基于高中数学核心素养的复习课教学设计——以《曲线的切线方程的求法及应用》为例

☉浙江省台州市玉环中学 施小斌

☉浙江省嘉兴市第一中学 沈新权

基于高中数学核心素养的复习课教学设计
——以《曲线的切线方程的求法及应用》为例

☉浙江省台州市玉环中学 施小斌

☉浙江省嘉兴市第一中学 沈新权

高中三年的数学教学，约有三分之一的时间都是在进行复习，复习是高中数学教学过程中的重要组成部分.复习是知识的再学习，它是学生巩固所学知识、构建科学的知识网络、提高问题解决能力的重要手段，因此复习是学生学习过程中必不可少的一个环节.［1］传统复习课的“题型+方法”的复习方法在学生的数学能力与核心素养的培养方面还存在着一定程度的矛盾与短板：一方面，数学复习时间过长，导致学生对数学的探究兴趣减弱，从而认为学习数学就是为了应付高考，数学成了不少学生“苦大仇深”、“深恶痛疾”的学科，有人甚至在网上喊出了“数学滚出高考”的口号；另一方面，在数学学习与复习的过程中，不少学生虽然做了大量的数学试题，但对于一些新颖的试题尤其是高考数学试卷中有着较高能力要求的题目还是一筹莫展，其原因到底是什么？

首都师范大学的王尚志教授认为“高中数学教学中，教师的思路要开，胸怀要大”.“思路要开”就是在教学中要以学生发展为本，培养和发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养；“胸怀要大”就是在教学中要培养学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.东北师范大学的史宁中教授也认为，教师要在数学教学中帮助学生掌握知识、提高能力、发展素养.这就需要把常态教学与核心素养的培养结合在一起，老师们在备课时可以将核心素养的要求呈现出来.因此，在高中数学复习课的教学中，教学设计应体现数学学科的特征，也要符合高中学生的认知规律，依据数学课程目标，特别是数学核心素养的精神，精选教学素材与例题（习题），提高学生学习数学的兴趣，帮助学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.

下面笔者以一堂高三数学复习课《曲线的切线方程的求法及应用》的教学设计为例，来阐述基于高中数学核心素养的复习课教学设计.

一、基于高中数学核心素养的《曲线的切线方程的求法及应用》复习课教学设计

（一）认识曲线的切线方程的地位与作用

与曲线的切线方程相关的内容在《普通高中数学课程标准（实验）》中，其内容是导数的概念与几何意义，在《2017年浙江省高考数学考试说明》中，其考试要求是了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.

1.曲线的切线的知识背景

导数是微积分中的重要基础概念.简单地讲，一个函数的导数就是当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的变化趋势（极限）.导数的几何意义是该函数所表示的曲线在这一点处的切线的斜率.也就是说，函数函数y=f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义表示函数的图像在点P（x0，y0）处的切线的斜率.

图1

本质上讲，如果一个函数的图像在某个区间内的凹凸性是确定的，则函数的图像在这个区间内的每一点的切线在这个区间内要么恒在函数图像的上方或者函数图像的下方（在函数图像的上方或者下方取决于函数图像的凹凸性），这就是切线的几何意义.在图1中，函数y=f（x）的图像在点P1（x1，y1）处的切线为y=g（x）（一次函数），而函数y=h（x）的图像在点P2（x2，y2）处的切线也为y=g（x），从不等式的角度来看，图1所描述的函数的图像的切线与函数的解析式之间有着这样的不等关系：f（x）≥g（x）≥h（x）.因此，利用函数图像的切线可以证明函数不等式，这种方法也称之为不等式证明的“切线法”.从高等数学的角度来看，这些知识就是琴生不等式所反映的基本内容.

2.曲线的切线所蕴含的数学思想方法

曲线的切线所蕴含的数学思想方法有函数逼近思想、函数方程思想和数形结合的思想，特别地，这里的数形结合思想为一些函数不等式问题的解决提供了方法和技巧上的指导.

3.曲线的切线的考查内容与方式

在历年的高考数学试题中，涉及曲线的切线的问题主要有以下三类：第一，求解曲线的图像经过某点的切线方程（这个点可以在曲线的图像上，也可以不在曲线的图像上）；第二，求解曲线的图像经过某点的切线的条数；第三，利用函数的凹凸性与函数图像的切线证明不等式.在这三类问题中，前面两类属于基础问题，在复习时，只要掌握曲线的切线方程与切线的条数的求法就可以了，第三类问题中，曲线的切线往往不是显性的，常常“潜伏”在函数问题的压轴题中，恰当地利用曲线的切线成为解决这类高难度高考压轴题的突破口.

