生长数学：数学教学的理性回归<br/>——第七期《中国数学教育》名师讲堂“生长数学”主题网络研讨记

生长数学：数学教学的理性回归
——第七期《中国数学教育》名师讲堂“生长数学”主题网络研讨记

2017-09-05卜以楼

中国数学教育（初中版） 2017年9期

关键词：运算直线种子

卜以楼

（江苏省南京市宁海中学分校）

生长数学：数学教学的理性回归
——第七期《中国数学教育》名师讲堂“生长数学”主题网络研讨记

卜以楼

（江苏省南京市宁海中学分校）

教育的最终目的就是让学生生命更好的生长、成长，这是教育的价值旨归.生长数学就是源于对生命成长这一价值旨归的敬畏，将生命理念迁移到数学教学活动之中，并让数学教学回归原点，反哺学生生命成长，为学生生命成长助力添彩.为此，生长数学倡导在数学教学活动中，让生命生长、成长的理念落地生根，让学生每天都浸润在生命成长的气息中，让学生在数学学习活动中感悟成长的力量和乐趣，实现数学教学的理性回归.

生长数学；基本理念；数学种子；生长过程；教什么；怎么教

《中国数学教育》杂志借助于其特有的办刊品位与发展内涵，利用线上网络平台创造性地开展“名师讲堂”网络研讨活动，引发了前所未有的轰动效应，这种“网红”现象说明数学教育研究具有其强大的生命力，且在不断增值发力.

第七期名师讲堂研讨的主题是“生长数学”.下面呈现的是这次网络研讨的实录，在此与同行分享，并请大家指正.

【主题】生长数学研讨.

【主讲人】卜以楼（生长数学的倡导者、探究者、实践者）.

【策划、主持】纪朋成（中国数学教育杂志社驻南京办事处工作人员）.

【嘉宾】庞彦福（江苏省特级教师）、林日福（广东省深圳市龙华区教研室主任、教研员）、苏德杰（二度学习法创始人）、诸士金（江苏省南京市学科带头人）、宋伟军（江苏省南京市建邺区青年教师基本功比赛一等奖）、林福凯（福建省龙岩市骨干教师）、周建香（江苏省无锡市教学新秀）.

【研讨方式】主讲人主题发言，嘉宾发表看法，大家相互交流智慧.

【时间】2016年12月20日20：00—21：30.

【研讨方式】中国数学教育名师讲堂QQ群.

【后期整理】康叶红（江苏省南京市六合区横梁初级中学）、卢全军（湖北省丹江口市大坝中学）.

卜以楼：在生长数学这个园地里，可能大家有比我更多的研究与想法，在此向大家学习.今天我应中国数学教育杂志社纪朋成老师的邀请，就生长数学这个研讨主题开个头，更多的是由嘉宾们、老师们进行研讨.

纪朋成：下面进入第一个话题，为何提生长数学？

诸士金：近期和卜老师共同参加了几次活动，个人理解卜老师的“生长数学”提出的背景是基于杜威的“教育即生长”的观点.

卜以楼：是的.广州的苏德杰老师昨天在群里建议我用下面一段话作为与大家交流的开头语，我想再恰当不过了，现与大家共享.

著名教育家夸美纽斯说过这样一句话，找到一种教育方法，使教师因此可以少教，但学生可以多学；使学校因此可以少些喧嚣、厌恶和无益的劳苦，独具闲暇、快乐及坚实的进步.

我心目中的生长数学，是对教育本质的回归，让数学教学回到原点，以保证促进人的生命成长、发展.下面首先谈谈今晚的第一个话题.

一、为何提生长数学？

1.生长数学的背景与基本理念是什么？

诸士金：第一个问题我是这样理解的，生长数学不只是对数学学科的教学研究，更是一种自然生长在教育中的投射，教育更是一种生命的生长研究.

卜以楼：对！我认为生长数学的背景源于当前数学课堂对知识过度碎片化，内容过度肤浅化、教学过度玩技巧.学生学得死，教师教的累.

诸士金：卜老师在《让复习课留下一串串生长节》《生长链变式图迁徙路》等文章中指出，让学生在复习过程中自主建构知识网络是复习课的重要价值，复习的价值在于注重知识的关联，找准生长点，选好生长路径.采用生长型架构进行复习的教学，是一个关注人的生命成长的过程，是一个将知识生长与人的生命成长协同发展的教学理念的具体体现，也是一个追求彰显个性发展的过程，更是一个体悟知识生长、生命成长的哲理.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性.

刘密贵：教育以人为本，教学以学生的生长为本.

