“数与代数”学习内容研究

李树臣

（山东省沂南县教育局）

“数与代数”学习内容研究

李树臣

（山东省沂南县教育局）

引导学生学习《义务教育数学课程标准（2011年版）》所界定的“数与代数”的知识，首先应从这部分知识的主要内容、内容的主线、涉及到的核心概念、学习目标等角度认识这部分知识.然后从重视知识的形成和应用过程，引导学生进行探究活动，加强数学建模教学和实验教学等方面来学习“数与代数”这部分知识，培养和发展学生的数学核心素养.

核心概念；应用意识；模型思想；数学实验

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在“课程设计思路”中安排了“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分的课程内容.为帮助教师更好地引导初中学生学习“数与代数”的知识，笔者在本文首先谈谈对这部分内容的认识，然后提出宏观教学建议.

一、双主线认识“数与代数”部分的内容

第三学段“数与代数”的内容包含以下三大“模块”.

（1）数与式：有理数和实数的概念及其相关的计算；整式与分式的概念及其相关的计算.

（2）方程与不等式：方程、一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的概念、解法；不等关系、一元一次不等式、一元一次不等式组的解法；建立方程或不等式模型解答实际问题.

（3）函数：函数的意义、一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质、各种函数解析式的确定.建立函数模型解答实际问题.

这部分内容是沿着两条主线展开的.

（1）数的扩充角度，从常量数学过渡到变量数学.

首先，从认识有理数的概念、掌握有理数的运算自然发展到对式的认识、进行式的运算；其次，学习方程的概念、方程的解法，不等式的概念和解不等式；最后，引出变量和函数的概念，研究各种函数的图象和性质.

在认识数的过程中，实现数的两次扩充；在学习数的运算的过程中，从整数、小数、分数的四则运算自然过渡到有理数的运算，引出乘方运算、开方运算.

（2）数量关系的角度，从等量关系发展到不等关系、变化关系.

这部分内容，首先，学习的各种运算都是恒等变形，各种方程的解法都是研究等量关系；之后学习的不等式反映了现实世界中存在大量的不等关系，各种函数都是建立在变化关系之上的.

这部分内容涉及数感、符号意识、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识等《标准》提出来的核心概念.

通过学习这部分内容，实现以下目标.

（1）提高学生的数学核心素养：在对数、图形以及某些具体问题中所蕴含的数量关系及变化规律的探究过程中，建立数和数集的概念，掌握用代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等揭示数量之间、变量之间规律的方法，能用数学的方法推导数学公式，逐步培养、发展学生的数感、符号意识，不断提高学生的运算能力、数学思考能力、推理能力.

在通过建立各种数与代数模型解决实际问题的过程中，逐步提高学生运用“数与代数”的知识以及数学思维方法发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，形成应用意识和创新意识.加深对数学与现实生活密切联系的认识.体会数学是刻画数量关系的重要语言；方程是刻画等量关系的数学模型，不等式是刻画不等关系的数学模型，函数是刻画变化关系的数学模型.

（2）培养学生的科学情感：在学习和研究“数与代数”的过程中，认识到数学中存在着大量的对立统一素材（如正数和负数、乘法与除法等），研究过程中也充满着对立和统一（如特殊与一般、具体与抽象等），培养学生运用联系、运动和发展的眼光观察问题和解决问题的习惯；在探究有关规律和建立各种模型解决问题的过程中，培养学生认真勤奋、独立思考、大胆猜想、合作交流、反思质疑、勇于克服困难的决心以及实事求是的科学态度.

二、教学建议

在第三学段，“数与代数”内容中的“数”与“式”是一种符号，被广泛应用于表达、计算和推理等数学活动之中.学习这部分内容不仅仅是为了会运算，还要学会建立数学模型，用数学的方法解答有关实际问题.

根据《标准》提出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.在这一要求下，在“数与代数”部分的教学中，主要应从以下四个方面入手.

1.重视数学知识的形成过程

在“数与代数”内容的教学中，应根据具体的内容设计一系列的数学问题，引导学生经历数学思考、实验操作、大胆猜测、合作交流等活动，在经历这些活动的过程中完成对有关知识的学习.

例如，数学概念是重要的数学知识，每个数学概念都有一个产生的过程，教学中要尽量把这个过程展现给学生，让学生知道数学概念的产生都是有其实际背景的.

案例1：反比例函数的概括过程.

