幂级数在多复变函数论中的一个推广

金帅+毛奕岑

【摘要】复变函数中研究解析函数主要有两种方法：一个是由Cauchy提出的积分表示方法，另一种是由Weierstrass提出的幂级数方法.幂级数方法是研究解析函数的一种重要方法，是复变函数论中的主要内容.本文将单复变解析函数的幂级数展式在多复变的乘积域中做了一个简单的推广，成为研究多复变全纯函数的一个重要工具.

【关键词】幂级数；多复变函数；全纯函数；Cauchy积分公式；一致收敛

【基金项目】广东科技学院科研项目（GKY-2016KYYB-15）.

一、引 言

复变函数主要包含三个方面的内容：Cauchy积分定理、Weierstrass幂级数定理以及Riemann映射定理.其中Weierstrass提出的冪级数方法成为研究复变函数的一个重要工具.在单复变函数论中，我们熟知如果一个函数在某一点解析，那么它一定可以在这一点的某个邻域展成幂级数[1]-[3].这是单复变函数论中解析函数的一种等价描述.多复变函数是单复变函数在多维情形的一种推广，但性质却发生了很大的变化，例如，多复变函数论中比较经典的Poincare定理和Hartogs延拓定理[4].在本文中，我们将把单复变解析函数的幂级数展式推广到多复变乘积域的情形，得到了全纯函数在乘积域的幂级数展式.

二、幂级数的一个推广

在这里，我们先介绍多复变函数论的一些基础知识[5].

三、结 论

本文主要利用单复变函数论的Cauchy积分公式与幂级数展式等工具，给出了多复变全纯函数在乘积域上的幂级数展式，使之成为研究多复变全纯函数的一个有效工具.

【参考文献】

[1]谭小江，伍胜健.复变函数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2006：48-86.

[2]龚升.简明复分析[M].北京：北京大学出版社，1996：16-28.

[3]刘灯明.解析函数泰勒展开的一种新方法[J].长春师范大学学报（自然科学版），2016（4）：4-7.

[4]涂振汉.多元复分析[M].北京：科学出版社，2014：19-50.

[5]萧荫堂，陈志华，钟家庆.多复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2013：1-8.endprint