初中数学的典型“前概念”探析

【摘 要】在初中數学学习中，由于学生的头脑中存在的数学“前概念”的影响，常常引发学生出现各式各样的错误。经分析，学生“前概念”的形成多源于生活经验、原有概念、直观判断和思维定势等方面。教师可依据不同来源，采取不同的矫治策略。

【关键词】初中数学；前概念；成因分析

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）43-0015-03

【作者简介】章晓东，江苏省苏州市吴江区存志外国语学校（江苏苏州，215200）副校长，高级教师，江苏省数学特级教师，常熟理工学院继续教育学院兼职教授。

本文中的“前概念”是指学生在接受科学概念之前，根据已有的生活与知识经验形成的对事物的认识与观念。这些“前概念”中，虽然有少部分与科学概念的表述比较接近，但大多数的理解还是停留在浅层次，不能深入到科学概念的本质，还有一些“前概念”则是和科学概念完全背道而驰的，它对学生形成科学概念会产生干扰。

数学“前概念”的形成大多是自发的，内隐的，学生会不自觉地使用其解决数学问题，这就给数学概念的真正理解与掌握带来了一定的困难，在常规的数学教学中，有些教师对概念教学存在不当处理的状况，如采用课前预习概念、课中背诵概念，在学生还没有理解概念的情况下就开始讲例题，做练习，以为这样就能巩固概念达成教学目标，但事实恰恰相反，学生凭背诵而记忆的数学概念会不自觉地受到原有“前概念”的干扰，导致在往后的学习中反复出现同样的错误。

本文试结合初中学生在数学概念学习及应用中的典型问题来分析数学“前概念”产生的几个原因，以期对转变学生的错误“前概念”，促进正确数学概念的理解提供一些参考。

一、生活经验的局限

初中学生受生活经验和日常观察的影响，常常会站在生活化的角度来描述和理解数学概念，在他们学习新的数学概念之前，其实已经在头脑中有了关于这个数学概念的生活化的认识与理解。虽然许多数学概念都是从日常生活概念中抽象而成的，但其中有些生活概念则是不全面、不完整的，有的甚至是同数学概念的本质不一致的，容易对学生学习正确的数学概念造成干扰。

例如在教学“对顶角概念”时，学生对图1中的两个角，它们的顶点“相对”，学生会从生活的角度在字面及图形直观上理解和判断这两个角就是对顶角。如果教师在此忽略学生的“前概念”，其结果必然会导致科学概念被学生们先入为主的“前概念”严重干扰而发生认知障碍。

再如圆的概念，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆是一条封闭的曲线，故有点在圆内、圆外、圆上之说。而生活中圆的概念常常是以圆面的形象出现的，对学生接受圆是封闭曲线的概念会有干扰。

二、原有概念的干扰

数学概念之间既相互联系，又相互区别。由于受已有的认知结构及概念的影响，当学生学到近似或者关联的概念时，有些学生往往不能正确区分近似的数学概念或找不到关联概念中的联系部分，容易受以前概念的影响，新旧概念会互相混淆或干扰，学生难免会产生思维障碍，阻碍新概念的正确形成。

例如，把地球看成球形，用一根比地球赤道长15米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与赤道之间的间隙有多大？能放进一颗草莓吗？能放进一个拳头吗？你能站在赤道上走过去吗？姚明呢？学生受小学数学“前概念”的影响，一是无法想象长15米的铁丝把地球赤道围起来后的间隙有多大；二是认为必须要已知赤道的周长（具体的数）才能求出地球的半径，不习惯用字母来表示赤道的周长；三是对铁丝与赤道之间的间隙怎么转化为两个同心圆的半径差有困难，绝大多数学生的猜想是至多放进一颗草莓，事实上却是间隙大到足够让姚明轻松走过去。

再如，学生学习了异分母分式加减时的通分后，常常会在解分式方程时也在等式两边通分再约分去分母，无形中增加了解方程的繁复程度，这就是学生在学习约分的概念时受到了“前概念”通分的干扰，导致前后概念发生混淆。还有，学生在学习一个角的平分线时知道它是以角的顶点为端点的一条射线，到学习三角形的角平分线时自然受“前概念”的影响会认为它是射线而不是线段。类似的还有指数与次数的概念等都经常出现混淆。

