太阳翼驱动机构扰振力矩的建模与仿真

陈江攀, 程 伟, 李 雪

(1.北京航空航天大学 航空科学与工程学院，北京 100191； 2.航空装备研究所，北京 100076)

太阳翼驱动机构扰振力矩的建模与仿真

陈江攀1, 程 伟1, 李 雪2

(1.北京航空航天大学 航空科学与工程学院，北京 100191； 2.航空装备研究所，北京 100076)

以某型号卫星的太阳翼驱动机构(Solar Array Drive Assembly，SADA)为研究对象，首先，通过线性化电磁力矩建立了SADA空载运行振动方程；其次，在SADA空载运行振动方程的基础上，利用自由界面模态综合法建立了SADA驱动太阳翼耦合系统的振动方程；再次，在耦合系统振动方程的基础上，通过受力分析和空间力系简化建立了SADA驱动太阳翼运行过程中所产生的扰振力矩模型；最后，设计了一个模拟真实太阳翼的柔性负载，并对SADA驱动该柔性负载运行过程中所产生的扰振力矩进行了仿真与分析。结果表明：在考虑负载阻尼的情况下，SADA驱动柔性负载运行过程中所产生扰振力矩的扰振频率主要由两部分组成，即：①SADA与柔性负载耦合系统的低阶扭转固有频率；②SADA电脉冲信号的输入频率及其倍频。

太阳翼驱动机构；扰振力矩；自由界面模态综合法；柔性负载；扰振频率

卫星在轨运行过程中所产生的微振动会对其成像质量和指向精度等关键工作性能产生较大的影响。卫星上存在较多的扰振源，如动量轮、控制力矩陀螺、制冷机组件和SADA等[1-4]。高轨遥感卫星相对于低轨卫星，其曝光时间显著延长，因此对低频微振动更为敏感。而SADA驱动太阳翼在轨运行过程中所产生的扰振在低频区具有分布密集和特性复杂的特点，且主要表现为扰振力矩[5]。综上所述，随着高轨遥感卫星的不断发展，有必要研究SADA驱动太阳翼在轨运行过程中所产生的扰振力矩。

受限于三方面的原因，目前关于SADA驱动太阳翼运行过程中所产生扰振力矩的试验测试研究仍处于初始阶段。首先，太阳翼是一个典型的结构大、柔度大、质量/惯量大且阻尼较小的柔性装置[6]，在重力环境下难以直接展开；其次，与卫星在轨工作环境不同，地面环境存在大气阻尼，SADA驱动太阳翼在两种工作环境下所产生的扰振力矩大相径庭，地面测试结果无法有效地预测其在轨状态；最后，目前国内外应用广泛的压电式微振动测试平台低频响应特性较差[7]，无法准确测试SADA驱动太阳翼运行过程中所产生的低频扰振。尽管如此，国内外学者仍在SADA扰振特性的理论研究和仿真分析等方面做了大量成果显著的工作。文献[8]揭示了SADA电磁振动的产生机理，并给出了降低电磁振动幅值的方法；文献[9]给出了SADA电磁振动频率的表达式；文献[10]指出：SADA定子和转子之间的电磁场可以等效成为一个电磁弹簧-黏性阻尼系统，并称电磁弹簧的刚度为电磁刚度；文献[11-12]建立了SADA的动力学模型，且在此基础上，文献[13]对SADA通过柔性轴驱动刚性负载运行过程中所产生的扰振力矩进行了仿真研究。近年来，国内外学者将研究重心逐渐转移到了SADA与太阳翼耦合系统的动力学特性上面。朱仕尧研究了SADA驱动太阳翼运行过程中柔性负载刚体运动与柔性振动之间的相互耦合以及质心偏置导致的平动方向与扭转方向的振动耦合等因素对SADA与太阳翼耦合系统动力学特性的影响；文献[14]研究了SADA的额定力矩和齿槽数、传动链的减速比和传动效率、驱动速度以及电刷-滑环润滑性能等因素对耦合系统动力学特性的影响；为了降低耦合系统的扰振影响，文献[15]分别基于分解力矩法和假设运动轨迹法为SADA提出了两种前馈输入补偿驱动方案，并进行了仿真研究。

