二次函数综合复习教学设计

江苏省启东折桂中学(226200) 顾向红

二次函数综合复习教学设计

江苏省启东折桂中学(226200) 顾向红

初中数学教学中,二次函数的重要性不言而喻,鉴于中考复习时间紧迫,内容繁杂,设计出典型而又高效的案例往往是教师的首要任务.作为抛砖引玉,笔者奉上二次函数综合复习教学设计,本设计共两课时,针对城镇中学,学习基础相对较好.若用在乡村中学可适当调整.

1 知识复活

下面一段抛物线函数图像,一:你能写出它的解析式吗?你用什么方法求的?和大家分享一下,说出你的理由?

(2)补全函数图像,说出他的性质?什么时候y＞0,Y＜0?

教学目标:掌握二次函数的表达式,体会二次函数的意义.

图1

设计意图:通过熟悉的基础题帮助学生建立简单的知识结构,呈现方式清新自然,不陌生,已接受,好生成,易发展.

2 经典再现

(2016达州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a/=0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:1

图2

①abc＞0

②4a+2b+c＞0

③4ac-b2＜8a

⑤b＞c.

其中含所有正确结论的选项是( )

A.①③B.①③④

C.②④⑤D.①③④⑤

教学目标:会用数表、图像和表达式三种表示方法来表示二次函数,并会相互转化;会画二次函数.

设计意图:考察学生对函数图像性质的理解.主要针对问题有:如何选择适当的抛物线以简化计算.如何将交点B在(0,-2)和(0,-1)之间转化为代数式.

3 求解析式

(2016无锡)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a＞0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:PD=2:3

图3

图4

教学目标:利用二次函数的图像解决问题,体会数形结合的数学方法.

设计意图:让学生熟悉数形结合法解题,能把几何点的意义(A,B,P)用代数坐标等价表述,解题思路略述:(1)由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1,过点P作PE⊥x轴于点E,所以OE:EB=CP:PD;

(2)过点C作CF⊥BD于点F,交PE于点G,构造直角三角形CDF,利用tan∠PDB=即可求出FD,由于

(1)求A、B两点的坐标;△CPG～△CDF,所以可求出PG的长度,进而求出a的值,最后将A(或B)的坐标代入解析式即可求出c的值.

4 经典求面积问题

y=x2-2x-3于x轴交于AB两点,与y轴交于C点,对称轴交抛物线于点D,求OCDA的面积?P在AC下方抛物线的点求三角形ACP的面积?P若在BC段抛物线上的点上求面积S△BCP?

变式一:求何时P到AC距离最大?

变式二:P在x轴下方的抛物线,三角形PAC面积取何值有两点,三点,四点?

变式三: p在抛物线上何时S△ABP=S△ABC,S△ABP=2S△ABC

图5

图6

图7

教学目标:通过利用二次函数的图像解决问题,体会数形结合的数学方法;树立主动参与积极探索尝试、猜想和发现的精神.

设计意图:通过第一个求梯形面积诠释求面积通解方法,放入梯形通过适当的割补解决问题,同时把握核心思想割补化成直底,引入多种解法.通过合成题目进一步巩固函数性质如何看图像,利用函数建模及分类讨论思想渗入其中.

5 动态图像问题组

(2015•常州)已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x＞1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是( )

A.m=-1 B.m=3

C.m≤-1 D.m≥-1

(2014淄博)已知二次函数y=a(x-h)2+k(a＞0)其图像过点(0,2)(8,3)则h的值可以是?

A.6 B. 5 C.4 D. 3

(2014嘉兴)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(xm)2+m2+1有最大值4,则实数m的值?

教学目标:逐步体会和认识二次函数;体会从特殊函数到一般函数的过渡,注意找函数之间的联系和区别.

设计意图:这是有梯度学习型的题组,针对学生对动态的图像本身的认识较为肤浅的问题,便于学生的自然理解和逐渐领悟,完成一个从静态到动态,单纯到复合的知识体系,促使知识模块化.

6 二次函数实际应用

(2016•福建龙岩)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:

___销售量n(件)n=50-x___________销售单价m(元/件)__当1≤x≤20时,m=20+1 2x__当21≤x≤30时,m=10+420 x__

(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?

