相似三角形与动点问题

张升

【基金项目】甘肃省“十三五”教育科学规划2016年度《初中数学动点问题分析研究》课题（课题立项号：GS[2016]GHB0653）成果.

所谓“动点问题”是指题设图形中，存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，在变化中找到不变的性质.下面通过具体的例子说明.

例1如图1所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动.设点P，Q运动的时间为t秒.当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P的坐标.

解∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8.

在Rt△AOB中，AB=62+82=10.

由题意可知AP=t，AQ=10-2t，

① 如图1所示，∠APQ=∠AOB，△APQ∽△ABC.

∴APAO=AQAB，即t6=10-2t10.

解得t=3011，即AP=3011.

∴PO=AO-AP=6-3011=3611，即P0，3611.

② 如图2所示，当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB.

∴APAB=AQAO，即t10=10-2t6，解得t=5013，即AP=5013.

∴PO=AO-AP=6-5013=2813，即P0，2813.

综上所述P0，3611或P0，2811.

例2如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，AC∶BC=4∶3，點P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1 cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2 cm/s，当一个动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

图3

图4

解设AC=4x，BC=3x.

在Rt△ABC中，由勾股定理知AC2+BC2=AB2，

即（4x）2+（3x）2=102，解得x=2，

所以AC=8 cm，BC=4 cm.

① 如图3所示，当Q在边BC上运动时，过Q作QH⊥AB于H.

由题可知AP=x，则BP=10-x，BQ=2x.

∵QH⊥AB，∴∠QHB=90°，∴∠QHB=∠C.

∵∠B=∠B，∴△QHB∽△ACB.

∴QHAC=QBAB，即QH8=2x10，故QH=85x.

∴S△PBQ=y=12BP·QH=12（10-x）·85x

=-45x2+8x（0

② 如图4所示，当点Q在边CA上运动时，过Q做QH′⊥AB于H′.

∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x.

∵QH′⊥AB，∴∠QH′A=90°，∴∠QH′A=∠C.

∵∠A=∠A，∴△AQH′∽△ABC.

∴AQAB=QH′BC，即14-2x10=QH′6，

解得QH′=35（14-2x）.

∴y=12PB·QH′=12（10-2x）·35（14-2x）

=35x2-515x+42（3

综上所述，y与x的函数关系式为

y=-45x2+8x（0