（二）曲线的切线方程的求法与应用的教学设计的几个基本环节

环节一：复习引入

（1）叙述导数的定义并指出导数定义中的关键点；（2）当x无限趋近于0时趋向于1，求曲线y=f（x）在x=3处的切线的斜率.

设计意图：重视学生对导数概念的理解，要求学生既能够精确的描述概念，又要能够辨析导数定义中的关键点，它是进一步理解、掌握导数概念的关键.通过2中的问题，一方面考查学生对导数概念的本质理解，另一方面，引导学生领会函数导数的几何意义.

环节二：曲线切线方程的求法

1.典例剖析

例1已知函数f（x）=x3，求曲线f（x）在x=1处的切线方程.

设计意图：从最简单的问题入手，把学生熟悉的问题作为思维启动的切入点.

2.变式

（1）已知函数f（x）=x3，求经过点（1，1）的曲线f（x）的切线方程.

（2）求曲线y=2x2-1的斜率等于4的切线方程.

设计意图：常见的求曲线的切线方程的题型有两种，一种是在曲线上某一点的切线方程（切点已知型，如例1），一种是求过某点的曲线的切线方程（切点未知型）.通过例1与两个变式问题的求解与对照，引导学生总结求解曲线的切线方程的基本步骤：

（1）求在曲线上的点（x0，f（x0））处的切线方程的步骤：①求出y=f（x）在x0处的导数f′（x0），得到曲线在点（x0，f（x0））的切线的斜率；②利用点斜式写出切线方程：yf（x0）=f′（x0）（x-x0）.

（2）求过某点M（a，b）的切线方程的步骤：①设切点为P（x0，y0），切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；②由b-f（x0）=f′（x0）（a-x0）求出切点P（x0，y0）的坐标，再代入切线方程即可.

3.编题

在例1和变式的基础上，你能否适当更换条件，重新给出一道题目？

设计意图：期待学生通过例1和变式问题的探究，能够编拟出类似下面的问题：已知函数f（x）=x3，求经过点（2，1）的曲线f（x）的切线方程.把这个点从曲线上“挪”出来，改成曲线外一点，然后求它的切线方程.

环节三：曲线切线条数的求法

例2已知函数f（x）=2x3-3x.若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围.

设计意图：本题是由2014年北京市高考数学试题（理科）改编的.根据所给具体问题的条件，选择适当的方法解决问题，是我们数学解题研究的重要课题.例1和变式的研究为例2的解决奠定了基础，正是有了前面的铺垫，点燃了学生思维的火花，引导学生将“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”与“g（x）=4x3-6x2+t+3有3个不同零点”之间进行等价转化，培养学生用等价转化的思想解决新的数学问题.

环节四：曲线切线几何意义的探究

例3设常数k∈R，讨论关于x的方程ex=kx实数解的个数.

设计意图：例3是由2007年福建高考数学试题（理科）改编而来的一个问题，例3的设计希望能够引起学生对“为什么要研究切线？”“曲线的切线到底有什么用？”这两个问题的思考.用函数的观点解决例3可以发挥切线的作用：构造函数y=ex，寻求切线的几何意义，以切线定位，从运动变化的角度思考，将直线l：y=kx绕原点从y轴顺时针旋转作动态观察：直线l与曲线y=ex相交于两点、相切、无公共点、再相交于一点这样四个典型的变化过程.

环节五：利用曲线切线的几何意义解决问题

例4已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.当m≤2时，证明f（x）＞0.

设计意图：武术界流传着这样一句话，武功的最高境界是“无招胜有招”，数学解题其实也是如此.本题是2013年新课标全国卷Ⅱ的第21题（压轴题），此题既可以利用函数的最小值来证明，也可以以切线为“桥”考查ex与ln（x+2）的大小关系，从而使得问题得以证明.

环节六：小结

（1）曲线的过某点的切线方程及切线条数的求法；（2）曲线的切线的几何意义.

设计意图：通过恰当的提问，将学生再次引入到探究之中，学生对已有的数学知识与方法进行重新发现创造和重新构建，自觉运用学到的研究方法及结论学会发现问题和解决问题的方法.

环节七：作业布置

1.函数f（x）=x3-3x，求过点P（-2，-2）作曲线的切线方程.

