一道数学题给我的启示

甘肃省兰州市榆中县萃英学校(730100) 马永胜

一道数学题给我的启示

甘肃省兰州市榆中县萃英学校(730100) 马永胜

这是一道曾经出现在小学六年级数学学习圆的面积计算后出现的一道求阴影部分计算的题目.就是一个边长为1的正方形里面有两个面积相同的扇形和一个半圆围成,最后要计算这三个图形重叠部分的面积.看似简单,做起来的确不容易!

图1

图2

仔细观察题目,试了好多种移动拼图的方法,都没能把这道题做出了.几个晚上我冥思苦想,终于想到用做辅助线的方法把这个图形化解成常见的图形,然后用加减的办法找出阴影部分的面积,下面把我的做法写出来,和大家共勉.

一、作图思路

1.用四边形CEFD的面积减去扇形ECD的面积,就可得到弧面三角形EFD的面积.

2.用四边形HCDF的面积减去三角形HCM的面积再减去扇形MCD的面积,剩下的就是弧面三角形MFD的面积.

3.弧面三角形EFD的面积减去弧面三角形MFD的面积就是弧面三角形EFM的面积.

4.扇形EFL的面积减去弧面三角形EFM的面积再乘以2就可算出图中阴影部分的面积.

二、按照上面的解题思路,我对本道题作如下解答

已知:正方形边长为“1”.

第一步: ∵Rt△ECF ～=Rt△DCF ∴四边形CEFD的面积=FD×CD=∵在Rt△DCF 中,tan∠DCF=∴ ∠DCF ≈ 26.565°∴ ∠DCE=2∠DCF ≈53.13°∴扇形ECD的面积∴弧面三角形EFD的面积0.0366.

第三步:弧面三角形EFM=弧面三角形EFD-弧面三角MFD=0.0366-0.0219≈0.0147.

第四步: ∵ ∠EFL=90°- ∠BFE =90°-∠ECD=90°-53.13°≈ 36.87°∴扇形 ELF 的面积≈0.0804∴题目所求的阴影部分的面积=(扇形ELF的面积-弧面三角形EFM)×2=(0.0804-0.0147)×2≈0.06569×2≈0.13.

到此为止,这道题总算是解决了!

反过头来,我们再看看这道题的条件,如果让小学生做,几乎是没有办法的.除非再增加两个已知条件,那就是①∠DCF≈26.565°②∠MCT=30°.如果让已经学习了三角函数知识的初中生去做这道题,知道tan就可以利用计算器算出∠DCF≈26.565°.总而言之,这道题让只学习了圆面积和扇形面积计算的小学六年级学生去做,几乎是不可能做出来的!

由此,我再次感受到人类数学界的一些看似简单的题目,做起来却不那么容易.比如哥德巴赫猜想:“任意大于2的偶数,都可表示成两个素数之和”,看似简单,至今无人能够证明.“1+1=2”人人都知道的结论,但无法证明.这就是数学,一个神秘的学科.作为一名教师,希望我们有时间多研究一些题目,来动动自己日渐退化的脑筋.