然而，上述研究均未能建立一个既可以清晰描述SADA与太阳翼之间的耦合作用又可以预计SADA驱动太阳翼运行过程中所产生扰振力矩的综合扰振模型。为此，本研究通过线性化电磁力矩并利用自由界面模态综合法、受力分析和力系简化建立了SADA空载运行振动方程、SADA驱动太阳翼耦合系统的振动方程以及运行过程中所产生的扰振力矩模型，且在该扰振力矩模型的基础上，设计了一个模拟真实太阳翼的柔性负载，并对SADA驱动该柔性负载运行过程中所产生的扰振力矩进行了仿真与分析。本研究所得的结论为研究SADA驱动太阳翼在轨运行过程中所产生的扰振力矩提供了有力的帮助。

1 SADA空载运行振动方程

本研究所讨论的SADA是一个两相混合式步进电机。步进电机是将电脉冲信号转化为转子角位移的执行机构[16]，由于其定位精度高，无累计误差，长期运行时平均速率稳定度高，且驱动线路简单，易开环控制，因此在SADA中得到了广泛地应用。

SADA空载运行的动力学模型为

(1)

式中：J0和θ0分别为SADA转子的转动惯量和角位移；C0为SADA内部的黏性阻尼系数；Te为电磁力矩。文献[17]给出了SADA的驱动模型，即：

(2)

式中：Φ为磁链矢量；L为对称的电感矩阵；I为电流矢量。I和L的表达式分别为

(3)

式中：IA和IB分别为A、B两相绕组的电流；IC为转子永磁体等效励磁电流；LAA和LBB分别为A、B两相绕组的自感；LAB=LBA为A、B两相绕组的互感；LCC为电流IC励磁建立磁场的自感；LAC=LCA和LBC=LCB分别为IC励磁建立的磁场与A、B两相绕组电流励磁建立磁场的互感。忽略周期性磁导函数的2次及以上各次谐波分量，电感矩阵各元素的取值分别为

(4)

式中：z为SADA转子齿数。将式(3)和式(4)代入式(2)并整理可得

Te=Km[IBcos(zθ0)-IAsin(zθ0)]-Kdsin(4zθ0)

(5)

式中：右端第1项为电磁力矩项，第2项为定位力矩项。Km=zICLm1和Kd=2zIC2Ln1分别称为电磁力矩系数和定位力矩系数，且二者均为常数。由于定位力矩系数远小于电磁力矩系数，因此定位力矩与电磁力矩相比可以忽略，式(5)可以简化为

Te=Km[IBcos(zθ0)-IAsin(zθ0)]

(6)

为了提高SADA的定位精度和运行平滑性，通常使用细分电流作为其驱动电流。两相绕组电流IA和IB细分后的表达式为[18]

IA=Icos(γi)，IB=Isin(γi)

(7)

式中：I为两相绕组电流的幅值；γ为SADA细分后的电步距角；i=1,2,…为运行步数。γ的表达式为

(8)

式中：p和n分别为运行拍数和细分数。

将式(7)代入式(6)并整理可得

(9)

式中，δ的物理意义为：在第i个电脉冲信号作用完成且第(i+1)个电脉冲信号作用之前的时间段内，SADA转子的理论平衡位置与实际位置之间的夹角。其中：γi/z为该时间段内转子的理论平衡位置，θ0为该时间段内转子的实际位置。为了保证SADA运行过程中转子不失步，δ的取值范围为

-σ≤δ≤σ

(10)

式中：σ为SADA细分后的机械步距角，其表达式为

(11)

由于本研究所讨论SADA的运行拍数p和细分数n的分别为4和64，则可得：

(12)

由上式可知，zδ是一个小量，因此可将式(9)线性化为

Te=KmIzδ=KmIγi-KmIzθ0

(13)

将式(13)代入式(1)并整理可得

(14)

式(14)即为SADA空载运行振动方程。其中：K0=KmIz为电磁刚度；Tex=KmIγi为阶梯激励力矩。

2 SADA驱动太阳翼耦合系统振动方程

由于本研究所讨论SADA驱动的太阳翼转速很低(360°/24.035 h)，因此在SADA转子和太阳翼之间安装了两级直齿轮减速装置，总减速比为h=100，一级减速比为h1=5，二级减速比为h2=20。此时，在SADA空载运行振动方程的基础上，可得SADA驱动太阳翼耦合系统的简化模型如图1所示。