卜以楼：我认为，生长数学的基本理念主要有下面三点.

（1）教育本身就是一种成长.

杜威说过，教育即生长.学校教育应把学生作为一个完整的人来教育，关注学生的全面发展，包括学科知识、技能、内在情感体验，从而形成关键的能力和必备的品格.

（2）数学教学应为学生成长助力.

人类的一切活动都要以人的成长为核心，服务并服从于人的生命成长.为此，学校的教育教学活动，要以人为本、以生为本，以学生的认知规律为本，将生命成长的规律引入到数学课堂教学中.

数学课堂应成为寻觅数学生长的摇篮，培养学生自然生长的土壤.我们只有不断为这片土壤注入活水，添加养料，使之不断改良，才能在促进学生生命成长的进程中发挥数学教育的正能量.

（3）数学教学要培植思维生长的种子.

生长源于内部渴望与外部环境的作用，显示出无与伦比的力量.学生的数学学习经验体系也要让其在一定环境中自内而外的“生长”，架设生长构架，寻觅思维活动轨迹.

苏德杰：生长不仅是指数学知识内部的生长，也指学生数学思维的生长，更指学生思维品质、精华的生长、升华.

卜以楼：一句话，数学教学要让学生学到有生长力的数学.那么，什么是具有生长力的数学呢？

2.什么是具有生长力的数学呢？

（1）数学思维必然的东西是生长数学.

卜以楼：生命的本质特征是自然生长、必然生长.数学教学的价值在于思维教学，思维教学的关键在于创设思维必然的场景，从而让学生通过数学活动学会数学思维，进而学会思维，提升数学核心素养.我举个例子加以说明.

一元一次方程的起始课，一定有一个让学生感受“从问题到方程”的过程.如果“从问题到方程”这个过程处理不好，教学活动就会出现直接告诉学生这个问题可以用列方程的方法来解决.具体操作就是在列方程时，首先要“设……”，然后根据题中相等条件，要求学生列出方程.

这样的教学活动，存在两个突兀.一是学生怎么会想到用方程来解决？此时学生还没有任何的方程概念，还不知道方程为何物，他们怎么想得到用方程来解决这个问题呢？二是用方程来解决问题为什么要先“设：…… ”？此时，学生没有这样处理问题的经验，他们怎么会想到“设”呢？

诸士金：这样处理思维的自然和必然体现不足.

卜以楼：所以这样的教学活动，学生的思维是不自然的.

林日福：在没学习过方程的条件时，如何感受方程的优势呢？

卜以楼：我是这样设计的，请老师们指导.

在教学中营造下列思维场景，则可能让学生自然地感受从问题到方程的过程.

用“鸡兔同笼”问题来让学生体验“从问题到方程”.“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”可先让学生用小学学习过的方法来解决这个问题.

卜以楼：想想看，学生会怎么解决？

这个教学片断可以参看文［1］.文［1］中列举了多种小学解决“鸡兔同笼”问题的“算术”方法，尽管方法、形式不同，但其本质是相同的，那就是“假设法”.再在此基础上，将小学里用“算术法”解决问题的视角自然地迁移到新的方法——用“方程法”来解决问题.

关键是教师提出的下面这个问题很重要：我们能否沿着假设法的思路，通过用字母表示（未知）数的方法来解决该问题？

此时，一定有学生会自然地想到：假设鸡有x只，则兔有（35-x）只.根据鸡兔共有94只足，就有2x+4（35-x）=94.余下的问题就变成求x的纯数学问题了.在用方程解决了本问题后，向学生指出，为了方便，把“假设……”简写成“设……”，让学生明白“设”的前世今生.

诸士金：从小学的理解来看思维的自然之处，寻求思维的必然发展方向.

苏德杰：其朴素观念就是：对应.

卜以楼：此时，教师可做适当小结：将小学阶段学习的“假设法”迁移到我们初中数学用字母表示（未知）数来解决问题的方法，就是今天我们要学习的新内容、新方法——“方程法”.至此，完成了“从问题到方程”的自然演绎.

田献增：假如第一次遇到，会怎样想？

卜以楼：如果第一次遇到，想不到“假设法”的话，可用控制变量的方法加以引导.此题难就难在鸡、兔的足不相同，因此，可将鸡、兔的足都控制成2只或4只，从而生长成本节课所需要的“假设法”.如果学生还不知道，可先上一节课，解决“鸡兔同笼”的问题，然后再上“从问题到方程”这节课.

诸士金：自然生长的速度并不会一致，对于每一名学生是否能够这样去想，我们都应有等待花开的心态.