反比例函数是一个重要并且比较抽象的概念，为了引导学生经历这个概念的产生过程，我们可以用下面的问题引导学生去观察、思考，并与同学交流.

（1）某学校要修建一个面积为84 m2的矩形花圃，试写出这个矩形的宽y m与长x m之间的函数表达式.

（2）甲、乙两个城市相距200 km，一辆客车从乙城市开往甲城市.写出客车行驶的时间t h与客车的平均速度v km/h之间的函数表达式.

（3）已知q与p分别表示两个实数，并且它们的乘积为-10.写出q与p之间的函数表达式.

（4）观察以上问题中的三个函数表达式具有怎样的共同特征.

【设计意图】为了使学生经历从生活实例出发，引入反比例函数的过程，并且学会根据已知条件确定反比例函数的解析式，我们设计了以上四个问题.第（1）（2）（3）小题给出了现实生活和数学自身中的三个实例，学生通过观察、思考依次得到三个函数表达式，通过思考第（4）小题并相互交流发现，这三个表达式都具有的性质，从而给出反比例函数的意义.

2.通过建模教学，展现知识的应用过程

在第三学段，学习“数与代数”的内容不仅仅是为了会运算，还要学会建立数学模型，用数学的方法解答有关实际问题.使学生逐步体会到数学是现代社会中一种普遍适用的技术，通过数学建模解答实际问题，有助于培养学生的模型思想，形成用数学的眼光去观察、看待世界的数学意识.因此，数学教学必须结合具体的课程内容，充分体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程.

案例2：销售利润问题.

某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y万件关于售价x元/件的函数解析式为

（1）若企业销售该产品获得年利润为W万元，试直接写出年利润W万元关于售价x元/件的函数解析式；

（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？

（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围.

【设计意图】在现实生活中，不等关系是普遍存在的，如在市场营销、生产安排、方案选择等实际问题中大量存在不等关系.在解答这些问题时，首先应根据问题给定的不等关系建立不等式（组）模型，然后利用不等式（组）的性质进行解答.类似这样的问题，主要考查学生通过建立不等式（组）模型解答问题的能力，同时对于学生模型思想的形成也是有益的.

教学中我们不仅仅要关注知识的形成过程，同时还要重视知识的应用过程.在学生学习了一个新的数学知识以后，都要设计利用所学知识解决实际问题的活动.在解决实际问题中要用到“数与代数”部分的很多具体知识.例如，各种方程、方程组、不等式（组），各种函数等.在引导学生学习这些内容时，我们都要设计一些实际问题，引导学生通过建立模型加以解决，这样可以培养学生的应用意识和创新意识.

3.精心设计问题情境，引导学生进行探究活动

为了充分发挥学生学习的积极性，引发他们大胆的进行数学思考，教师应根据学生的认知发展水平，借助已有的数学活动经验，精心设计问题情境，以此引导学生进行数学探究活动.在探究的过程中，理解和掌握数学的基础知识，形成基本的数学技能，感悟数学的基本思想与方法，获得基本的数学活动经验.

案例3：分式方程的建立和求解过程.

为了引导学生经历分式方程的建立过程，并且探究到分式方程的解法，我们可以用下面的系列问题引导学生去思考、探究、交流、合作等.

某学校有180平方米的空闲地，市园林队计划派6名工人对其进行绿化.在具体施工时又增加了2名工人，结果比原计划提前3小时完成绿化任务.如果每人每小时绿化的面积相同，则每人每小时能绿化的面积为多少？

思考下面的问题.

（1）在这个问题中，哪些是已知量，哪些是未知量？

（2）如果设每人每小时绿化x平方米，则原计划用______小时完成绿化任务.

（3）增加2名工人后，实际用______小时完成绿化任务.

（4）这个问题中的等量关系是什么？由此，可以得到怎样的方程？

（5）观察（4）中所得方程的特点.

【设计意图】为了让学生经历从实际问题中抽象出数学问题，并用数学符号建立分式方程的过程，我们从生活实际出发创设了这个“绿化”问题.学生能根据建立一次方程模型的经验，很容易的列出一个方程.通过分析方程的特点，归纳出这类方程的两个特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数.在此基础上，给出分式方程的定义.

（6）你能解上面得到的方程吗？相互交流自己的解法.

【设计意图】目的是引导学生借助于解一元一次方程的经验，探究到解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程.按照这个思路，学生得到上述方程的解为x=2.5，通过检验x=2.5是原方程的根.

