任意边界条件下中心开口矩形板自由振动特性分析

邱永康， 李天匀，2，3， 朱 翔，2， 郭文杰， 毛艺达

(1. 华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074；2. 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，武汉 430074；3. 高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 200240)

任意边界条件下中心开口矩形板自由振动特性分析

邱永康1， 李天匀1，2，3， 朱 翔1，2， 郭文杰1， 毛艺达1

(1. 华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074；2. 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，武汉 430074；3. 高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 200240)

针对任意边界条件下中心开口矩形板的自由振动特性研究问题，引入改进傅里叶级数方法，用改进傅里叶级数形式表示开口矩形板的位移容许函数，该级数形式具有收敛性好、精度高等特点，采用沿边界均匀分布的线性弹簧模拟任意边界条件，并结合位移连续条件和Rayleigh-Ritz能量泛函变分法，对未知傅里叶展开系数求极值将问题转化为求解一个标准特征值方程问题，通过求解方程可得到中心开口矩形板的固有频率及其对应振型；对不同边界组合不需重新推导公式，只需改变模拟弹簧刚度值即可，提高了效率，最后通过数值算例与有限元方法的计算结果进行对比分析以验证文中方法的有效性和精确性。

开口矩形板；改进傅立叶级数；能量法；任意边界

含开口的矩形板结构广泛存在于各个行业中，例如航空航天，船舶，土木建筑等，在原有板结构上开方口或矩形口会影响其原有振动特性，开口板的振动不仅对能量传输起着重要作用，而且还与向周围环境的辐射噪声存在直接关系。因此，开口矩形板动态性能的研究非常重要。

关于板结构的动态性能分析，国内外学者做出了大量的研究， Leissa[1]对不同边界条件下板的经典Voigt解进行了研究分析，最终得出其自由振动的固有频率，为开口板的动态特性研究奠定了重要的理论基础。但对于开口板结构，国内学者相关动态性能研究较少，Lam等[2]对含有开口或裂纹的矩形板结构的自由振动性能进行研究分析，对开口板进行分区处理，以正交多项式模拟板位移函数得出中心开口矩形板的振动频率，其对板分区处理思想为研究开口板问题提供新的思路；Paramasivam[3]通过拓展网络框架模型研究不同边界条件下开口对板固有频率的影响，Ali等[4]基于Rayleigh原则提出一种计算开口板结构固有频率的简化算法，Reddy等[5]根据Reissner-Mindlin型剪切变形理论和非线性的von Kármán应变-位移关系理论对开口板大振幅弯曲振动进行研究，Rajamani等[6]将开口的大小、形状和位置作为外载荷以研究开口对内外固支边界开口结构动态性能的影响，Hegarty等[7]通过最小二乘配点法对中心开圆孔的矩形板自由振动问题进行研究，最后得出板自由振动频率与开口尺寸之间的关系曲线，Aksu等[8]结合有限差分技术的变分原理对含有一个和两个开口矩形板的固有频率进行预测，Sivasubramonian等[9]研究了开口大小对曲面板固有频率的影响，Takahashi[10]基于Ritz法对中心开圆孔的振动特性进行了研究。

上述文献中大部分研究工作仅限于开口板在经典边界组合下的动态特性分析，而对一般弹性边界下其振动问题研究较少。Lam等以正交多项式形式表示开口板的位移容许函数，这就使得最后得出结果的精度完全依赖于所选取板的假定振型与实际情况的吻合程度，影响计算效率。

Li[11]提出任意支撑梁振动分析的改进傅里叶级数方法，并随后被拓展应用到矩形板[12]和圆柱壳[13]等结构的振动分析之中，文献[12]表明任意边界条件下板的假定振型函数可以不变的用一种改进傅立叶级数形式表示。针对上述问题，本文引入改进傅里叶级数方法建立任意边界条件下中心开口矩形板的振动分析模型，将其位移容许函数表示为包含正弦三角级数的改进傅里叶级数形式，采用沿边界均匀分布的位移约束弹簧和转角约束弹簧模拟板的边界条件，然后运用能量泛函变分方法对结构振动问题进行求解，并与有限元仿真运算结果进行对比分析以说明文中方法的准确有效性。

1 理论分析

1.1 中心开口矩形板模型描述

文中研究对象如图1所示，开口矩形板的长度为a，宽度为b，矩形开口位于板的中心，开口的长度为a1，宽度为b1，板厚为h，开口板的边界条件关于其中心对称，根据开口矩形板几何对称及边界对称性，考虑其对称性包括正对称性和反对称性，可以得到更加全面准确的模态振型，仅研究开口板1/4区域，在开口处沿开口的延长线将把开口矩形板分割成3个区域，如图1所示。