图1 SADA驱动太阳翼耦合系统简化模型Fig. 1 Simplified model of SADA driving solar array

由于太阳翼是一个十分复杂的柔性结构，而本研究旨在讨论SADA驱动太阳翼运行过程中所产生的低频扰振力矩，为了降低计算成本并提高计算效率，可利用自由界面模态综合法建立图1所示SADA驱动太阳翼耦合系统简化模型的振动方程。

自由界面模态综合法是一种处理复杂结构动力学特性的方法，它在大幅降低系统自由度的同时仍能保证动力学分析的精度，且易于与试验结果相结合，因此被广泛应用于工程实际[19-20]。其基本步骤为[21]：

(1)将复杂结构划分成若干自由界面的子结构；

(2)完成各子结构的模态分析，提取各子结构的主模态信息，并针对各子结构选取适当的保留主模态；

(3)对于受约束和有刚体运动的子结构分别计算其剩余附着模态和剩余惯性释放附着模态(简称剩余模态)；

(4)利用选取的保留主模态及计算获得的剩余附着模态或剩余模态作为各子结构的假设模态参加模态综合，建立复杂结构自由度缩减后的振动方程，并进行动力学分析。

2.1 划分子结构

对于图1所示的耦合系统，可将其划分成SADA+减速装置(子结构Ⅰ)以及太阳翼(子结构Ⅱ)两个自由界面的子结构。

2.2 模态分析

子结构的无阻尼振动方程可写为

(15)

式中：M和K分别为子结构的质量和刚度矩阵；X和f分别为子结构的位移和界面作用力向量。

按照非界面和界面自由度对上式进行分块可得

(16)

式中：下标u和v分别表示非界面和界面自由度；fv为界面作用力。

2.2.1 子结构Ⅰ

(17)

MⅠ≈h2J0,CⅠ=h2C0,KⅠ=h2K0,FⅠ=hTex

(18)

(19)

2.2.2 子结构Ⅱ

对于子结构Ⅱ而言，由于其与子结构Ⅰ共享界面，因此子结构Ⅱ的界面也仅有1个绕Y轴的旋转自由度(即子结构Ⅱ在自由界面状态下有1阶绕Y轴旋转的刚体模态)。此时，可将子结构Ⅱ的位移向量XⅡ写为

(20)

由式(16)可得自由界面状态下子结构Ⅱ对应于XⅡ的质量矩阵MⅡ、刚度矩阵KⅡ以及界面力向量fⅡ分别为

(21)

假设子结构Ⅱ的阻尼为Rayleigh阻尼[22]，则对应的阻尼矩阵CⅡ可写为

(22)

式中：α和β为比例系数。

子结构Ⅱ主模态φⅡ的计算公式为

(KⅡ-ω2MⅡ)φⅡ=0

(23)

(24)

将主模态φⅡ对质量矩阵MⅡ进行归一化处理，则可得：

(25)

式中：ωe、ωk和ωs分别为子结构Ⅱ的完全弹性模态、保留弹性模态以及剩余弹性模态固有角频率。

2.3 子结构Ⅱ剩余模态

对于子结构Ⅰ而言，由于其为受约束单自由度振动系统，无剩余附着模态。而对于子结构Ⅱ而言，由于其为有刚体运动的子结构，因此需计算其剩余模态。

(26)

式中：Gd和FⅡ分别为剩余柔度矩阵和界面单位作用力向量。二者的表达式分别为

(27)

(28)

式中：R和G分别为投影矩阵和专用柔度矩阵。投影矩阵R的表达式为

(29)

(30)

将式(30)代入式(29)可得

(31)

由上述可知，子结构Ⅱ在自由界面状态下有1阶刚体模态，其刚度矩阵KⅡ为1度奇异矩阵，为了获得专用柔度矩阵，必须对子结构Ⅱ施加1个可以限制其刚体位移的附加约束。由于子结构Ⅱ沿Y轴方向结构对称，因此在其对称轴上任选一个非界面节点，并约束该节点绕Y轴的旋转自由度即可限制子结构Ⅱ的刚体运动。假设附加约束所限制的自由度在刚度矩阵KⅡ中对应第j行和第j列，此时，引入转换矩阵并通过矩阵运算删去KⅡ的第j行和第j列则可消除刚度矩阵的奇异性，即：

