幂级数J-Armendariz环*

2017-06-10任艳丽李敏

中山大学学报(自然科学版)(中英文) 2017年2期

关键词：正则定理南京

任艳丽，李敏

(1. 南京晓庄学院信息工程学院，江苏南京 211171； 2. 南京信息工程大学数学与统计学院，江苏南京 210044)

幂级数J-Armendariz环*

任艳丽1，李敏2

(1. 南京晓庄学院信息工程学院，江苏南京 211171； 2. 南京信息工程大学数学与统计学院，江苏南京 210044)

幂级数；幂级数Armendariz环；幂级数J-Armendariz环；幂级数弱Armendariz环

本文假定所研究的环R都是有单位元1的结合环，α是环R的一个非零自同态。我们分别以R[x]和R[[x]]表示R上的多项式环和R上的幂级数环，分别以nil(R)和J(R)表示环R中所有幂零元的集合和R的Jacobsin根，分别以MN(R),Tn(R),In,Eij表示R上的n阶全矩阵环，n阶上三角矩阵环，n阶单位矩阵和第i行第j列为1其余为0的n阶矩阵。

近年来，关于幂级数环的研究和讨论有很多[1-7]。Kim等在文献[1]中称一个环R为幂级

由f(x)g(x)=0可以推出aibj∈nil(R),对一切i和j。幂级数Armendariz环是幂级数弱Armendariz环，但反之不成立(见文献[2]的Remark6)。

1 定义及例子

下面，我们将幂级数Armendariz环的概念做另一方面的推广。

定义1 称一个环R是幂级数J-Armendariz环，如果对任意的幂级数

由f(x)g(x)=0可以推出aibj=J(R),对任意的i和j。

显然幂级数Armendariz环是幂级数J-Armendariz环。

命题1 幂级数J-Armendariz环的理想子环也是幂级数J-Armendariz环。

当nil(R)是环R的理想(即R是NI环)时，nil(R)=J(R)(见文献[8]的命题2.7(2))，幂级数弱Armendariz环是幂级数J-Armendariz环。下面的例子说明，幂级数J-Armendariz环未必是幂级数弱Armendariz环。

例1 设F=Z2,A是幂级数环F[[t]]上的三阶全矩阵环，

B={M=(mij)∈A|mij∈tF[[t]],其中i=3或j=3时,mij=0}，

且满足f(x)g(x)=0,则

因此环R是幂级数J-Armendariz环。但对于环R上的两个多项式，有f(x)g(x)=0, 而te11t(e21+e22)∉nil(R),因此环R不是幂级数弱Armendariz环。

这样我们就知道，幂级数Armendariz环⟹幂级数弱Armendariz环；幂级数Armendariz环⟹幂级数J-Armendariz环，但反之都不成立。对于NI环，有幂级数弱Armendariz环⟹幂级数J-Armendariz环。

2 幂级数J-Armendariz环的扩张

给定两个环R,S和一个双模RMS，令

于是由f(x)g(x)=0知fr(x)gr(x)=0,fs(x)gs(x)=0。因为R,S是幂级数J-Armendariz环，所以

满足fs(x)gs(x)=0。现在令

这推出R,S都是幂级数J-Armendariz环。

推论1 设Tn(R)是n阶上三角矩阵环，则Tn(R)是幂级数J-Armendariz环当且仅当R是幂级数J-Armendariz环。

据命题2，自然问：环R上的n阶全矩阵环Mn(R)是否也是幂级数J-Armendariz环，其中n≥2。下面的例子给出了否定回答。

例2 设F是一个域且R=M2(F)。取

命题3 设R是一个环，I是环R的一个理想且I⊆J(R)。如果R/I是幂级数J-Armendariz环，则R是幂级数J-Armendariz环。

证明设

称一个环R为局部环，如果R/J(R)是除环。

推论2 如果R是一个局部环，则环R是幂级数J-Armendariz环。

证明因为R是局部环，R/J(R)是除环，而已知约化环是幂级数Armendariz环，所以R/J(R)是幂级数J-Armendariz环。由命题3 知结论成立。

但是，当R是一个局部环时，R未必是幂级数弱Armendariz环。

例 3[3]设F是一个域，R=M2(F)且R1=R[[t]]。

其中I是F的单位矩阵。显然S是局部环，由推论2知，环S是幂级数J-Armendariz环。但是取

f(x)=e11t+e12tx,g(x)=e21t+e11tx∈S[x]有f(x)g(x)=0,由于(e11t)2∉nil(S),故环R不是幂级数弱Armendariz环。

证明必要性。设

fα(x)=a0α+a1αx+…+apαxp+…,

gα(x)=b0α+b1αx+…+bqαxq+…

满足fα(x)gα(x)=0。取

其中

充分性。设每一个Rα是幂级数J-Armendariz环，

且满足f(x)g(x)=0, 其中ai=(aiα)α∈Λ,bj=(bjα)α∈Λ∈R,i,j≥0。对任意的α∈Λ, 取

fα(x)=a0a+a1αx+…+apαxp+…,

gα(x)=b0a+b1αx+…+bqαxq+…

推论3

(i) 环直和R=⊕α∈ΩRα是幂级数J-Armendariz环当且仅当每一个Rα是幂级数J-Armendariz环；

(ii) 设R是一个环，e∈R是中心幂等元，则R是幂级数J-Armendariz环当且仅当eR和(1-e)R都是幂级数J-Armendariz环。

(ii) 因为e∈R是中心幂等元，eR和(1-e)R都是R的理想，由R=eR⊕(1-e)R以及情形(i)即知。

称一个环R是Abel环，如果环R中每一个幂等元都是中心的。由文献 [10]的定理3.6知，幂级数Armendariz环是Abel环。下面的例子说明幂级数J-Armendariz环未必是Abel环。