图1 开口矩形板示意图Fig.1 Rectangular plate with square opening

在图1中，①～⑩边界采用两种沿边界均匀分布的线性弹簧模拟，两类弹簧分别为位移约束弹簧(k)和旋转约束弹簧(K)，通过设置这两类弹簧的刚度来模拟开口板任意边界，例如，当两种弹簧刚度都设为0时，则模拟自由边界，当两种弹簧刚度都设为∞时，则模拟固支边界，当其取0～∞时可模拟任意弹性边界等。①和④边界为正对称或反对称边界，⑨和⑩边界为连接边界，其余边界为经典边界，设置刚度与其对应模拟边界如表1所示。

表1 刚度设置与其模拟边界的对应关系表Tab.1 The corresponding relation table ofstiffness settings and boundary

当刚度设置为∞时，本文取值为1×1010，经后文算例验证，当刚度取值为1×1010，一般弹性边界可完全退化为经典边界。根据以上弹簧模拟方法可得到开口板物理模型，如图2所示。

图2 开口板物理模型描述图Fig.2 Physical model of rectangular plate with opening

1.2 位移容许函数

对于3个区域每个区域可以视为独立的板进行分析研究，每个矩形板选取合适的位移容许函数非常重要，文中引入改进的傅里叶级数方法可以满足任意边界条件，改进傅立叶级数方法可使板的位移容许函数在整个求解域内三阶导数连续且四阶导数各点均存在，可以有效克服边界处可能出现的不连续现象。矩形板的位移容许函数可表示为

(1)

式中：Amn为其未知傅里叶级数展开系数； 简谐时间因子eiωt表示矩形板在不同时刻的位移函数；j取1,2,3分别代表三块板的位移函数；M，N为截断项取值；φm(x)为x方向的特性梁容许函数，ψn(y)为y方向的特性梁容许函数，其表达式分别为

(2)

(3)

式中：x*，y*为无因次坐标，m=1,2,3，…，M,n=1,2,3，…，N。

1.3Rayleigh-Ritz能量泛函变分法

通过能量法对开口矩形板结构进行处理，结合Rayleigh-Ritz方法确定其未知系数，对于3块区域板，仅考虑弯曲变形，其弯曲应变能为

(4)

储存在边界约束弹簧中的弹性势能为

(5)

式中，ki和Ki分别表示图1中开口板第i个边界的位移约束弹簧刚度和旋转约束弹簧刚度。

在任意边界条件下，3块区域板的动能分别可表示为

(6)

式中：ρ为开口板的密度；ω为圆频率；j=1,2,3。

在无外激励下，开口板的能量泛函可表示为

(7)

对3块区域板的总能量泛函进行变分求极值可得：

(8)

将式(4)～式(6)代入式(8)中可写成矩阵形式如下：

([K]-ω2[M]){A}=0

(9)

式中： 矩阵[K]表示3个区域板的总势能刚度矩阵，包括板的弯曲应变能刚度和储存在边界中的弹簧势能刚度； [M]表示其质量矩阵。

(10)

(11)

式中，i=1,2,3。

由式(9)可以可出，最终将开口板结构问题退化为求解式(9)标准特征值问题，可以很简单的得到开口矩形板的自由振动频率及其对应的特征向量，即可提取出相应的模态振型。

2 数值计算与分析

本文对不同边界和不同几何尺寸的开口矩形板的自由振动特性进行计算，并与有限元软件计算结果进行对比分析以说明本文方法的有效性和精确性，以下给出算例中开口矩形板的材料参数取值都取为：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，弹性模量E=2.1×1011Pa。

2.1 收敛性分析

从表2中对比分析可知：随着截断项数M，N不断增加，文中方法所求得的开口板固有频率逐渐趋于稳定，当M=N=13时，固有频率已不再发生变化，即认为文中方法已收敛，从而证明了改进傅里叶级数方法在计算开口板振动特性的收敛性和稳定性。后面计算中均取截断项M=N=13。

文中方法计算所得开口板固有频率值与有限元仿真分析(ANSYS)计算结果吻合良好，图3给出其前4阶模态对应振型图，可以看出改进傅里叶级数方法计算所得频率与振型与有限元方法所得结果具有很高的吻合度，从而证明了文中方法的正确性和精确性。

(a) 开口板第1阶振型对比图

(b) 开口板第2阶振型对比图

(c) 开口板第3阶振型对比图

(d) 开口板第4阶振型对比图图3 开口板前4阶振型对比图Fig.3 The first four order comparison mode of rectangular plate with square opening

2.2 不同开口尺寸和边界的开口板动态特性分析

为验证本文方法对于求解不同开口尺寸和不同边界条件的开口板振动性能的普遍适用性，下文将对在不同边界条件下，不同内孔边和外边的长度比ξ进行讨论分析。

首先在F-F边界下，即内孔边界为自由边界，外边界也是自由边界，外边长度a=8 m，宽度b=6 m，内孔边与外边的长度比ξ=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9，表3给出文中方法所求前6阶固有频率值，由于缺乏文献数据对比，与有限元仿真分析结果进行对比，可以看出随着开口的增大，开口矩形板的各阶频率值不断减小，而且本文方法与有限元结果非常吻合。

表3 F-F边界下不同开口尺寸的开口板固有频率Tab.3 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in F-F boundary Hz