三、直观判断的失误

站在初中生的年龄特点和认知水平的角度看，主导他们思维方式的是形象思维，即喜欢通过直观的方式来描述和认识客观世界。所以，学生在叙述一个数学概念时，会通过他观察到的结果结合自己已有的数学经验，用自己熟悉的语言方式来尝试描述数学概念和结论。对需要运用数学逻辑思维的方式才能做出正确判断的问题，他们常常会凭直觉来判断而产生错误，其原因在于没能理解所隐含的数学本质，抽象思维的能力比较欠缺。

例如，如图2，一张边长为8cm的正方形纸片，把它剪成4块，按图3所示重新拼合。这四块恰能拼成一个长为13cm，宽为5cm的长方形纸片吗？

由于受直观图形的影响，绝大多数学生容易误判，认为可以把正方形纸片中的4块再拼成长方形纸片。即使学生动手操作，由于误差的原因，也会产生直觉上的误判。此题只有通过计算，才能发现不能恰好拼成长方形，因为正方形纸片的面积是64cm2，而长方形纸片的面积是65cm2，长方形纸片中多了1cm2的空隙。而如果进一步向学生提问，这1cm2的空隙部分是什么图形，学生的答案也是五花八门的，很少会有学生说是平行四边形，因为学生不习惯用逻辑思维的方式来解决问题。

再如，在一元二次方程概念的学习中，学生常常会凭着直观印象从形式上来判断以下方程是一元二次方程，如3x+x2=16+x2，ax2+bx+c=0，其实第一个方程还没有整理成一般形式，两边的x2是可以抵消的，而第二个方程是缺少a不等于0的条件。类似的还有同类二次根式的概念，学生单纯从直观字面上来理解概念的话，就会认为■和■不是同类二次根式，因为被开方数不同。

四、思维定势的束缚

在数学教学中，思维定势在解决问题的过程中存在两面性，既有积极的一面，也有消极的一面。其积极的一面表现在知识技能的正迁移上，如快速掌握数学概念及公式，在条件不变的情况下，可以更迅速地对同类的题型做出正确判断，并顺利解决。思维定势也有消极的一面，会对数学概念的认识产生干扰作用。这种“前概念”的形成是由于学生看了一些有关这个概念的描述，但又没有理解概念的内涵和成立的条件，从而在对具体的问题的判断过程中，失去了思维的独立性，受思维定势的影响，正确的观点和概念就难以建立。

例如，已知等腰三角形中两边长分别为2和5，求这个三角形的周长。一些学生由于等腰三角形两腰长相等的思维定势（“前概念”）的原因，知道在等腰三角形两边长已知的情况下求周长有可能产生两种情况：两腰为2，底边为5，故周长为9；两腰为5，底边为2，故周长为12。其实周长为9的情况不符合三边关系定理，是不存在的，所以本题的解只有周长为12这一种情况。

还有，因为有思维定势的原因，学生常常把距离等同于路程，距离是两点之间的线段的长度。例如，从甲地到乙地的距离是表示甲乙两地间线段的长度。而路程有行程的意思，所行的路程不一定是两地间最短的路程，不一定是沿直线运动的。特别学生学了一次函数的图像之后，距离与时间的图像和路程与时间的图像有时的差别是很大的（如左图），如果此图是路程与时间图，同样是平行于t轴（时间）的一条线段AB，在这一时间段内，可以表示时间在变路程不变；但如果是距离与时间图，则还可以表示以出发点O为圆心，OA为半径作圆周运动，此时距离不变但路程在变。

可见，要转变学生头脑中的错误“前概念”，教师在具体的数学概念教学中，一方面要敢于让学生主动暴露认识数学概念的思维过程，通过观察、试验、猜想、验证等多种学习方式的变革来组织师生之间的交流与分享，不断引发学生数学概念上的认知冲突，促进学生对科学概念的认知顺应；另一方面，教师要运用各种教学方式，强化巩固科学的数学概念在学生头脑中的印象，广泛运用数学概念来解决实际问题，这才是让学生真正理解和掌握数学概念的必由之路。

【参考文献】

[1]李善良.数学概念学习中的错误分析[J].数学教育学报，2002（03）.