高中数学的恒成立问题分析

2017-11-27李笑妍

数理化解题研究 2017年25期

关键词：图象三角形证明

李笑妍

(山东省肥城市泰西中学2015级13班,山东泰安 271600)

高中数学的恒成立问题分析

李笑妍

(山东省肥城市泰西中学2015级13班,山东泰安 271600)

本文以高中数学的恒成立问题分析为主题，从几个方面进行详细的讨论.

高中数学；恒成立问题

在高中数学的学习中，恒成立问题主要是不等式的证明、方程与函数相结合等知识内容，进而考查我们对其中相应的数学解题技巧和方法的掌握程度.同时，经常会有一些参数的取值范围来考查我们严谨度等数学素养，所以，恒成立问题虽然只是高中数学中的一部分，但是可以将各种知识结合起来，对我们数学的综合素质进行考查.

一、结合图象证明恒成立问题

在高中数学恒成立的问题解答中，我们可以结合其他数学知识和解题技巧，来快速的完成相应的恒成立问题.其中，结合图象法能够让我们对所证明的问题有一个清晰的目的，并且熟练运用数学条件之间的关系，高效地完成高中数学恒成立问题.下面举例进行说明结合图象法完成相应数学恒成立问题的解答.当0lt;xlt;π/2时，比较x,sinx与tanx的大小.根据这道数学题，学生们可以首先构建一个原点为O的直角坐标系，然后以原点为圆心作出一个单位圆，与横轴的正方向相交于点A.然后再作出角x，与单位圆的交点为点P，过点A作横轴的垂线交于点Q.过点P作横轴的垂线，垂足为点B.通过做出的数学模型，学生们可以直观地看出来，三角形POA的面积小于扇形OPA的面积小于三角形OAQ的面积，然后通过三角形和扇形的面积公式，学生们可以得出线段PB的长度小于AP弧的长度小于AQ的长度，学生们再通过数学模型来找出x,sinx，tanx的意义，找出对应的线段和弧长，最后得出sinxlt;xlt;tanx的结论.又如下面这道数学证明题，证明：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.通过我们对题意的理解，动手试试解答.我们不难发现通过以往证明不等式的方法很难证明出，所以，我们就要发散自己的思维，对题意进一步了解.通过对题意的仔细思考，我们不难发现，1-x、1-y和1-z都是正数，并且可以看作是两线段积的和，联想三角形的面积公式s=(absinC)/2.我们可以构造三角形进行解答，进而将题目中的数量问题转化为图形关系问题，如右图.构造出一个边长为1的等边三角形，在AB，BC，CA，上各取点P，Q，E，使得AP=x,BQ=z,CE=y,那么BP=1-x,CQ=1-z.AE=1-y.我们通过图形不难发现，三角形APE的面积与三角形BPQ的面积与三角形CQE的面积之和小于三角形ABC的面积，再经过相应的化简，最终得出我们所要证明的问题.在高中数学恒成立问题分析和解答中，将所给的数学条件转化为相应的图象，然后思考出一个证明的思路，进而快速高效地完成该数学恒成立问题，提高自身的综合数学素养.

二、函数中的恒成立问题分析

在高中数学知识的学习中，可以说一直是我们所要研究的对象，将其他的数学知识结合到函数中以恒成立问题的方式进行考查.我们经常会因为其中包含的知识较多，而没有一个清晰的解题思路.下面将举例分析函数中恒成立问题的解答.例如，函数f(x)=kx+1gt;0(k≠0),x∈[-1,1]恒成立，求解k的取值范围.我们在该问题的解题过程中，首先需要该函数的表达式进行判断该函数是否具有单调性和增减性，我们可以直接看出该函数为基础的一次函数，其增减性由k的值来决定，所以我们可以运用分类讨论的解题思想.当kgt;0时，该函数单调递增，只需要x的值取-1的时候大于0就可以了；当klt;0时，该函数为单调递减，只需要将x的值为1的时候大于0.这样结合以上的解题思路，列出两个不等式组，进而运用不等式相关知识完成该问题的解答.在这道题中，要想证明该函数大于0恒成立，只需要将其恒成立所需要的条件一一例举出来，结合成不等式组，通过解不等式组的方式来完成该恒成立问题的解答.除此之外，比如下面这道数学恒成立问题.设函数f(x)=(m-1)x2+(m-1)x+2gt;0的解集为R，求m值的取值范围.我们根据该函数的表达式可见为一元二次方程，其中对该方程的解集我们有专门的公式，Δ=b2-4ac,通过对该方程式的取值来求解方程的解集.所以，在这道题的解答中，运用该判定公式来求出一个关于m的不等式，结合不等式的解题方法和数学知识，完成最终m取值范围的解答.在该数学恒成立问题中，需要对函数性质和相关公式的熟练掌握和运用，进而完成恒成立问题的解答.