向量世界的“厚积薄发”
2017-11-27吴菲
吴 菲
(江苏省南京市高淳区湖滨高级中学,江苏 南京 211316)
向量世界的“厚积薄发”
吴 菲
(江苏省南京市高淳区湖滨高级中学,江苏 南京 211316)
平面向量作为高考必考的内容,其应用性往往是学生薄弱的一块,本文就此进行讨论,希望引起共鸣.
向量;不等式;立体几何
图1
平面向量作为高中数学中重要的一章,历年来备受各种考试的重视,尤其是在高考中,更是雷打不动的出现.向量这一章以其灵活多变的题型和方法,对于学生而言,也是一个很大的重点和难点.向量作为代数和几何的综合体,向量问题本身的解决多半就有代数和几何的方法,尤其突出一点的是,向量可以作为一种工具,解决数学中很多其他的问题.本文就来谈一下关于向量在数学其他问题当中的应用,让我们来体会向量这个工具的优越性.
例1 如图1所示,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同质量的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.
解析本道题是高中物理当中的一道力的问题,其实在高中物理中,我们也提到了向量,但是跟高中数学当中有所不同的是, 物理当中没有数学中所表述的具体和集中,例如这道题,对于三根绳子的受力大小,其实就是我们所说的向量的模长.设绳子OA受力为a,OB受力为b,OC受力为c,由三力平衡可得a+b+c=0,由于b和c的夹角为90°,所以a=-b-c,两边取其模,可得|a|=|-b-c| ,由向量中|a|2=a·a,|a|2=|-b-c|2=(-b-c)2=b2+c2+2b·c=|b|2+|c|2,所以我们能看出a的模长最大,故而绳子OA所受的力最大,将这道题利用向量来解决,其实就是模长的问题,所以极大地简化了问题.
向量不仅在代数中有诸多应用,在立体几何问题中,点到点,点到线,点到面的距离,线面所成角,面面所成角,还有线面,面面的位置关系这些题型当中都有很大的优越性,使用向量的方法求解立体几何问题,其实就是一个将图形量化的过程,过程单一且直观,学生易掌握,以下举例说明.
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角P-CD-A的大小为 ,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD,
从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以∠PDA=90°.
由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),
新课程加强了平面向量的应用,教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问题,随着高考的改革,向量在中学数学中的地位应该越来越高,其灵活多变的形式,以及以上我们提到的向量的应用必将成为考试的热点,我期待此文投石问路,期待大家能利用向量解决越来越多的问题.
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[S].北京:人民教育出版社,2003.
[2]刘玉斌.向量在几何中的应用[J].科技视野,2013(23):133.
[责任编辑:杨惠民]
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A
1008-0333(2017)25-0012-02
2017-07-01
吴菲(1983.3-),女,安徽人,现任南京市高淳区湖滨高级中学教师,从事高中数学教学研究.