表4～表6分别给出在C-F边界(外边固支，内边自由)，SS-SS边界(内外均简支)，SS-F边界(外边简支，内边自由)三种不同经典边界组合下开口矩形板的固有频率，开口板其余几何参数和物理参数均与上例相同，同时将开口矩形板的固有频率值与有限元仿真结果进行对比分析。

表4 C-F边界下不同开口尺寸的开口板固有频率Tab.4 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in C-F boundary Hz

表5 SS-SS边界下不同开口尺寸的开口板固有频率Tab.5 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in SS-SS boundary Hz

表6 SS-F边界下不同开口尺寸的开口板固有频率Tab.6 Natural frequencies of rectangular plate withdifferent square opening in SS-F boundary Hz

对不同经典边界组合的开口矩形板的固有频率进行计算，从表4～表6可以看出，文中方法所得结果与有限元方法计算结果吻合良好，充分证明了文中方法对处理不同经典边界的开口矩形板振动问题具有普遍适用性和较高的精确度。文中方法不仅可以处理任意边界问题，还可以应用于不同开口尺寸的中心开口矩形板。在C-F边界和SS-SS边界下，随着内孔边与外边长度比ξ的增大，开口板固有频率逐渐增大。

为体现文中方法对处理一般弹性边界的开口矩形板振动问题的普遍适用性，最后给出一般弹性边界条件算例，开口板外边长度a=5 m，宽度b=5 m，内孔边与外边的长度比ξ=0.5，内边为自由边界，外边位移约束弹簧刚度为K′，转角约束弹簧刚度为0，文中方法计算该开口矩形板的固有频率，并与ANSYS有限元软件计算结果进行对比分析，表7给出前六阶固有频率结果对比。

表7 不同位移约束弹簧刚度K′的开口板固有频率Tab.7 Natural frequencies of rectangular platewith square opening in different K′ Hz

从表7中数据对比不难看出，位移约束弹簧刚度增大到1×1010N/m时，开口板的外边边界条件完全退化为简支(SS)边界。文中方法计算一般弹性边界开口矩形板固有频率与有限元方法吻合性良好，证明了其对处理一般弹性边界的开口矩形板振动问题的有效性。

文中大量的算例充分说明了文中方法不仅可以处理不同开口尺寸开口矩形板自由振动问题，而且适用于任意边界(包括经典边界和一般弹性边界)开口矩形板的振动分析。

3 结 论

本文基于改进傅立叶级数方法，对中心开口矩形板进行了自由振动特性分析。充分利用中心开口板的对称性(包括正对称和反对称)，仅对1/4块板进行研究，并将这1/4块板划分为三个区域板，结合Rayleigh-Ritz能量泛函变分法将开口板自由振动问题转化为一个求解标准特征值问题。通过数值算例与有限元方法计算结果进行对比分析以验证本文方法的有效性和精确性，并得出以下结论。

(1) 文中方法随着傅里叶级数截断项的增加，计算结果收敛性良好，且数值稳定性很好。

(2) 对于任意边界组合的中心开口矩形板，只需改变位移约束弹簧和转角约束弹簧刚度值就可模拟，不需重新推导公式，提高效率，这是文中方法解决开口板问题的显著优点。

(3) 文中方法对于不同开口尺寸和纵横比的中心开口矩形板的自由振动问题具有普遍适用性。

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Thefreevibrationcharacteristicsanalysisofarectangularplatewithcentralopeningusinginarbitraryboundaryconditions

QIU Yongkang1, LI Tianyun1,2,3, ZHU Xiang1,2, GUO Wenjie1, MAO Yida1

(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;2. Hubei Provincial Key Laboratory of Ship and Marine Hydrodynamics, Wuhan 430074,China;3. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240,China)

This paper is based on the improved Fourier series method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of a rectangular plate with a central opening. When considering the opening, only a quarter of the plate was studied by using the symmetry of the rectangular plate with central opening，which was divided into three regions. The admissible function displacement of each region was expressed by the improved Fourier series. By using the linear spring, which was uniform distribution along the border, arbitrary boundary conditions were simulated. And through the continuous conditions of displacements, the relationship of each regional plate was determined. According to the Rayleigh-Ritz energy functional and the variational method, the overall energy function can be obtained. The generalized eigenvalue matrix equation can be obtained by studying the extremum of the unknown improved Fourier series expansion coefficients. Solving the equation can lead to the natural frequencies and the corresponding vibration modes of the rectangular plate with central opening. Finally, according to the calculation of numerical examples, the results were compared with the finite element method to verify the accuracy and effectiveness of the method in this paper.

rectangular plate with opening; improved Fourier series method; energy variational method; arbitrary boundary conditions

国家自然科学基金资助项目(51379083；51579109)

2016-03-04 修改稿收到日期： 2016-08-23

邱永康 男，硕士，1992年生

李天匀 男，博士，教授，1969年生

E-mail:ltyz801@hust.edu.cn

TB532

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.018