(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;

(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?

教学目标: 利用二次函数的图像和性质解决相关实际问题,灵活应用二次函数.

设计意图:考察学生对二次函数的应用;一元一次不等式的应用,同时也考察学生计算能力.

解:(1)分两种情况

经检验x=28是方程的解∴x=28

答:第10天或第28天时该商品为25元/件.

(2)分两种情况

7 课后作业

(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图8所示,且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|,则P,Q的大小关系是___.

(2)(2014嘉兴)当-2≤ x≤ 1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,球实数m的值?

(3)(2015•天津)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).

(I)当b=2,c=-3时,求二次函数的最小值;

(II)当c=5时,若在函数值y=l的怙况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;

(III)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.

解: (I)当b=2,c=-3时,二次函数的解析式为y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴当x=-1时,二次函数取得最小值-4;

(II)当c=5时,二次函数的解析式为y=x2+bx+5,由题意得,x2+bx+5=1有两个相等是实数根,∴△ =b2-16=0,解得,b1=4,b2=-4,∴次函数的解析式y=x2+4x+5,y=x2-4x+5;

(III)当c=b2时,二次函数解析式为y=x2+bx+b2,图象开口向上,对称轴为直线

图9

(4)如图,抛物线y=ax2+bx-5(a/=0)经过点A(4,-5),与x轴的负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=5OB,抛物线的顶点为点D.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)联结 AB、BC、CD、DA,求四边形ABCD的面积;

(3)如果点E在y轴的正半轴上,且∠BEO=∠ABC,求点E的坐标.

图10

解: (1)∵ 抛 物 线 y =ax2+bx-5与y轴交于点C,∴ C(0,-5),∴ OC = 5.∵OC=5OB,∴OB=1,又点B在x轴的负半轴上,∴ B(-1,0).∵抛物线经过点A(4,-5)和点B(-1,0),∴,解得,∴这条抛物线的表达式为y=x2-4x-5.

(2)由y=x2-4x-5,得顶点D的坐标为(2,-9).连接AC,∵点A的坐标是(4,-5),点C的坐标是(0,-5),又 S△ABC=×4×5=10,S△ACD=×4×4=8,∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18.(3)过点C作CH⊥AB,垂足为点H.∵S△ABC=×AB×CH=10,AB=,∴ CH=在 Rt△BCH中,∠BHC=90°,BC=3,∴ tan∠CBH=.∵ 在 Rt△BOE 中,∠BOE=90°,tan∠BEO=∵ ∠BEO= ∠ABC,得,∴点E的坐标为

(5)(2016•湖北随州•9分)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:元/件),每天的销售量为p(单位:件),每天的销售利润为w(单位:元).

____时间x(天)1____30___60__90__每天销售量p(件)___198__140__80__20_

(1)求出w与x的函数关系式;

(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;

(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?请直接写出结果.

二次函数的应用;一元一次不等式的应用.

解: (1)当0≤ x≤ 50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k/=0),∵ y=kx+b经过点 (0,40)、(50,90),∴解得:,∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;当50＜x≤90时,∴售价y与时间x的函数关系式为y=.由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m/=0),∵p=mx+n 过点 (60,80)、(30,140),∴解得:且 x为整数),当 0≤ x≤ 50时,w=(y-30)·p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000;当50＜x≤90时,w=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000.综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是

(2)当0≤x≤50时,w=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,∵a=-2＜0且0≤x≤50,∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.当50＜x≤90时,w=-120x+12000,∵k=-120＜0,w随x增大而减小,∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.∵6050＞6000,∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元.

(3)当0≤ x≤ 50时,令w=-2x2+180x+2000≥5600,即-2x2+180x-3600≥ 0,解得:30≤ x≤ 50,50-30+1=21(天);当50 ＜ x ≤ 90时,令w=-120x+12000≥ 5600,即-120x+6400≥ 0,解得:50＜x≤53,∵x为整数,∴50＜x≤53,53-50=3(天).综上可知:21+3=24(天),故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.