半空间双相介质垂直界面裂纹附近圆形衬砌和半圆凹陷对SH波的散射

张希萌， 齐 辉， 项 梦， 丁晓浩

(哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨 150001)

半空间双相介质垂直界面裂纹附近圆形衬砌和半圆凹陷对SH波的散射

张希萌， 齐 辉， 项 梦， 丁晓浩

(哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨 150001)

利用Green函数法、镜像法与多级坐标法，对半空间中半圆凹陷和圆形衬砌对SH波的散射进行分析，得到其稳态响应。利用镜像法得到了满足水平边界应力自由、垂直边界位移与应力连续的波函数解析表达式。根据垂直边界连续性条件,利用“裂纹切割法”和“契合法”建立起求解问题的第一类Fredholm型积分方程，得到了圆形衬砌周边的动应力集中系数与裂纹尖端动应力强度因子的解析表达式。数值算例分析了入射波数、衬砌深度、半圆凹陷大小、裂纹长度等对动应力集中系数、裂纹尖端动应力强度因子与地表位移的影响,并与已有文献进行比较。

半空间；圆形衬砌；半圆凹陷；Green函数；动应力集中系数(DSCF)；动应力强度因子(DSIF)

随着经济不断提高，为了缓解交通压力与维持国计民生，建立了大量生命线工程，例如供水、排水、燃气、石油管道与地下铁道工程。很多复杂地形都有如孔洞、凹陷等各种缺陷，含缺陷的地下衬砌结构受到由地震、爆破等弹性波作用后其应力集中问题比静态时更复杂，生命线工程受损将会导致整个城市或局部社区经济功能的瘫痪，因此生命线工程在复杂地形中要求有较高的抗震性与安全性，众多学者对缺陷问题进行研究并取得大量成果。近年来，Qi等[1-4]对直角域或半空间中衬砌与凹陷的动力问题进行了分析，韩峰等[5-6]对多个凸起与凹陷相连地形的动力响应问题给出了数值解，梁建文等[7]研究了地下圆形衬砌的动应力集中问题。孙苗苗[8]分析了空心管桩组成的阵列对SH波的散射问题。

本文利用Green函数法、“镜像法”与多级坐标法，构造出波函数。根据连续性条件，利用“契合法”与“裂纹切割法”建立第一类Fredholm型积分方程组。分析讨论入射角度、入射波数、衬砌埋深、半圆凹陷大小等对动应力集中系数、动应力强度因子与地表位移的影响。

1 问题的描述

如图1，介质Ⅰ为含半圆缺陷和圆形衬砌的直角域，其质量密度与剪切模量分别为ρ1、μ1， 水平、垂直边界分别为ΓH、ΓV，半圆缺陷中心位置与垂直边界ΓV距离为d1， 半径为c，其边界为ΓC； 介质Ⅱ为无缺陷的直角域，其质量密度与剪切模量分别为ρ2、μ2； 介质Ⅲ为圆形衬砌，其质量密度与剪切模量分别为ρ3、μ3，中心位置与垂直边界ΓV距离为d，与水平边界ΓH距离为h，内、外半径分别为b、a，内边界、外边界分别为ΓB、ΓA； 垂直界面裂纹长度为2A，尖端与水平边界ΓH距离为h1。本文采用多级坐标展开法，建立坐标系xoy、x1o1y1、x′o′y′，所对应的复坐标系分别为：η=x+yi=reiθ、η1=x1+y1i=r1eiθ1、η′=x′+y′i=r′eiθ′。各坐标系关系为

(1)

本文模型是对半空间中由两种不同的介质构成的含垂直界面裂纹的复杂地形中凹陷与衬砌在SH波作用下动应力响应这一生命线工程问题的简化。

图1 半空间垂直界面裂纹附近圆形衬砌和半圆形凹陷模型Fig.1 The model of a circular lining and a semi-circular canyon near vertical interface crack in half space

2 Green函数

(2)

(3)

本节研究的直角域介质Ⅰ在线源荷载δ(η-η0)作用下的模型如图2所示。其中η0=d+yi, (y≤h)， 表示η0在垂直边界ΓV上。

图2 受线源荷载作用的直角域模型Fig.2 The right-angle plane model impacted by a line source force

介质Ⅰ边界条件可以表示为

(4)

由线源荷载δ(η-η0)产生并的扰动，可视为已知的入射波Gi，应满足直角域水平边界ΓH上应力自由，利用“镜像法”， 构造出入射波表达式

(5)

对于半圆凹陷形成的散射波Gs1和圆形衬砌所形成的散射波Gs2，均满足直角域中直线边界应力自由条件,利用“镜像法”，构造出其表示式

(6)

(7)

式中：

其中：η=x+yi,η1=x1+y1i,η1=η+η0,

η0=(d1-d)-hi,η2=η-2hi,

η3=η-2d,η4=η2-2d

对于介质Ⅲ圆形衬砌内所形成驻波Gst，按文献[3]中思路，构造其表达式如下：

(8)

由以上推导可知：

(9)

由边界条件(3)建立方程组，

(10)

式中：

ξ(3)=ξ(4)=0

其中：

对于介质Ⅱ，其Green函数表达式为

(11)

