利用几何画板提升“几何直观”核心素养的探索

李卫星

【摘要】《数学课程标准》指出：“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”[1]几何直观实际上就是在“数学—几何—图形”关系链中让我们感悟到的最大好处.几何画板能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律，理应承担提升学生几何直观能力的作用，我们以浙教版九上数学第3章“圆的基本性质”为例进行了若干探索.

【关键词】几何画板；几何直观；圆的基本性质

《数学课程标准》中将“几何直观”列为十大核心概念之一，也是初中生所必备的核心素养之一.它本质上是一种通过图形所展开的想象力.“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.”[1]几何直观包含两方面内容：一是几何，主要指图形；二是直观，不仅仅指直接看到的图形，更重要的是借助看到的图形进行数学思考，是一种方法、途径，也是一种数学意识.正如希尔伯特在《直观几何》一书中的序言里写到的：“要帮助我们的学生学会用图形来描述和刻画问题，要帮助学生学会用图形去发现解决问题的思路，要帮助学生学会用图形来理解我们得到的结果和记忆我们的结果.”[2]因此，培养学生的几何直观能力、发挥几何直观性的教学价值，是我们研究几何的重要内容之一.

几何画板能动态展示图形对象的位置关系与变化规律，对于几何直观的作用是无可比拟的.“圆的基本性质”是浙教版九上的内容，是几何领域的典型代表，是学生学习的难点，因此，引入几何画板有利于缩小学生对几何的距离感，对于发展学生的几何直观和促进知识理解有着重要的作用.

一、凸显过程，直观分析动态变化的本质

传统的动态化图形教学，只能通过教师的语言描述或由学生对一些静态图形进行抽象分析，而PPT等课件最多只能为学生呈现一个“一闪而过”的动画过程.而几何画板的“追踪”功能能直观形象地把图形运动的每一个时刻展现给学生，为揭示数学知识的本质能起到很好的作用.

【案例1】圆的定义的产生过程.

浙教版教材是用点的轨迹来定义圆的，我们点击下图中的“动画点”这一按钮，就形成了线段OA（定长）绕它固定的一个端点O（定点）旋转一周的动态过程.在运动过程中，观察到以下结论：动点A与定点O之间的距离始终不变.还可以“擦除追踪踪迹”后，改变定长OA，重复演示.

以上直观的演示过程，向学生展示了清晰而完整的圆的产生过程，把最本质的东西（圆的半径的不变性）保留并呈现给学生，直观的刺激为学生的进一步思考留下了痕迹，促进了学生对概念的理解.

二、数形结合，直观展示数学知识间的联系

数形结合是初中阶段学习数学的重要思想方法之一，用图形解释抽象的数学现象既形象又直观.我们借助几何画板中的动画功能进行即时动态操作演示，在演示的过程中进行观察、讨论，让学生通过观察比较来加深对知识的理解.

【案例2】圆心角定理的形成.

如图所示，选中A点，并拖动A点，观察在圆心度数不变的前提下，弦AB的长度、AB的度数及长度有怎样的变化？拖动C，改变圆心角∠AOB的大小，重复操作，结论又如何？（由此猜想发现圆心角定理）

通过直观演示，猜想在同圆或等圆中，两个相等圆心角所对的两段弧、两条弦之间的相等关系，为下一步的演绎推理论证奠定基础.

三、题组变式，直觀对比问题异同促转化

几何画板因其操作简便能随时改变题目进行变式训练，把一些类似但又不相同的题目进行归类，通过对比教学，以求促进一类问题的解决，进而达到较好的教学效果.

【案例3】一个圆中的多解问题的探究.

【问题】如图，直线AB经过⊙O的圆心，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，已知∠AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与⊙O相交于点Q，则点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数.

【变式】点P是直线AB上的一个动点，因而，点P与线段OA有三种位置关系：在线段OA上，在线段OA的延长线上，在线段OA的反向延长线上.分三种情况进行分类讨论.

通过几何画板对动点P的位置改变，自然而然地找到了P点与线段OA三种位置关系的分类点，在黑板上是达不到这种效果的.