卜以楼：教师在上述过程中，只是营造了一个思维场.在这个思维场中，学生的思维是必然地定位的、自然地扩张的.我们可以把这个过程称之为营造“思维必然”的场景.

诸士金：嗯，这样学生前面的假设法的生长困难就能够解决.

（2）一以贯之的东西是生长数学.

卜以楼：教师要把学生看作是一个能动的个体，每一个知识点都是学生在原有知识的基础上完成的，学生学透了最基础的“元知识”，以后的知识其实就是一个迁移、同化、顺应的过程.

例如，几何教学的起始课，“直线、射线、线段”和“角”的教学，就应该用“一以贯之”来引领它.

大家想想看，如何将直线与角的教学一以贯之？

诸士金：直线与角的教学可以立足在生长点和生长结构上的类比教学.

苏德杰：我处理的话就是：一条线的表示，两条线的位置关系.

刘密贵：纵向：形状、大小、位置.横向：这个怎么学，那个就怎么学.

诸士金：大小和位置这里处理的是数量关系和位置关系，理清的是关系.

卜以楼：这里面有几个一以贯之的东西要注意把握好、运用好，不能错失教学资源价值的良机.

大家想一想，有哪些？

诸士金：生长点在类比中会有延续和生长，如直线的概念和角的概念，一个定义的是描述性的，一个定义的是给予已有的.

卜以楼：诸老师讲的对！

我想主要有以下三点.

一是，几何学科的关注点，即几何学科研究的对象是图形，关注点即要关注图形的形状、大小、位置.

二是，研究一个几何概念或定义的基本方法，即研究一个几何概念或定义的基本方法是概念或定义的描述；几何图形的符号表示法；几何图形的大小确定及表示方法.

三是，研究两个几何图形的位置关系的基本方法.

诸士金：研究几何图形的位置关系基本方法可以渗透控制变量法.

卜以楼：对，研究两个几何图形的位置关系的基本方法是控制变量法.所以点与直线有两种位置关系：一是点在直线上；二是点在直线外.

柳超：什么是控制变量法？

卜以楼：控制变量法这个概念可以通过查阅文献得到，我想举例加以说明.例如，研究点与直线的位置关系，可控制点不动，让直线来动，或者可控制直线不动，让点来动.

诸士金：点动线不动，线动点不动；线动圆不动，圆动线不动.

刘密贵：例如，研究y=kx+b的图象与k，b的关系，我们可以固定b，来看k的作用.

控制变量就是消元，化多为少，甚至化为1.从简单到复杂，从特殊到一般，从定性到定量.

王强：卜老师有一篇关于正切定义的文章就是从控制变量法得来的.

宋伟军：卜老师的文章《让复习课留下一串串生长节》中，也有对于数学中的控制变量法的具体运用.

庞彦福：一以贯之本身就需要境界，是探寻研究一类问题的方法.

苏德杰：讲出数学味道，讲出思维味道，讲出自然味道.

诸士金：数学思维是自然的味道.

卜以楼：把这个思想运用到点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是一样的.对直线与角两个不同的图形进行本质化研究.主要有：线段研究中点、角研究平分线，且数量关系的式结构都是一样的.

这样的设计，让学生认识本质的同时，体会到一个字“美”！

庞彦福：简单的往往是基本，也是重要的.

诸士金：几何学科的关注点是不是可以主要认为研究几何图形的形（从万物中的具象到数学化的抽象），几何图形的量（大小，用数学的思维思考和表达的需要），几何图形的关系（空间的结构需要，自身结构与外在结构的联系）.

研究生长，当发现研究对象的结构极其类似的时候，会有一种惊喜.直线、射线、线段和角的研究结构很类似，从生长结构上的相近会带来研究方法上的一致，所以为一以贯之.

卜以楼：如果再往深处想，一条线段上有n个点（含这条线段的两个端点），可形成的线段与过一个顶点引出的n条射线形成的角的个数也是一脉相承的.美不美？！

诸士金：寻求线段条数和寻找角的个数是一样的策略.对于平角的问题是“角”生长结构中的个性化，加强条件可以完善不同的生长结构.学习的东西也是在加强条件和减弱条件中加以研究.

赖兴梅：数线段条数和角的个数，线段比较大小，角的大小比较，都可以用类比的方法来学习.

卜以楼：所以可以认为，章建跃博士的“前后一致、逻辑连贯、一以贯之”的东西，就是生长数学的关注点.

（3）反复强化的东西是生长数学.

