数形结合巧解分段函数问题

胡党琴

【摘要】在高中数学的教学中，函数是非常重要的一部分，对高中生来说是重难点问题，数形结合是一种非常重要的思维方式，能够在解析分段函数的问题时有很大的帮助作用.利用数形结合的思维方式巧解分段函数问题，是我们本文要分析和探讨的问题.

【关键词】数形结合；分段函数；思维方式

分段函数是高等数学理论中的一个重要的知识点，一般学习函数中的积分、导数等方面都会涉及分段函数，分段函数的学习具有一定的难度，因此，也是教师和学生值得研究的问题.本文将对数形结合的思维方式加以简单的介绍，并且对于数形结合对于解决分段函数的难题加以例证，通过数形结合可以完成分段函数的学习.

一、数形结合思想

高中数学教学过程中，数形结合是一种重要的思维方式，并且广泛的运用于学习中，这种思维方式能让学生好理解、易接受.数一般指的是数量关系，而形代表的是空间图形体现.二者相互依存，在一定条件下也可以相互转化.根据数形结合，我们能够将比较难的问题加以直观的分析，化繁为简利于学习.通过数形结合的方式，能够将一些数量关系直接转换为图形进行分析以及研究，不仅解决了一些复杂的难题，同时对高中数学教师教学方式也有一定帮助.

二、利用数形结合思想巧解分段函数的途径

（一）利用直观图

在学习数学过程中，一般遇到的多数都是数字或者是很多的方程式等，数形结合的方法开辟了新的途径，也就是利用图像的作用，将数量关系直接反映在图像当中，图形作为一种直观的语言，可以加深对于分段函数解析的印象，一般的图形较之于语言来说比较直观好理解，这种方式广泛应用于当前高中生學习分段函数的过程中，能够有效提高学生的学习效率和效果.

（二）利用多种语言表达方式进行转换

在分段函数教学时，我们一般可以选择三种语言形式，也就是基本的符号、文字和图像形式.在不同的问题中，我们可以充分考虑到一些特点，根据需要来选择不同的语言形式，来帮助更好的解析函数问题.当语言形式在转换时也能促进学生的思考，换一个方向进行解析，能够使思维活跃，不至于执着于一个解题思路而无法得出结论.

三、利用数形结合思想巧解分段函数的方法

（一）在利用数形结合的过程中需要掌握一定的基本方法，在解决一般的分段函数问题时，要注意能够让学生将图形进行一个基本的模拟画，千万不能马虎，否则虽然是利用了图像的功能，却容易导致算错题.所以说数和形的结合需要准确且相互配合，才能真正做到解决分段函数问题.如下题所示：

例1设f（x）为定义域在R上的偶函数，当x≤-1时，f（x）的图像是过点（-2，0），斜率为1的射线.又在的图像中有一部分是过顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）解析式，并作出其图像.

解当x≤-1时，由条件得f（x）=x+2；当x≥1时，由条件得f（x）=-x+2；当-1≤x≤0时，由条件可设f（x）=ax2+2，由于抛物线过点（-1，1），故1=a+2，即a=-1，此时f（x）=-x2+2；当0≤x≤1时，f（x）=f（-x）=-x2+2.又当x=-1时，x+2=-x2+2，

当x=1时，-x+2=-x2+2.

所以f（x）=-x2+2，-1

（二）在解析分段函数的过程中可以使用一定的分类讨论方法，数形结合同时也要进行细节的分析，函数的变量问题以及变化的规律问题，都需要进行合理的推算，将函数的最大值和最小值以及每一段可能出现的情况列出来，然后呈现在图像中，这种方式能让每一道题目一目了然.

（三）分段函数也要注意整体性的考虑，当一个图像被画出来的时候，我们能够直观的分析这个函数的算法以及解决方式，在图像的帮助下，更容易结合实际问题进行考虑.

例2市场上出现了一种新的药品，实验人员在验药的过程中发现，成人在规定的剂量服用药品时，每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）的变化情况如图所示，那么成人按规定剂量服药后：（1）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式；（2）当2

在这种问题中我们就需要根据实际进行考虑，根据数形结合的方式，我们应该能够清晰地看到不同情况下变量的关系也随之发生了变化.学生需要根据具体的题目进行画图，并且需要根据图形的分析来解决题目.

四、结论

分段函数是高中学习中的一种特殊的函数，其变量多样性，问题的复杂性成为数学学习中的一个重难点，因此，在学习这个问题的同时，学生应该掌握相关的解题技巧，从多各方面进行问题的梳理，特别是从数形结合的角度进行研究，作为一种比较便利的解题方法，数形结合在高中生中受到了极大的欢迎，对于数学研究方面也是大有益处.因此，将数形结合的方法作为解决分段函数问题的主要方法是可行的.

【参考文献】

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