幂级数在函数方面的应用
2012-11-29袁炜,贺欣
袁 炜,贺 欣
(郑州铁路职业技术学院,河南 郑州 450052)
1 引言
我们在数学分析中已经掌握和了解了一些有关幂级数的定义和性质,知道了幂级数是函数项级数中最基本的一类;幂级数的特点是在其收敛区间上绝对收敛,且幂级数在收敛半径范围内可任意次的求导和求积分,又可任意交换求和次序.因此,在此范围内幂级数与多项式一样简便.我们先来看一下幂级数的定义和一些相关的性质.
幂级数的基本性质为:
性质 1.4[2]:在收敛半径范围内,即在( - R,R)上,幂级数可任意次逐项求导或求和且产生的新幂级数的收敛半径不变.
知道了幂级数的性质,我们可以看出幂级数是一类最简单的函数项级数,从某种意义上说,它也可以看作是多项式函数的延伸,幂级数在理论和实际上有很多应用,特别是在应用它表示函数方面,有许多方便的运算性质,因此,它在研究函数的方面成为了一个很有用的工具,使我们对它的作用有了新的认识.我们来看一下幂级数在函数中的一些应用.
2 幂级数在函数方面的应用
当f(x)的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时,计算f(x)的定积分就遇到了困难,现在,可以利用幂级数取有限项的办法近似计算这些定积分的值.
2.1 幂级数在计算积分中的应用
我们在计算积分时,当具体要求被积函数能够展成收敛的幂级数,且积分限必须在幂级数的收敛域之内,然后利用逐项积分来计算所求定积分的值.
∴收敛半径为R=+∞,这里用到了性质1.2,所以:
2.2 用幂级数来计算级数的和
我们在求级数的和时,要利用幂级数的性质1.4:幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,由此可计算级数的和.
则由幂级数逐项微分的性质可知:
由幂级数逐项积分的性质有:
2.3 用幂级数的性质证明一些不等式
我们可以通过利用幂级数的展开式和性质来证明一些不等式
2.4 幂级数在近似计算中的应用
解:数ex的麦克劳林级数是, x∈R.
只需n>5,由此可知当取项数为n≥6就可满足题目要求
则它在积分区间[0,1]上是连续的,利用sin x的展开式[1]得:
这是交错级数,每项绝对值数列单调减少趋于0,取前三项的和作为近似值,则误差为:
2.5 用幂级数形式来表示某些非初等函数
有些连续函数的原函数和有些常微方程的解不是初等函数,即非初等函数,可用幂级数表示这些原函数的解
问题1:求连续函数e-x2的原函数F(x)
解:e-x2
令 x= -t2,有
对幂级数在收敛区间内逐项求积分,可得幂级数在理论上和实际中都有很多应用,通过幂级数的展开式来表示函数.利用幂级数和函数的分析性质.常常能够解决数学分析中很多难题.由于它结构简单,因而成为计算常用函数.如指数函数、对数函数、三角函数和很多超越函数的一个基础工具.
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1990.6.
[2]姚允龙.数学分析[M].上海:复旦大学出版社,2002.8.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1983.