卜以楼：生长数学必须关注生长的种子.所谓“种子”应该就是那些“反复强化”的内容和方法.让这些内容与方法在学生的脑海里深深地烙上印记，就是埋下了种子，等到学生的理解能力到位了，潜能也就自然发挥出来了.当然，种子课——它还是一个种下学习习惯的种子和种下学习方法的种子的过程.

反复强调的东西就是那些退回到原点而不失本质的东西，是那些既关注方法更关注方法论的东西.

例如，用控制变量法来研究两个图形的位置关系、用数量关系来确定位置关系、位置关系又常常可以用数量关系表示出来等，这些都是几何的种子.

总之，对于生长数学，不同的人可能有不同的认识，而苏德杰老师对生长数学的定位，则有助于我们对其理解.

数学的成长及学习如同大树生长过程：种子发芽，扎根、再扎根，再生长，双向促进，根深叶茂，叶茂根深.

在数学的学习过程中，建构基本原理，并由此产生的各类知识层面和方法，都可用通性进行双向贯通，不停地返到原点.周而复始，彼此不断地沟通、深化.基础会打的越来越扎实、牢固，对各类知识的理解也越来越深刻.数学逻辑体系可用“性与法”这两条主线，达到双向贯通的目的.

苏德杰：这是北京高存明老师讲座时的内容.

纪朋成：下面谈谈生长数学的愿景构想.

3.生长数学的愿景构想

卜以楼：生长数学的愿景构想就是把握数学学习、数学认识过程中最具有活力的东西.具体有如下几个方面.

（1）在数学上找到可以繁殖延续的DNA.

数学上可繁殖的DNA，即知识的生长基因.它首先具有生长性，它应在知识的交会处，是数学中最具活跃的因素.

（2）在学法上找到可以自我调节的按钮.

学法的自我调控能力，即学法的实用性.它是因人而宜，因知识结构、难易程度、认知心理等诸多因素决定的.

（3）在教学上找到可以开启思维的杠杆.

开启思维的杠杆，即教法的有效性.它的首要关注度就是要让数学学习真正发生，让学生学得更快乐，让教师教得更轻松.

纪朋成：下面进入第二个话题，生长数学教什么？

二、生长数学教什么？

1.要教播种数学种子的过程

卜以楼：首先明确什么是种子？

数学上的种子，就是前后一致、逻辑连贯、一以贯之的基本的、可迁移的、可生长的“元”知识、“元”方法.

从日常教学资源中发现数学知识生长的种子，关键是要对数学有高位的理解.章建跃博士认为，理解数学是教好数学的关键.杨乐院士认为，教好数学取决于教师的数学水平.

周建香：传统视角，数学的知识零散万千.从生长视角看，数学的知识皆有源头.找到生长源，确定生长点，首当其冲.回顾学生的问题是种子，课堂上的种种意外是种子，学生的疑难是种子，总之，种子不是教师个人决定的，它取决于学生学习的生长需要.

卜以楼：例如，研究有理数，就要研究有理数的概念、运算及应用三个方面.概念又要研究定义、分类、相反数、绝对值、数轴表示法、大小比较等；研究运算，则要研究运算法则、运算律等；研究应用，就是用数的模型化思想解决问题.

这个基本套路可以自然地生长到无理数、实数之中，也可以自然生长到代数式之中.

再举个几何的例子.研究几何的基本套路一致，如图1所示.

图1

上述不仅是四边形的研究套路，而且是所有图形都要这样研究，不过有些内容被弱化了.

从上述结构中我们可以看出，数学总是从概念开始的，所以在某种程度上可以这样认为，数学是玩概念的.当然数学是玩概念的，又不仅仅指上述套路之说，它有更深层次的意义，在这就不再赘述了.

倪俊：这也是研究图形类问题的必然之法.

卜以楼：这才是玩数学，这就是几何教学的种子.结构上一以贯之，知晓通性才能有通法可循.平时教学中一定要注意播下这些数学种子.只有播下了这样的种子，学生在思考问题时思维的种子才能发芽、生根、生长.

诸士金：从概念的双重性去研究图形的性质、判定，基于概念、性质和判定的理解去谈应用.

苏德杰：寻知识间的联系，构成一个整体，则可以少教多学矣！

宋伟军：二度学习法，少教多学.

2.要教数学种子的生长过程

（1）要教结构.

卜以楼：我通过“有理数的混合运算”的教学来说明这个问题.

“有理数的混合运算”的教学，价值在于通过计算活动，体验混合运算法则的合理性，制定运算法则，创造规则，而不仅仅是告诉学生有理数运算法则，让学生执行法则，进行有程序的计算.因此，可以设计下列题组进行教学活动.