四、探究结论，直观演示动态变中求不变

几何画板能在动态背景问题的探究中，显示变中的不变关系，为学生搭建了一个观察、分析、找出问题结论的平台.在“圆的基本性质”一章中的许多定理、性质，在得出结论之前，可用几何画板进行演示，让学生观察、分析、归纳出所需结论，有时也可在定理证明后进行演示，使学生理解更深刻.

【案例4】圆周角定理的探究与深化.

（1）复习提问圆心角定理（略）.

（2）提出探究问题：在圆周上取一点C，度量∠ACB；拖动点C，∠ACB的大小会变化吗？∠ACB与∠AOB的大小有什么关系？

（3）拖动点A，B，你的发现还正确吗？

通过观察、计算、分析、比较、归纳，得到圆周角定理的猜想.

（4）深化：拖动点C至⊙O外或圆内，猜想∠ACB与所夹的弧AB与EF有怎样的关系？

引导学生观察、计算、分析、比较、猜想、发现与证明得出圆外角、圆内角性质.

五、几何画板助力学生构建几何直观的三种教学形式

（一）课堂演示型：直观助力学生思考

用几何画板进行课堂演示，使抽象的数学知识简明直观地呈现，能有效地帮助学生数学地思考知识间的内在联系.几何画板的动态变化能将形与数有机结合，把运动变化过程呈现给学生，形成对数学知识的理解.

【案例5】图形旋转性质的探究.

问题1：如图所示，O是△ABC外一点，以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转80°，作出旋转后的图形.

问题2：△ABC在绕O点旋转的过程中，哪些量不变？哪些量改变了？

以上整个过程直观地展现了变中找不变的过程，而这个不变就是图形旋转的性质.

（二）自主操作型：直观反馈学生思维

几何画板为发现学习提供了可能，通过动态化为学生“做”数学提供了必要工具，能自主地在“问题空间”内探索，凸显了数学知识形成的过程，既有个别化学习，又能较好地小组学习.教师可根据教学内容设计一些试探性问题，将更多的探索、思考的任务交给学生，使学生根据动态图形得出概括性的结论.

【案例6】垂径定理的自主探究.

问题1：垂径定理的理解.

“垂径”是指，它.

问题2：垂径定理的变式.

问题3：垂径定理的反例.

通过提纲，结合几何画板构建变式与反例，从而促进真正理解定理，掌握垂径定理的使用条件.

（三）互动合作型：协作提升几何直观

教师首先向学生提出本教学环节的学习目标、任务及相关学习内容，学生根据自身情况选择相关内容进行自主学习，各取所需，教师及时进行辅导答疑.可分三个环节展开教学：学生先独立学习、发现、质疑，内化目标；再实践探索、合作交流，师生共同探疑；最后归纳梳理，师生共同揭疑.

【案例7】定理“不在同一直线上三点确定一个圆”的探究.

问题1：经过一个已知点能作多少圆？

问题2：经过两个已知点A，B能作多少个圆？你认为圆心在怎样的一条直线上？

问题3：一个破损的轮子如图所示.现要重新浇铸一个，需先画出轮子的轮廓线（圆）.怎样画这个圆？试一试，并作出这个圆.

（1）设计问题的解决方案：由问题2知道经过两点的圆的圆心在以这两点为端点的线段的中垂線上，故只需在大圆弧上找出四个点，画两条弦，它们中垂线的交点即是圆心的位置.

（2）问题的发展：教师在肯定的基础上提出新问题，有没有比（1）中更简单的方法？将四个点改为三个点如何？

（3）新的解决方案：让学生通过直尺、圆规进行方法上的验证.

（4）问题梳理：引导学生用数学语言进行表述.

这样，在教师提出问题，学生的自主探索中，不断发现新的结论，最终促成定理的发现.

六、结束语

尽管“圆的基本性质”一章综合度较大，几何画板的介入，使得学生有足够的时空参与探究与交流，经历“做”数学的过程，明显提高了学生的学习兴趣.同时，在应用几何画板教学时，教师应注意信息呈现的适切性，注意几何画板只是帮助学生思考，而不能代替学生的思考.几何直观作为2011年版《数学课程标准》新增加的核心概念，其研究仍处于起步阶段，许多问题仍未能得到有效解决，本文总结了一些不成熟的做法，旨为同行们抛砖引玉.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]希尔伯特.直观几何[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]范良火.义务教育教科书·数学·九年级上册[M].杭州：浙江教育出版社，2014.