(KⅡ)′=ATKⅡA

(32)

对上式两端同时求逆可得

(33)

此时，引入转换矩阵B并通过矩阵运算在G′中插入元素都为0的第j行和第j列，则可获得子结构Ⅱ的专用柔度矩阵G，即：

G=BTG′B=BT(ATKⅡA)-1B

(34)

转换矩阵A和B的表达式分别为

(35)

式中：I为单位矩阵；g为刚度矩阵KⅡ的阶数。将式(34)代入式(27)可得

(36)

2.4 模态综合

对于子结构Ⅰ而言，保留主模态就是其假设模态ψⅠ，即：

(37)

对于子结构Ⅱ而言，其假设模态ψⅡ则由保留主模态和剩余模态组成，即：

(38)

SADA驱动太阳翼耦合系统的位移向量X为

(39)

则相应的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵以及外作用力向量分别为

(40)

对耦合系统进行第一次坐标变换为

X=ψq

(41)

式中：ψ和q分别为坐标变换矩阵以及系统不独立的模态坐标，二者的表达式分别为

(42)

(43)

引入两个子结构界面连接约束条件

(44)

由式(41)～式(44)可得

(45)

对耦合系统进行第二次坐标变换为

q=Er

(46)

式中：E和r分别为坐标变换矩阵以及系统独立的模态坐标，二者的表达式分别为

(47)

(48)

因此，经自由界面模态综合法缩减自由度后的SADA驱动太阳翼耦合系统的振动方程可写为

(49)

式中：Mr、Cr、Kr和Fr分别为耦合系统对应于独立模态坐标r的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵以及外作用力向量。四者的表达式分别为

Mr=ETψTMψE,Cr=ETψTCψEKr=ETψTKψE,Fr=ETψTF

(50)

3 扰振力矩模型

对图1所示SADA驱动太阳翼耦合系统简化模型的各部分进行受力分析，结果如图2所示。

F2(r1+r2+r3+r4)=

(51)

图2 受力分析结果Fig. 2 Force analysis results

式中：r1～r4分别为齿轮1～齿轮4的半径，且存在如下关系

(52)

此外，由图2还可得转子+齿轮1、齿轮2+齿轮3以及齿轮4的运动方程分别为

(53)

式中：θ1和θ2分别为齿轮2+齿轮3和齿轮4的角位移。

由减速齿轮的工作原理可知，θ0、θ1和θ2三者之间存在如下关系

θ0=hθ2=100θ2,θ1=h2θ2=20θ2

(54)

由式(52)和式(53)可得负载转矩的表达式为

(55)

将式(53)～式(55)代入式(51)可得

(56)

上式即为SADA驱动太阳翼运行过程中所产生的扰振力矩。且由该式可知，扰振力矩Trz中仅有齿轮4的角位移θ2为未知参数，然而由式(43)可知

(57)

(58)

由上式可知，本研究所建立的综合扰振模型既可以清晰描述SADA与太阳翼之间的耦合作用又可以预计SADA驱动太阳翼运行过程中所产生的扰振力矩。

4 仿真与分析

为了进一步研究SADA驱动太阳翼运行过程中所产生的扰振力矩特性，设计了一个模拟真实太阳翼的柔性负载，并对SADA驱动该柔性负载运行过程中所产生的扰振力矩进行了仿真与分析。

4.1 柔性负载

柔性负载是由框架和支撑梁组成。其中，框架是由6根钢梁组成，支撑梁为4根铝梁，且10根梁的截面尺寸均为。柔性负载的结构尺寸示意图参见图3。

图3 柔性负载结构尺寸示意图(m)Fig. 3 Structural size of the flexible load(m)

为了进一步了解该柔性负载的振动特性，利用商用软件ANSYS 13.0建立了其有限元模型并进行了模态计算。建模过程中在图3所示柔性负载与SADA的连接点处布置一个节点，在进行模态计算时，边界条件即为约束该节点的6个自由度。有限元模型的具体参数以及模态计算结果分别参见表1和表2。

表1 有限元模型参数Tab.1 Parameters of the finite element model

表2 模态计算结果Tab.2 Modal calculation results

由表2可知，该柔性负载在低频区固有频率分布密集，且前4阶振型与真实太阳翼的前4阶振型一致，因此可用来模拟真实太阳翼。

4.2 仿真结果与分析

表3给出了本研究所讨论SADA的仿真参数。

表3 仿真参数Tab.3 Simulation parameters

(59)