3 SH波的散射

入射波w(i,e)、散射波w(r,e)和折射波w(f,e)均满足直角域中水平边界ΓH上应力自由，垂直边界ΓV上的连续性条件，按与求解Green函数相同思路，利用“镜像法”构造其表达：

(12)

(13)

(14)

其中：β0=π-α0,各参数关系式：

k1sinα0=k2sinα2,c1sinα2=c2sinα0

经验证，式(12)、式(13)、式(14)满足垂直边界ΓV连续性条件：

(15)

式中：α0是入射角度；α2是折射角度。在SH波作用下产生的波场与上节中Green函数作用下产生的波场具有相同的形式：

(16)

(17)

(18)

其中未知系数Rm、Tm、Pm、Qm根据边界条件(4)确定，所列方程组中已知系数与求解Green函数所列方程组中已知系数相同。

4 契 合

在介质Ⅰ中：

(19)

在介质Ⅱ中：

(20)

WⅠ+W1+Wc1=WⅡ+W2+Wc2,

(21)

其中：

(22)

图3 半空间双相介质垂直界面的契合Fig.3 Conjunction of vertical interface in bi-material half space

利用式(15)对式(21)进行简化，得到关于外力系的积分方程：

(23)

5 动应力集中系数

在SH波作用下环向剪切应力可以表示为

(24)

动应力系数可表示为

6 动应力强度因子

在裂纹尖端外力系f1具有平方根奇异性。引入动应力强度因子

(25)

为在定解积分方程组(18)中直接包含动应力强度因子kⅢ，对被积函数进行变换：

(26)

求解变换后的积分方程组(23)，裂纹尖端对应的值即为动应力强度因子kⅢ。在计算中,通常定义一个无量纲的动应力强度因子k3。

(27)

7 具体算例

图4 本文方法的验证Fig.4 The vertifying of the present method

图5 SH波低频水平入射时圆形衬砌周边DSCF随k*与μ*的分布Fig.5 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. k* and μ* by low frequency SH-wave horizontally

(a)

(b)图6 SH波高频水平入射时圆形衬砌周边DSCF随k*与μ*的分布Fig.6 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. k* and μ* by high frequency SH-wave horizontally

图7 圆形衬砌周边DSCF随ka的分布Fig.7 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. ka

图8 圆形衬砌周边DSCF随α0的分布Fig.8 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. α0

由图5～图8可知，当SH波高频水平入射衬砌相对于基体越软，危害越大。

图9 圆形衬砌周边DSCF随h*的分布Fig.9 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. h*

图10 圆形衬砌周边DSCF随c*的分布Fig.10 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. c*

图11 圆形衬砌周边DSCF随A*的分布Fig.11 Distribution of DSCF around circular lining edge vs. A*

图12(b)给出裂纹尖端动应力因子k3随A*分布情况。由图12(b)可知，k3呈振荡变化，A*=2，ka=1.4时k3最大值为9.89， 比A*=0.5，ka=0.6时k3最大值8.08提高了22%。因此裂纹长度A*对k3存在影响。

由以上可知，裂纹长度对裂纹尖端动应力因子k3影响显著。

图12 DSIF随ka的变化Fig.12 Variation of DSIF vs. ka

图13 SH波低频入射时|W|随k*与μ*的分布Fig.13 Distribution of |W| vs. k* and μ* by low frequency SH-wave horizontally

(a)

(b)图14 SH波高频入射时|W|随k*与μ*的分布Fig.14 Distribution of |W| vs. k* and μ* by high frequency SH-wave horizontally

图15给出了地表位移|W|随ka分布情况。由图15可知，地表位移|W|受ka影响较大，当x>40时|W|逐渐稳定。当ka=1时，在x=6处|W|达到最大值6.5。

图15 |W|随ka的分布Fig.15 Distribution of |W| vs. ka

8 结 论

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ScatteringofSH-wavebyacircularliningandasemi-circularcanyonnearverticalinterfacecrackinthebi-materialhalfspace

ZHANG Ximeng, QI Hui, XIANG Meng, DING Xiaohao

(College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The scattering problem of SH-wave by a circular lining and a semi-circular canyon in the bi-material half space was analyzed by the Green function method, the mirror method and the multi-level coordinate method to obtain the steady state response. The analytical expression of the wave function which satisfies the stress free on the horizontal boundaries, displacement and stress continuity on the vertical boundaries was obtained by the image method. According to the continuity condition on the vertical boundary, the first kind of Fredholm integral equation was set up to obtain analytical expression of dynamic stress concentration factor around the edge of circular lining and dynamic stress intensity factor at crack tip by “the conjunction method” and “the crack-division method”. The influence of the incident wave number, the ground depth of circular lining and the size of semi-circular canyon and the length of crack on the dynamic stress concentration factor, the dynamic stress intensity factor and the displacement along horizontal surface was analyzed and compared with the existed literature through a numerical example.

half space; circular lining; semi-circular canyon; Green function; dynamic stress concentration factor (DSCF); dynamic stress intensity factor (DSIF)

黑龙江省自然科学基金资助项目(A201404)

2016-03-10 修改稿收到日期： 2016-07-21

张希萌 男，博士生，1989年生

齐辉 男，教授，博士生导师，1963 年生

E-mail:qihui205@sina.com

O343.1; O347.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.022