），由周期的定义可知，定义域为R的函数f（x）的周期为|a+b|.

可见，对于偏文类学生的教学要特别注重学生的感性思维，可以适当地将较难的数学抽象知识分割学习、逐步深入，大大舒缓了偏文类学生的数学学习过程、提高了学习的积极性，将注重学情的教学设计结合螺旋式上升的教学过程，则符合偏文类学生学习认知心理，是有效的教学.

二、强调特殊，注重归纳

与偏理类学生不同的是，偏文类学生更要注重从特殊到一般的归纳推理方式，而不是演绎推理.这与偏文类学生的思维特征紧密相关，因为偏文类学生思维的层次性不够，这就要求教学中更好的方式是首先获取问题的答案，然后回头思考怎么获得一般性的过程.从特殊到一般，是归纳推理的典型运用.

案例2已知函数f（x）的导函数为f′（x），若2f′（x）＞f（x）对任意的x∈R成立，则3f（2ln2）与2f（2ln3）的大小关系为___________.

分析：本题为导数运用问题，其本意是从构造类的角度思考导数的运用，但是对于偏文类的学生而言，其根本未能意识到这一知识使用的层面，因此可以换一个角度首先思考答案的判断.因为2f′（x）＞f（x），对任意的x∈R，令f（x）=ex，显然f（x）满足题意，因此3f（2ln2）=3e2ln2=12＜2f（2ln3）=2e2ln3=18，因此3f（2ln2）＜2f（2ln3）.对于偏文类学生来说，答案的判断显然获得了成功，从应试角度来说已经成功.新课程标准明确提出了要学生获得适合其自身发展的数学，因此对于不少偏文类学生而言，能掌握这种特殊化的问题解决思想，已经是一种足够的数学，就如天津师大王光明教授所说：“没有必要人人都去研究形式化的数学过程和结论，获得适合自身发展的数学才是关键和必需的.”

最终确定了问题的答案，对于偏文类学生而言，也可以让学生进一步体会知识运用的合理性，一般性的方式方法怎么寻求解决之道.本题是典型的函数构造类，考虑到选项中的数值，将3（f2ln2），2（f2ln3）变形为比较这两个数的大小关系，因此容易想到构造函数，研究其导数又对任意的x∈R时2f′（x）＞（fx）成立，因此2f′（2lnx）-（f2lnx）＞0，故g（′x）＞0成立，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数.又2＜3，故g（2）＜g（3）⇒ （f2ln2）＜ （f2ln3），即3（f2ln2）23＜2（f2ln3）.另外，本题的函数构造不仅仅只有一种，还可以是有兴趣的读者可以再类似推理思考.笔者对这样的问题的教学建议是，运用典型的归纳推理思想，从特殊到一般，这正是偏文类学生适合的、喜欢的方式.

三、强化代数，善用图形

偏文类的学生对问题的一般思路更偏重运算的角度，即代数化，对于图形思维的角度考量不多，也不善于思考.笔者以为正是因为偏文类学生这样的普遍特点，我们教学更要重视思考，以偏文类学生的特点为切入点，强化其所需的代数运算能力，进一步开发其图形思考的方面，力争从数与形两个角度对不同偏文类学生进行加强.

案例3向量a，b，c满足，则|c|的最大值等于______.

分析：偏文类学生的思考主要是从数量积基本运算的视角出发，由题意，由（a-c）·又，所以，化简得|c|2≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0⇒|c|≤2，即最大模长为2.显然这种教学方式偏文类学生比较喜欢，因为注重的是数量积运算和均值不等式，但是能算到底的学生并不是太多，因此也要向学生渗透图形的思路.

另法：向量a，b满足夹角120°，且a-c与b-c的夹角是60°，以四点共圆来建构图形.如图3，设则∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知点C的轨迹是优弧上一动点，显然当点C为优弧中点时取到最大值，即为O，A，B，C四点所在圆的直径.易得，在△ABC中，由正弦定理知

图3

限于篇幅，本文就偏文类学生数学教学提出了符合新课程理念教学的三个辅助视角，即概念教学的多步骤、层次性，解题教学的特殊化、归纳推理，解题思想中的强化代数、善用图形等，这些都是偏文类学生没有完全做到位或者欠缺的.因此，笔者以教学实践中的思考做了一番不成熟的总结，恳请读者继续补充指正，引导偏文类学生进一步在数学学习上获得高效和有效的途径.

1.方厚石.函数教学诠释思维品质［J］.数学通讯，2014（1）.

2.吴成海.数学试题创新应着力于思维培养［J］.中学数学，2013（8）.

3.李广修.追求非功利化的数学教学［J］.中学数学月刊，2015（2）.