式中：τ为运行时间。

图4 两相电流仿真结果Fig.4 Simulation result of the two-phase current

图5 阶梯激励力矩仿真结果Fig.5 Simulation result of the exciting torque

图6 齿轮4角位移仿真值与理想值对比结果Fig. 6 Comparison result between simulation value and ideal value of gear 4 angular displacement

由图4可知，两相绕组电流IA和IB分别为余/正弦阶梯电流，且电流幅值为0.1 A。由图5可知，SADA的激励力矩Tex为阶梯激励。由式(59)可知，齿轮4角位移的理想值是一条直线，但是由图6可知，齿轮4角位移的仿真值与其理想值虽然趋势一致，但是仿真值并不是一条光滑的直线，而是在其理想值附近上下波动，这是由SADA与柔性负载耦合系统的结构扭转振动导致的，仿真值与实际情况相符。此外，由于齿轮4角位移在其理想值附近的波动幅值是评判SADA驱动稳定性的重要参数，图7给出了波动幅值θb的计算结果，其计算公式为

(60)

图7 齿轮4角位移的波动幅值Fig. 7 Fluctuation amplitude of gear 4 angular displacement

图8给出了SADA驱动柔性负载运行过程中所产生扰振力矩的仿真结果。

图8 扰振力矩仿真结果Fig. 8 Simulation result of the disturbance torque

由图8可知，在考虑负载阻尼的情况下，SADA驱动柔性负载运行过程中所产生的扰振力矩在0～50 Hz的频带内，其扰振频率主要由两部分组成，即：①SADA与柔性负载耦合系统的低阶扭转固有频率，即2.3 Hz和7.2 Hz；②电脉冲信号的输入频率及其倍频，即14.8 Hz(输入频率)，29.6 Hz(2倍频)和44.4 Hz(3倍频)。其中，电脉冲信号输入频率的计算公式为

(61)

5 结 论

本研究以某型号卫星的SADA为例，通过线性化电磁力矩和利用自由界面模态综合法分别得到了SADA空载运行以及SADA驱动太阳翼耦合系统的振动方程，并通过受力分析和力系简化得到了SADA驱动太阳翼运行过程中所产生的扰振力矩模型。在此基础上，设计了一个模拟真实太阳翼的柔性负载，并对SADA驱动该柔性负载运行过程中所产生的扰振力矩进行了仿真和分析。结果表明：在考虑负载阻尼的情况下，SADA驱动柔性负载运行过程中所产生扰振力矩的扰振频率主要由两部分组成，即：

(1)SADA与柔性负载耦合系统的低阶扭转固有频率。

(2)电脉冲信号的输入频率及其倍频。本研究所得的结论为研究SADA驱动太阳翼在轨运行过程中所产生的扰振力矩提供了有力的帮助。

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Modelingandsimulationofthedisturbancetorquegeneratedbyasolararraydriveassembly

CHENJiangpan1，CHENGWei1，LIXue2

(1.SchoolofAeronauticScienceandEngineering,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100191,China; 2.TheAviationEquipmentResearchInstitution,Beijing100076,China)

Taking the SADA of a satellite as the research object, firstly, the vibration equation of SADA driving no load was established by simplifying and linearizing the electromagnetic torque; secondly, the coupling vibration equation of SADA driving solar array was modeled by using the free-interface modal synthesis method based on the vibration equation of SADA driving free of load; thirdly, on the basis of the coupling vibration equation modeled, the disturbance torque emitted by the SADA driving solar array was obtained via force analysis and the simplified force system. Finally, the disturbance torque produced by SADA driving a flexible load, designed to simulate solar array, was simulated and analyzed. The results show that: in the case of considering load damping, the disturbance frequency of the disturbance torque aroused by SADA driving a flexible load is mainly consisting of two parts: ①the low order torsional natural frequency of the coupling structure; ② the input frequency of the digital pulse signal and its harmonics.

solar array drive assembly; disturbance torque; free-interface modal synthesis method; flexible load; disturbance frequency

2016-05-18 修改稿收到日期： 2016-08-27

陈江攀 男，博士生，1988年生

程伟 男，博士，教授，1961年生

V414；TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.029