2.已知曲线在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，求a的值.

3.设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程.

4.已知函数f（x）=x3-x.设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）.

（1）求l的方程；

（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方.

设计意图：问题1，2，3都是对曲线切线方程求法这个知识点的巩固，问题4是对曲线的切线条数求法的进一步体验，问题5则突出曲线切线的几何意义的挖掘.

二、基于高中数学核心素养的《曲线的切线方程的求法及应用》复习课教学设计分析

即将颁布的《高中数学新课程标准》认为，高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学.教学过程中，要树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与教学意识，将核心素养贯穿于数学教学的全过程.因此，复习不是对旧知识的简单重复，通过复习要使学生加深对所学知识的理解，启发学生体会知识间的联系和发展等辩证观点，使学生不仅获得“知”，更让学生得到“识”，使学生既要得到“鱼”，又要学会“渔”.

（一）剖析数学概念，提高学生的数学理解

在复习课的教学设计中，环节一往往被教学设计者所忽略，设计时要么对数学概念、定理、公式不进行复习，直接进行解题教学，要么教师自己或仅提问学生对数学概念、定理、公式进行简单的重复，有时候最多就是加上额外的“三项注意”，至于概念的数学背景如何以及应用概念可以解决哪些问题等方面的问题，教师并不太关心.其实，对数学概念、定理、公式的复习是一个再认识和学习的过程，从定义的理解到关键点的把握，再到知识的运用，都是一环扣一环的，在复习时，各种方式要相互结合，循序渐进，在此基础上促进学生对数学概念的理解，逐步养成学生的数学思维.

环节一是在学生初步掌握导数定义的基础上展开的，所以首先要让学生能够用自己的语言精确地描述导数的定义；同时，要知道导数的概念并不是看一遍或读一遍就可以了，要深入理解导数这个概念，还应该把握导数概念中的三个关键点：第一个关键点是对定义中区间（a，b）的理解；第二个关键点就是对式子的理解；第三个关键点就是要趋近于一个“常数A”.尤其是对于第二个关键点，我们在设计时要特别的关注：一是要注意等式右边的结构特征，这是一个关于平均变化率的结构，这种结构类型我们可以与函数的单调性的定义来进行对比复习，把这两种关系联系起来，有助于学生理解平均变化率，也有助于在有些函数问题的解决中帮助学生构造函数.二是在式子中，Δx是一个变化的量，既可以是从小到大，也可以从大到小，也就是说这个Δx不一定就是正数，如果是从左边逼近，那它也可以是一个负数，不论平均变化率如何上下波动，导数的值同样是一个常数，也就是定义中的常数A.

学生有了对导数概念的这些理解后，解决环节一中的问题就顺理成章了，也为后面环节的教学埋下了伏笔.

（二）选择典型问题，关注学生的思维品质

在复习课的教学设计中，教师要有这样一种意识，就是例题的选择应立足于基础知识与基本问题，要充分考虑例题所承载的基本技能和基本的数学思想，也就是应当通过典型的数学问题把相对成逻辑体系的知识整合在一起，通过对这些数学问题的探究，培养学生的数学眼光和数学思维.

在环节二和环节三中，从例1这个最基本的问题出发，通过变式给出了曲线的切线方程求法的两种不同的题型，帮助学生在解决问题中系统地理解和掌握了求曲线的切线方程的基本题型和解题步骤.解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大.变式虽然变换了问题的条件和结论，变换了问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西呈现得更彻底.通过例题1及变式问题的解决，不仅让学生掌握曲线切线方程问题求解的通法，而且能够让学生了解这种问题的命题方式，在研究解题方案的过程中，根据题目的结构，改编类似的问题或构造新的问题，以达到巩固知识、活用方法、举一反三的目的，也为解决环节三中的例2提供思路.从环节二到环节三，从例1及其变式，再到例2，问题中曲线切线的条数也从1条到2条再到3条，既体现了数学问题灵活变化的特点，更突出了在复习教学中对数学研究方法的渗透.

（三）挖掘问题本质，重视学生的思维过程

环节四中例3这个问题的出现是意料之外却又是情理之中的.会求解曲线的切线方程或者曲线的切线的条数问题，其实并不难，但如何内化学生对曲线的切线本质的认识？例3起到的是桥梁的作用.在例3中，借助曲线y=ex的切线，容易有如下结论：（1）当k＞e时有两个不同实数解；（2）当k=e或k＜0时有唯一解；（3）当0≤k＜e时无解.如果例3的解决到此为止，那么这仅仅是一个数形结合问题的典型例子，我们还没有充分挖掘这个问题对于切线所特有的功能与本质.

