矩阵环的幂级数弱McCoy子环

王文康

(西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730124)

0 引言

文献[2]中的命题1.1指出,当n≥2时, 任意约化环R(没有非零幂零元的环)上的n×n阶矩阵环Mn(R)不是幂级数右弱McCoy环.我们给出任意环R的矩阵环Mn(R)的两个幂级数右McCoy子环和两个幂级数右弱McCoy子环，讨论reduced环与幂级数右弱McCoy环之间的关系.

用R表示数域F上的一个环.nil(R)表示环R中所有的幂零元做成的集合.Mn(R)表示环R上的n×n矩阵环，R[[x]]表示环R上的幂级数多项式环.

1 主要结果

我们将(Dn[k1,k2,…，kn](R))[[x]]与Dn[k1,k2,…，kn]R([[x]])看作是相同的.

定理1 设R是一个环，那么Dn[k1,k2,…，kn](R)是幂级数右McCoy环，从而是幂级数右弱McCoy环，其中n≥2.

其中as(i),bs(j)∈R,0≤i,j<∞,1≤s≤n.

其中0≤i<∞.

那么Dn[k1,k2,…,kn](R)是幂级数右 McCoy 环，从而是幂级数右弱 McCoy 环，其中n≥2.

推论1 设R是一个环，那么Dn(R)是幂级数右McCoy 环，从而是幂级数右弱 McCoy 环，其中n≥2.

一个环R称为 reduced，如果它没有非零的幂零元， reduced环又被称为约化环. 由文献[2]的命题1.2可得reduced环是幂级数右弱 McCoy 环.下面说明反之则不成立.

命题1 幂级数右弱 McCoy 环不是reduced环.

证明由推论1，D2(R)是一个幂级数右弱McCoy环.

采用与定理1类似的方法可得

定理2 设R是一个环，那么DnT[k1,k2,…，kn](R)是幂级数左 McCoy环，从而是幂级数左弱 McCoy 环,其中n≥2.

CBj∈nil(DnT[k1,k2,…,kn](R)),其中0≤i<∞.

其中as(i)，bs(j)∈R,0≤i,j<∞,1≤s≤n.

其中0≤j<∞.那么DnT[k1,k2,…,kn](R)是幂级数左McCoy 环，从而是幂级数左弱 McCoy 环，其中n≥2.

命题2 幂级数左弱 McCoy 环不是reduced环.

证明由推论2，D2T(R)是一个幂级数左弱 McCoy 环.