运用“特殊与一般”数学思想解决问题的思考

李 伟

(辽宁省鞍山市第三中学，辽宁 鞍山 114000)

运用“特殊与一般”数学思想解决问题的思考

李 伟

(辽宁省鞍山市第三中学，辽宁 鞍山 114000)

通过对几道函数部分的高考试题的解析，提出了运用特殊与一般相结合的思想解决数学问题的方法、注意事项，并对这一方法的合理性做了深入的思考.

特殊；一般；数学思想；数学哲学

在《2017年普通高等学校招生全国统一招生考试理科数学科大纲的说明》(下面简称《说明》)中关于论述数学科高考所考查的数学思想方法部分，第一次明确提出五种重点考查的数学思想，即：数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，并给出其内涵的相关论述.这个信息说明今后的高考对数学思想的考查不仅要更加重视，而且将更加明晰、具体.为此对于高中数学教学而言，更多地渗透和运用数学思想方法去思考解决数学问题，培养其运用能力成为必然，所以对此师生都应该给予足够的重视和必要的训练.但反思我们近几年来高考复习备考历程，尽管我们对上述提到的五种数学思想的考察给予了一定的重视，但相对于数形结合、函数与方程、分类与整合这四种数学思想而言，特殊与一般这一数学思想相对来讲还比较陌生，平时提及的也不多.

本文的目的是结合近几年高考数学理科试题，对如何运用特殊与一般的数学思想解决问题做一下剖析，以期强调该思想方法在解决高考试题(特别是解难题)中的重要地位和作用，介绍如何运用其进行解题的一些思考，供大家在今后的教学实践中参考.

首先，何为特殊与一般的数学思想？对此《说明》中有明确的阐述：“特殊与一般的数学思想是通过对问题的特殊情形(如特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊位置、特殊值、特殊方程等)的解决，寻求对问题的一般的、抽象的、运动变化的解决思路”.

从上述论述中，我们可以看出特殊与一般的数学思想就是在从特殊到一般，从一般到特殊的相互转化中寻求解决问题的思路与方法，是哲学意义下的特殊与一般规律在数学解题中的应用.

其次，在高考中如何运用特殊与一般的数学思想解决问题？下面笔者就通过列举近年三道高考试题的解答，介绍和说明特殊与一般数学思想运用、及其思考.

一、问题解决举例

所以答案选B.

例2 (2016年高考理科全国Ⅲ卷第6题)已知a=24/3，b=42/5，c=251/3，则

A.blt;alt;cB.alt;blt;cC.blt;clt;aD.clt;alt;b

解析对于比较a=24/3、b=42/5的大小，考察指数函数y=4x的单调性，知agt;b.

对于比较a=24/3、c=251/3的大小，考察幂函数y=x1/3的单调性，知cgt;a.所以答案选A.

说明：本题是采取由特殊到一般，再由一般到特殊的过程解决问题的.本题的解决是由具体数值的结构形式，推广到具有其形式的一般函数y=4x、y=x1/3，再借助于它们所具有的单调性，解决了其特殊数值的比较大小问题.

例3 (2016年高考理科全国Ⅱ卷第21题(Ⅱ)设函数f(x)=emx+x2-mx,

(1)证明：f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；

(2)若对任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范围.

解析(1)略.

即e|m|-|m|≤e-1的求解问题，即把问题(Ⅱ)转化为：“已知e|m|-|m|≤e-1，求m的取值范围”(将一般问题转化为特殊的问题).注意到函数h(m)=e|m|-|m|是偶函数，设函数g(t)=et-t(t≥0)，只需考察g(t)=et-t(t≥0)的单调性即可(这又是将特殊转化为一般的过程).由g′(t)=et-1；所以g(t)=et-t在(0,+∞)单调递增；又g(1)=e-1 .所以，不等式e|m|-|m|≤e-1的解为-1≤m≤1.

