一种标定隐含变量的复合函数求导方法

王昫

【摘要】分析了复合函数求导公式中隐含的变量标志，给出了快速准确计算复合函数的公式，通过实例展示了给出的公式在复杂复合函数求导运算中的运用.

【关键词】隐含符号；中间变量；复合函数求导

一、引言

复合函数求导运算是微积分学的重要的内容.因构成复合函数的形式多样，且链式求导公式中隐含了对中间变量的标志，看似简单的链式求导法则，即使是在满足理论要求的条件下，对公式中隐藏的中间变量理解有偏差也会导致计算错误.常见的文献过多地集中在讨论复合函数求导公式数学理论本质[1]、常犯的错误归类和容易混淆的求导记号等[2].本文给出了标记隐含变量、快速求取复合函数导数的公式，并通过实例展示了该公式的应用效果.

二、标定隐含变量的求导公式

定理1[3]如果函数u=g（x）在x点可导，y=f（u）在点u=g（x）可导，那么复合函数y=f[g（x）]在点x可导，且其导数为

y′=f′（u）g′（x），（1）

或者dydx=dydududx.（2）

上述链式法则公式（1）的记号在求导运算中比较常用，但是随着复合函数的形式多样变化，公式（1）省略了对求导中自变量和中间变量下标标示，容易导致误解.实际上，两个公式左侧永远表示函数对自变量（x）的导数.公式（2）表示的代数含义更明确，即函数对自变量的导数等于函数对中间变量求导乘中间变量对自变量求导.是两个函数对两种不同变量的求导乘积，如果加以标示将有助于计算.

定理2如果函数y=f（u）在点u可导，那么，不管u是中间变量或者自变量，总有y对变量u的导数等于f（u）对u的导数，即

y′=f′（u），且始终可以记作y′u=f′u（u）.（3）

公式（3）中，无论变量u的形式多么复杂，下标字母在求导中始终可以被视作自变量.比如，y′u表示函数始终把整体u视作自变量求导.我们把公式（3）叫复合函数求导形式不变性.

证明如果u是自变量，令u=x代入公式（1），由定理显然得到公式（2）.

如果u是中间变量，因为y=f（u）在点u可导，在等式两边对u求导，当然有y′u=f′u（u）成立.但是此结果不是最终要求的求导结果（公式（1）的左侧，即函数对自变量的导数），而是公式（1）中右侧部分中的第一项因子，根据链式法则（1）需进一步求得最终结果.

从计算公式（7）和（8）可以看出，计算（9）到（10）时，忽略了求导运算中的中间变量（求导中的相对变量）和自变量的区别，把中间变量当作自变量，导致错误结果.应用带变量下标的公式后，快速写出结果，最后写为常用格式，得到正确答案.

四、結论

以极限为基础的导数（或微分）运算和积分运算是高等数学重要的组成部分.撇开导函数中理论分析，快速准确地求取满足理论要求的复合函数导数是非常重要的.文中给出了一种标记变量符号的求导方法，对复合函数求导有一定的参考意义.并通过实例展示了方法的有效性.

【参考文献】

[1]赵瑛.浅谈复合函数的求导法则[J].电大理工，2008（4）：73-74.

[2]张菊.浅谈复合函数的求导运算[J]求知导刊，2016（10）：112.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.