计算：

（1）8-4；

（2）8-（-2）×（-2）；

（3）8-8 ÷（-4）×（-2）；

（4）8-23÷（-4）×（-2）；

（5）8-23÷（-4）×（-7+5）.

大家想想，题组的用意是什么？

通过（1）认识加减为一级运算；

通过（2）认识乘除为二级运算，此时运算顺序应为先算乘除，后算加减较为合适；

通过（3）认识同级运算，按从左到右的顺序计算较为合理；

通过（4）认识乘方运算是三级运算，此时运算顺序要优化成：先算乘方，再算乘除，后算加减；

通过（5）认识有括号，要先算括号内的.

林福凯：拾级而上，自然生成，必然生长.

苏德杰：这就是我常说的“同中辨异”.

卜以楼：这样的过程，是让混合运算的法则慢慢地生长出来，在形成每一个生长节的过程中，学生逐步形成完整的混合运算法则.

这个过程，是让学生制定混合运算法则的过程，是一个“制定标准”的过程，是一个“领导者”的思维方式.

如果告诉学生运算法则，让学生按照法则进行计算的话，则是一个“执行标准”的过程，是一个“打工者”的思维方式.

卜以楼：有些规则只要讲道理就行了.说数学是理性思维的科学，我认为一是讲道理，二是讲推理.更重要的是，我在开展上述活动时，运用雕塑式板书（如图2）的形式配合思维活动，更能收到艺术性的效果.

图2

这个案例的设计，可见文［2］.

这种教学活动还跳出数学看数学.当全部计算活动结束后，让学生回过头来看，为什么运算顺序总是从高级向低级？教师这时可将手中的粉笔松开，让学生体会物体受到重力作用总是从高处向低处下落，再者，水总是从高处向低处流.通过这样的日常生活事实，让学生感受到数学规律与生活中的普适规律是相通的，数学规律也有人性，正所谓是大道至简！这种与生活遥相呼应的东西也是人心往之的事情，是一个“趋向稳定，向往和谐”的美好期许.这样看来数学并不神秘，也不可怕，相反学生是不是对数学产生了一种亲近感，心已往之！

最后，用彩色粉笔将板书中的“梯形题组”画成如上述板书中的五级台阶，以展示用“梯式”板书题组的用意.这五道题，就好似人生迈出的五个印记、五个台阶，并在这五个台阶上写上“上下求索路”“解题如人生”，对学生进行价值观、人生观、世界观的教育.

庞彦福：知识的生长到思维的生长再到能力的生长最后到智慧的生长，渗透的是通性、通法.

卜以楼：润物无声，教育无痕.

林日福：教育无处不在，语言、图形、文字、……

卜以楼：这就是数学教育人要过的一种幸福的数学教育生活！

用生长的观点来看数学，数学在某种程度上就是一种系统和结构，为此有“数学就是系统、系统还是系统，结构、结构还是结构”的一说.在教学中只有创设凸显结构的思维情境，才能放大数学结构的功能，才能让学生不至于盲人摸象、才能让学生在结构上一览数学众山小.

（2）要教思想.

卜以楼：大家思考过这样的问题吗？

判定两条直线平行，理应出现用图3让学生来判断直线AB是否平行直线CD，而我国到目前为止所有的教学素材，都是直接呈现图4让学生来判断直线AB是否平行直线CD.此时，学生会不会产生明明是用图3来判定两直线平行，为什么老师非要我们用图4来判定两直线平行的疑问？这样直接呈现图4让学生来判断还有多少思维的含量与空间，很值得研究.更重要的是我们白白地丧失了这个训练学生思维素材的教育价值，着实令人可惜和痛心，真是入宝山而空返！

图3

图4

诸士金：从三线八角引入的不自然.

卜以楼：我是运用下列方法来探究这个问题的，详见文［3］.

根据研究几何图形的种子，应该首先想到的是用定义来判定，那就是不相交的直线，没有交点的直线.但是这种方法难以操作，不靠谱、不好用，所以要探寻是否有比这种方法更好的方法.

当面对一个新问题，我经常提醒学生的一种方法就是“最近联想”.根据这个想法，于是想到与平行最接近的垂直的判定方法，它是用角这个数量关系来决定位置关系的，那么我们可不可以也用这种方法来试试.此时就想到在图中要出现角，现在这个图形中没有角怎么办？于是想到了与图3最近的三线八角图4，于是三线八角图5这时才会从幕后走到台前，并且直线MN应该是虚线，所以说，几何教学中的第一条辅助线应该在此诞生才是啊！