说明：本题是采取由一般到特殊，再由特殊到一般经过两次循环过程解决的.问题解决的最大特点是解题的前半段体现从一般到特殊，后半段体现从特殊到一般.所以，本题是灵活运用特殊与一般数学思想解题的典范.另外，本题不仅具有一定难度，解题的思考也很独特，是其他数学思想所不能及的，这也彰显运用特殊与一般思想解题的独到之处.

二、对问题解决后的反思

1.特殊与一般是哲学中的词汇，从哲学观点看人类对世界的认识就是由特殊到一般，一般到特殊这样的相互转化过程中实现的，它是人类认识世界的重要方法之一.数学是人类认识世界所形成的产物，所以解决数学问题是必然需要有这样的过程(详见参考文献4)，所以《说明》中明确提出对“特殊与一般“作为数学思想方法考查对象，并加以重点考查，说明高考除了考查必要的数学知识外，更注重对数学核心素养和其蕴含的哲学思想的考查.

2．由上述给出的三个问题我们可以看出，特殊与一般的思想解决数学问题更彰显解决数学问题过程的思辨性、灵活性和必然性，所以要运用好这一思想方法的关键：一是对学生从一般到特殊的发散能力和特殊到一般的抽象能力的培养.二是教学中更多重视对数学知识形成过程的认识(特殊到一般、一般到特殊)和数学本质(思辨性、批判性)的认识，在这些方面多训练、多积累，养成良好的思维习惯，自然就能灵活运用特殊与一般的数学思想方法解决问题了.

3.由特殊到一般的解题最为重要的是对其特殊性的正确抽象，这种抽象是要体现所给出问题一般性的.一般性中是否蕴涵特殊性的结构性质是正确抽象与否的关键.就上述解决的问题而言，由于特殊函数是一般函数某些性质的具体化表征，一般函数是其特殊函数的抽象而得到，这就确保解题的正确性.

一般地来说，若一般的对象(通常是集合)具有性质p，则其相应的特殊对象(集合的子集或元素)也一定满足性质p.反之，若特殊对象不具有性质p，则其抽象而得到的一般对象也一定不具有性质p.这是我们使用特殊与一般思想方法解题正确性的根本所在.由一般到特殊的解题的重要性分析同上，在此不多赘述.

5.特殊情形是很宽泛的概念，代数角度的特殊值、特殊式子等，几何角度的特殊位置、具体图形等.推而广之特殊的解题条件状况与一般的解题条件状况等也是特殊情形所涉及的范围.

6.限于文章的篇幅，本文所举例子仅限于高考试题中的少部分内容，但不失于想从高考层面探究此类数学思想重要性、重要地位，及能够较清晰地向读者阐述运用该数学思想解题的策略和思考.

事实上，一般与特殊的数学思想有其广泛的应用性，它对很多数学问题的解决(包括数学问题的提出)都很有帮助，在参考文献3、4中有更多、更详细的论述，在此不多赘述.

7.如果我们认真研讨近几年(特别是2017 年)高考数学试卷，就会发现特殊与一般思想的考查特点：一是在高考数学试题中占有一定的比重，考查频率较高.二是涉及运用此思想所解决的问题难度都比较大.从题目上看在12题、21题(2)中运用的频率最高(其他试题也有所运用)；从内容上看，都解决表面上中学阶段无法解决的问题.如：超越方程、超越不等式等.三是由于运用此思想所解决的问题其解法和思维都比较独特，所以对思维的灵活度要求得很高，是考生取得数学科高分的必由之路.

[1]教育部考试中心.2017年普通高等学校全国招生考试数学科理科大纲的说明[M].北京： 高等教育出版社出版，2017.

[2]教育部考试中心.2017年普通高等学校全国招生考试数学科理科大纲[M].北京： 高等教育出版社出版，2017.

[3]【美】乔治·波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社出版, 2001.

[4]【美】乔治·波利亚.数学的发现[M].北京：科学出版社出版, 2008.

[5]【美】斯图尔特·夏皮罗.数学哲学——对数学的思考[M]. 上海： 复旦大学出版社出版，2009.

[责任编辑：杨惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0002-03

2017-07-01

李伟(1961.7-)，男，中学特级教师，主要从事高中数学教学、初等数学教学和高考志愿填报研究.