命题 4 设R是幂级数J-Armendariz环，e∈R是任意幂等元，则eRe是幂级数J-Armendariz环。

且满足f(x)g(x)=0。因为环R是幂级数J-Armendariz环，所以aibi∈J(R),对任意的i,j。又因为aibi∈eRe,所以aibi∈J(R)∩eRe=J(eRe)。因此环eRe是幂级数J-Armendariz环。

定理2 如果环R是幂级数J-Armendariz环，满足J(R)[x]=J(R[x]), 则R[x]是幂级数J-Armendariz环。

证明设

并且F(y)G(y)=0, 其中

取kn=degf0+degf1+…+degfn+degg0+degg1+…+deggn+1,并且yn=xkn,其中deg (f)表示多项式f的次数。于是有

U(x)=f0+f1xk1+f2xk2+…+

fnxkn+…∈R[[x]]，

V(x)=g0+g1xk1+g2xk2+…+

gnxkn+…∈R[[x]]

即

U(x) =a00+a01x+a02x2+ … +a0txt+

a10xk1+a11xk1 + 1+a12xk1 + 2+ … +

a1txk1 + t+ … +

an0xkn+an1xkn + 1+an2xkn + 2+ … +

antxkn + t+…∈R[[x]],

V(x)=b00+b01x+b02x2+…+b0hxh+

b10xk1+b11xk1+1+b12xk1+2+…+b1hxk1+h+…+

bnoxkn+bn1xkn+1+bn2xkn+2+…+

bnhxkn+h+…∈R[[x]]

由kn的取法知，这样构造的U(x)是包含所有fi系数的幂级数，V(x)是包含所有gj系数的幂级数。由F(y)G(y)=0得U(x)V(x)=0。因为环R是幂级数J-Armendariz环，所以有aisbjl∈J(R),对任意的i,s,j,l。于是有fi(x)gj(x)∈J(R)[x],对任意的i,j。已知J(R[x])=J(R)[x],从而有fi(x)gj(x)∈J(R[x]),对任意的i，j。因此知R[x]是幂级数J-Armendariz环。

称环R的一个元素μ是右正则的，如果对任意的r∈R,由μr=0可以推出r=0。类似地，可定义左正则元。如果μ既是左正则元又是右正则元，则称μ是正则元。

定理3 设Δ是有限环R中的由中心正则元构成的乘法封闭子集，如果R是幂级数J-Armendariz环，则Δ-1R是幂级数J-Armendariz环。

证明因为R是有限环，Δ是一个左Ore集合，所以对任何F(x),G(x)∈(Δ-1R)[[x]],有

其中u,v是中心正则元，ai,bj∈R,对任意的i,j。如果F(x)G(x)=0,取

则由

0=F(x)G(x)=

(uv)-kf(x)g(x)

得到f(x)g(x)=0。因为R是幂级数J-Armendariz环，所以有aibj∈J(R), 对任意的i,j,从而有αiβj=(uv)-1aibj∈J(Δ-1R)。因此Δ-1R是幂级数J-Armendariz环。

推论4 如果环R是有限环，则R[x]是幂级数J-Armendariz环当且仅当R[x:x-1]是幂级数J-Armendariz环。

证明令Δ={1,x,x2,…},则Δ是环R[x]中的乘法封闭左Ore子集。因为R[x:x-1]=Δ-1R[x],所以根据定理3知结论成立。

[1]KIMNK,LEEKH,LEEY.Powerseriesringssatisfyingazerodivisorproperty[J].CommAlgebra, 2006, 34(6): 2205-2218.

[2]HIZEMS.AnoteonnilpowerserieswiseArmendarizrings[J].RendCircMatPalermo, 2010, 59(1): 87-99.

[3]HUHC,KIMCO,KIMEJ,etal.Nilradicalsofpowerseriesringsandnilpowerseriesrings[J].JKoreanMathSoc, 2005, 42(5): 1003-1015.

[4]HUHC,KIMHK,LEEDS,etal.Primeradicalsofformalpowerseriesrings[J].BullKoreanMathSoc, 2001, 38(4): 623-633.

[5]NASR-ISFAHANIA,MOUSSAVIA.OnskewpowerserieswiseArmendarizrings[J].CommAlgebra, 2011, 39(9): 3114-3132.

[6]HONGCY,KIMNK,KWAKTK.Nilradicalsofskewpowerseriesrings[J].BullKoreanMathSoc, 2004, 41(3): 507-519.

[7] 普昭年. 斜π-Armendariz环[J]. 中山大学学报(自然科学版)，2012, 51(3): 39-43.PUZN.Onskewπ-Armendarizrings[J].ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisSunyatseni, 2012, 51(3): 39-43.

[8]HWANGSU,JEONYC,LEEY.StructureandtopologicalofNIrings[J].JAlgebra, 2006, 302(1): 186-199.

[9] 王尧, 任艳丽.MoritaContext环的根[J]. 数学进展, 2016, 45(2): 195-205.WANGY,RENYL.RadicalsofMoritaContextrings[J].AdvancesinMathematics(China), 2016, 45(2): 195-205.

[10]KWAKTK,LEEY.Onnilpotentpowerserieswithnilpotentcoefficients[J].KoreanJMath, 2013, 21(1): 41-53.

Power series J-Armendariz rings

RENYanli1,LIMin2

(1. School of Information Engineering, Nanjing Xiaozhuang University, Nanjing 211171, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing 210044, China)