学生在思考、探究、解答上述一系列问题的过程中，既完成了对实际问题的解答，还能经历分式方程的建立过程，并且体会到转化思想在解分式方程过程中的作用.事实上，“数与代数”部分的很多知识，学生都可以这样自主获得.

4.加强实验教学

数学实验是学习数学的重要方式之一，这种方式是让学生从自己已有的“数学经验”出发，通过动手操作、动脑思考、交流合作等方式获取新的数学知识.《标准》反复强调数学实验问题，如在《标准》中要求学生“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理能力和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.

加强数学实验教学是全面落实《标准》的“基本理念”，实现“课程目标”，落实“教学建议”的需要.在具体的教学过程中，努力结合具体的学习内容，积极开展实验数学的教学活动.

在“数与代数”的教学中，我们应根据具体的学习内容，结合学生的实际接受能力，精心创设有助于学生自主学习的问题系列，引导学生通过动手实践、思考、探究、合作、交流等活动，从而获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，让学生在获得间接经验的同时也能获得一些直接经验.

案例4：认识函数图象的过程.

将一个透明的饮料瓶均匀地划上刻度，使最小单位为mm.在饮料瓶盖中心位置按竖直方向打一小孔，再将一根适当粗细的塑料吸管的一端插入瓶盖.将饮料瓶注入大半瓶水，拧紧瓶盖，用胶带纸将瓶口及塑料管与瓶盖的接口封好，使其不会漏水.将饮料瓶倒置并固定在铁架上（如图1），饮料瓶下方放置水杯，引出的塑料管用铁夹夹住，记下瓶内水面的高度.

图1

每四位同学一组，分别负责看秒表、控制铁夹、观察水面高度、记录数据.

打开铁夹，使水由塑料管流入水杯，分别记下从放水开始到10秒，20秒，30秒，…，100秒时，瓶内水面下降的高度L.表1是小亮实验小组得到的数据.

表1

将表1中每对t和L的数据作为点的坐标，在以t为横轴、L为纵轴的直角坐标系中描出各点，并将描出的点用平滑的曲线依次连接起来（如图2）.

图2

观察这条曲线，思考下面的问题.

（1）从放水开始到放水10 s时，饮料瓶内水面下降的高度是多少？从放水后10 s到放水后20 s呢？

（2）随着放水时间t的逐渐增大，饮料瓶内水面下降的高度L的变化趋势是怎样的？

（3）t每增加10 s，L的变化情况相同吗？

（4）估计当t=55 s，L的值是多少？你是怎样估计的？

（5）你发现在水面下降高度L和放水时间t的变化过程中，L是t的函数吗？哪一个变量是自变量？它们之间的函数关系是如何表达的？

（6）通过上面的问题，你体会用图象表示函数关系有什么优点？

【设计意图】本实验在学生已有认识的基础上，由饮料瓶的放水实验，通过记录数据、列表、描点、画图设计了层层深入的6个问题，借助于直角坐标系中画出的曲线感悟曲线能表示出饮料瓶中水面下降高度与放水时间t之间的函数关系，目的在于让学生经历活动过程，积累活动经验，会在坐标系中用一条曲线表示出L与t的函数关系，认识建立表示变量之间函数关系图象法的意义，并感受用图象法表示函数关系的优点.

“数与代数”部分知识的教学途径还有很多，笔者论述的仅仅是宏观的教学策略.希望教师在认真研读《标准》的基础上，全面把握其课程理念，熟悉课程内容，正确理解其中给出的十大核心概念的含义，精雕细刻的钻研教材、多方位分析学生，通过集体备课相互交流自己的研究成果，努力设计出有价值的学习方案，以此引导学生经历观察、思考、探究、猜测等活动过程，在经历这些过程的同时完成对这部分内容的学习.

［1］李树臣.数学教学过程化的4个常用策略［J］.中国数学教育（初中版），2010（6）：2-5.

［2］李树臣.培养数学建模能力的基本途径［J］.中国数学教育（初中版），2010（10）：8-13.

［3］李树臣.精心设计问题情境，引导学生自主发展：青岛版《义务教育教科书·数学》中问题情境的类型及设计意图［J］.中学数学教学参考（中旬），2013（10）：9-12.

［4］李树臣.正确认识和重视对数学思考的培养［J］. 中学数学杂志，2015（2）：15-18.

［5］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［6］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2017—06—07

李树臣（1962—），男，中学高级教师，主要从事数学教育的理论与实践研究.