例3这个小问题，隐藏着数学中的大道理.通过对例3的解决，借助数形结合思想，从形的角度我们就能够得到一个不等式：ex-1≥x，也就是ex≥1+x，这个不等式对一切x∈R恒成立（x=0时取等号），其几何意义是y=x+1是y=ex的一条切线，切点为（0，1），曲线y=ex恒在其切线y=x+1的上方，这个不等式实际上就是由高等数学中的泰勒展开式得到的一个不等式特例，但这个不等式蕴含着非常丰富的数学内涵.

对不等式ex≥1+x进一步探究，我们还可以得到更广更一般的对于解题有极大帮助的结论.在不等式ex≥1+x两边取自然对数，则有ln（1+x）≤x（x＞-1），其中等号在x=0处成立.另外，由于对于所有的x＞-1，总有所以从而对于所有的x＞-1，有恒成立.特别地，对于任意的x＞0，有上面的这些不等式在处理有些高考数学压轴问题时有着广泛的应用.譬如2007年山东卷高考数学（理科）压轴试题最后一问“求证：对于所有的正自然数如果没有前面的不等式作为铺垫，这个问题对很多学生来讲还是有困难的，借用前面的不等式，其证明就是分分钟的事情：ln

数学学习是需要思考的，在复习课的教学中，教师的一项重要责任，就是要引导和启发学生主动思考，学生的这种处理问题的能力靠题海战术是练不出来的，在教师的引导下，学生通过思考，才能领略问题的内涵，挖掘问题的本质，让学生在掌握所学知识技能的同时，积累思维的和实践的经验，逐步形成数学核心素养.

环节五中例4的解决，可以从恒成立的角度，借助ln（x+m）≤ln（x+2），只需证明函数g（x）=ex-ln（x+2）的最小值大于0.在教学过程中，这种方法我们也要引导学生去思考，这是解决这种问题的通法，通过这种方法可以培养学生的运算能力.但如果我们心中有图（图2），借助切线，则我们可以“不战而屈人之兵”：根据前面的分析，我们只需要证明ex≥ln（x+2）.由ln（1+x）≤x，得ln（x+2）≤x+1，又ex≥x+1，从而ex≥ln（x+2）不证自明.后一种分析方法无疑更能够突出切线在不等式问题解决中的作用，也更能够接近这个问题的本质.

图2

因此，这道问题的分析和解决再次突出了曲线的切线的几何意义，升华了学生对曲线的切线几何意义的进一步认识.

（四）布置精准练习，提升学生的核心素养

在数学复习课的教学设计中除了重视对数学概念的剖析，重视对数学本质问题的挖掘以外，还应该要重视对数学问题的解决方法以及对数学规律的小结.这里的环节六与环节七正是为此设计的.每一堂课的小结非常重要，它可以起到承上启下的作用，小结不仅能帮助学生理顺知识结构，突出重点，突破难点，在小结的过程中还可以帮助学生稳固知识点和数学方法与思想，也正是在这种在不断地遇见问题、发现问题、解决问题并总结归纳的过程中才使学生的核心素养得到不断的提升.在数学复习课的教学设计中作业的布置主要是根据复习课的教学目标来设计的，它有两方面的功能：第一功能是评价，第二功能是巩固提高.因此，在基于核心素养的数学复习课的教学设计中，作业除了考查学生基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验等获得程度同时，还要落实学生解决问题的能力的提高，更要培养学生从数学角度发现和提出问题的能力，以此促进学生数学核心素养的形成与发展水平.

三、结束语

随着高中数学新课改的不断深入，对高中数学教师的要求尤其是专业能力的要求也与日俱增，教师只有在很好地把握数学内容的本质的基础上，才能够高屋建瓴.在教学设计时在学生的知识基础上创设合适的教学情境，提出合理的问题，选择符合学生认知特征和规律的例题，从而启发学生独立思考，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质，让学生在积累数学思维经验的同时，形成和发展学生的数学核心素养.

1.沈新权.高中数学复习课的教学设计与实践［J］.中学数学教学参考，2012（8）.

2.沈新权，施小斌.MPCK视角下的高中数学复习课教学——以空间角的求法设计为例［J］.中学数学（上），2016（3）.