二元幂级数的收敛性

2018-03-10郭志华秦小雨曹怀信

渭南师范学院学报 2018年4期

郭志华，秦小雨，曹怀信

(陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710119)

幂级数是数学分析的重要概念之一，在级数理论中具有极其重要的地位。关于一元幂级数的概念、收敛性及和函数等性质已有一套成熟的理论［1］，而对于多元幂级数的相关概念和性质研究甚少。多项式函数是一类结构简单、性质良好的函数类，在基础数学与计算数学中具有重要应用［2－3］。在文献［4］中，笔者引入了多元函数项级数的概念，给出了其收敛域及和函数的定义，通过详实的例子讨论了多元幂级数的收敛域、和函数及多元函数展开为多元幂级数的计算方法。文献［5］讨论了二元幂级数收敛半径的计算公式，但没有明确给出二元幂级数收敛半径的定义。文献［6］讨论了一个关于SP(n)的无穷级数的收敛性问题，文献［7］研究了关于幂级数在自然数列中的应用。

本文根据一元幂级数相关原理，通过探究二元函数项级数的概念及收敛性，引出二元幂级数及其收敛半径等概念，给出收敛半径的相关性质，证明一些收敛和绝对收敛性定理，并以实例给出求解收敛半径的方法。

1 二元函数项级数

1.1 二元函数项级数的概念

设{un(x，y)}是定义在区域D上的一个函数列，称表达式

为函数项级数(1)的部分和。

1.2 二元函数项级数的收敛性

定义1 若点P0=(x0，y0)∈D使得数项级数

收敛，即当n→∞ 时，部分和

的极限存在，则称二元函数项级数(1)在点P0=(x0，y0)收敛，且称点P0=(x0，y0)为级数(1)的收敛点;若级数(3)发散，则称级数(1)在点P0=(x0，y0)发散。若级数(1)在D的某个子集H上每一点都收敛，则称级数(1)在H上收敛。若H为级数(1)全体收敛点的集合，则称H为级数(1)的收敛域。此时，级数(1)在H上每一点P=(x，y)与其所对应的数项级数(3)的和S(x，y)构成一个定义在H上的函数，称为级数(1)的和函数，并写作

即

2 二元幂级数

2.1 二元幂级数的概念

称其为一个二元幂级数，其中常数

称为该幂级数的系数。由定义知

例如，当

时，相应的二元幂级数为

2.2 二元幂级数的收敛性

类似于一元幂级数的收敛性定理，我们有下面关于二元幂级数的收敛性定理。

定理1 (1)若二元幂级数(6)在点P0=(x0，y0)≠(0，0)收敛，则当

时，二元幂级数(6)收敛且绝对收敛;

(2)若二元幂级数(6)在点P0发散，则当

时，二元幂级数(6)发散。

证明 (1)因为二元幂级数(6)在点P0=(x0，y0)≠(0，0)收敛，所以

收敛，从而当n→∞ 时，通项un(x0，y0)收敛于0。于是，存在常数M ＞0，使得

于是，当

时，有

(2)由结论(1)可知。

推论1 若二元幂级数(6)在某个圆周Cr:x2+y2=r2(r＞0)上的每个点处都收敛，则它在该圆内处处绝对收敛。

证明设P=(x，y) 为圆周Cr内的任一点，则它可表示为(x，y)=k(x0，y0)(|k| ＜ 1)，其中:(x0，y0)∈Cr。从而，由定理1知二元幂级数(6)在P=(x，y)处绝对收敛。

基于这个推论，我们引入二元幂级数(6)的收敛半径的概念。

定义3 称

为二元幂级数(6)的收敛半径。

例1 对于二元幂级数(7)，由于

所以，由根式判别法知:当|x+y|＜1时，二元幂级数(7)绝对收敛;当|x+y|＞1时，二元幂级数(7)发散。因此，其收敛半径同时，当|x+y|=1时，二元幂级数(7)的通项不收敛于0，从而级数发散。故二元幂级数(7)的收敛域为，如图1所示。

图1 |x+y|=1的图像及收敛半径R，收敛域为两条直线围成的无界开域

下面给出收敛半径的意义。

定理2 (1)当R=0时，二元幂级数(4)的收敛域不能完全包含任何以原点为中心的圆周;(2)当R→+∞时，二元幂级数(6)在整个平面处处绝对收敛;(3)当0＜R＜∞时，二元幂级数(6)在圆CR:x2+y2=R2内处处绝对收敛;在圆CR:x2+y2=R2外，至少一点处发散。

证明 (1)由收敛半径的定义可知。

(2)当R→+∞时，由收敛半径的定义知:存在一个趋近于正无穷大的正数列{rn}，使得在圆周Crn:x2+y2=上，二元幂级数(6)处处收敛。对于任何圆周Cr:x2+y2=r2(r＞0)，当n足够大时，有rn＞r。于是，根据推论1知二元幂级数(6)在圆Cr上处处绝对收敛。由r的任意性可知:二元幂级数(6)在整个平面处处绝对收敛。

(3)设P=(x，y)为圆周CR内任一点，则x2+y2＜R2。由收敛半径的定义知:存在正数列{rn}使得rn→R(n→∞)且二元幂级数(6)在Crn上的每个点都收敛。取充分大的自然数n，使得R2。由推论1知二元幂级数(6)在点P=(x，y)处绝对收敛。

注1 当R=0时，二元幂级数(6)可能在除了原点之外的点处收敛。

推论2 对于二元幂级数(6)，记

注2 对于例2中的幂级数，有u2n(x，y)=n!xnyn，u2n+1(x，y)=0，a→+∞，但R=0。这说明不等式(10)中的小于号是可以成立的。对于二元幂级数，有u2n(x，y)=(x2+y2)n，u2n+1(x，y)=0，从而

例3 求二元幂级数

的收敛半径及收敛域。

解由于原级数可写为

这是z=x2y3的一元幂级数，其收敛半径为所以，当时，原级数绝对收敛;当时，原级数发散;当时，有，可见，原级数的通项不趋近于0，从而发散。因此，原级数的收敛域为

图2

解因为

为z=x+y2的幂级数，其收敛半径为1，收敛域为［－1，1］，从而原级数的收敛域为

进一步，由一元函数的泰勒展开式知，原级数的和函数为arctan(x+y2)，即

现在考虑该二元幂级数的收敛半径。首先，画出|x+y2|=1的图像(见图3)。收敛域就是两条曲线y2=－(x－1)(x≤1)和y2=－(x+1)(x≤－1)围成的无界闭域。设在曲线y2=－(x－1)(x≤1)上任意一点(x，y)到原点的距离为d，则它在处取得最小值由于曲线y2=－(x+1) (x≤－1)上任意一点(x，y)到原点的距离大于等于所以该二元幂级数的收敛半径如图3所示。