立意新颖，界定明确，有效区分

2017-08-04刘蒋巍

课程教育研究·上 2017年24期

【摘要】作为一道高中数学联赛（一试）原创模拟题，试题除了“科学性、能力性”之外，还要做到“新颖性”、“界定性”、“选拔性”。立意新颖，不为题海战术开方便之门。界定明确，对一线教练员的教学有导向功能。有效区分，让不同层次水平的学生高低立显。

【关键词】高中数学联赛新颖性界定性选拔性导向功能

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）24-0106-02

高中数学联赛在即，为方便学生备考。笔者组织了高中数学联赛（一试）模拟题的命制工作，命题组紧扣“科学性、新颖性、选拔性、能力性、界定性”[1]的原则命制试题。笔者也参与了解答题第10题的命制。现将其命制历程及解法与各位同仁分享，不到之处敬请各位批评指正。

一、问题呈現

题目（1）已知，求证：

（2）若正数满足，求的最小值。

点评：本题综合考察了不等式的性质、代数式的恒等变形能力。其中第（1）小问一题多解，可以从代数式的恒等变形或导数法等视角进行思考。设问梯度得当，能使不同的数学竞赛者得到他应得的分数，测试效度较好。

二、命制历程

1.试题立意

根据双向细目表的要求，在解答题第10题的位置需要命制一道以不等式为载体的最值问题，题目要求新颖、具备压轴性，有一定的区分度，能起到选拔功能。试题要求界定明确，为高中数学联赛（一试）模拟题，命题范围不得超出中学数学大纲。

2.试题命制与打磨

命制方案：命题组试图通过组合法[2-3]命制一道二元函数最值问题，既坚持与高等数学的衔接，为学生后续升入大学学习作铺垫，又使试题不落俗套，让数学竞赛者无范本可循，让试题有一定的新颖性。

（1）多问题重组，形成初稿

复杂生于简单，第10题的命制从两个简单的问题开始。

问题1 已知，求证

问题1的命制思路：笔者注意到，当且仅当取等号。即：；在不等式两边同乘以得：，生成问题1。

问题2 已知，求证：

问题2的命制思路：由于，当且仅当取等号。同时注意到二次多项式的判别式小于0，故；则

；故，由此生成问题2。

将问题1与问题2组合形成问题3。

问题3 已知，，求证：

不难发现，问题3中要求证的不等式当且仅当时，取等号。即二元函数当时，取得最小值。于是想到将“”，即“”作为已知条件，衍生出新的问题，形成初稿。

初稿若正数满足，求的最小值。

（2）考虑界定性原则，改成二稿

命题组预估到本题作为高中数学联赛（一试）模拟题难度偏大，且审题教师解题后给出的几种参考解法中包括拉格朗日乘数法，故命题组认为初稿有超出中学数学大纲范围之嫌。而高中数学联赛（一试）难度的界定为不得超出中学数学大纲范围。初稿可以用作高中数学联赛（二试）试题，其有高等数学背景，但可以用初等数学方法来解。如若作为一试试题，区分度较差，必须给出梯度，层层递进。故命题组采用“分步设问”的方式，将问题2作为第一问，初稿问题作为第2问，以此降低试题的难度，提高试题的区分度，形成二稿。

二稿（1）已知，求证：

（2）若正数满足，求的最小值。

三、解法展示

解法1 （1）因为，

则，

从而，当且仅当时，取等号。

（2）由题意得：，由，得，即；

，当且仅当取等号；当时，，

又由（1）得，

故

解法2 （1）构造辅助函数，

，令，即：；