刍议初中数学开放题的编制

鲍露露

[摘 要] 本文将开放题按要素进行分类，整合相关具体题目，从四个类别详细阐述开放题的编制方法，以及平时课堂中教师对习题的改编策略，期望能够启发和帮助广大教师更好地教学.

[关键词] 开放题；初中；数学

开放题是相对于封闭题而言的，是指题目中的条件或结论不完全确定的题目. 近些年，在各地的中考题中都有开放题的影子，对学生而言，数学开放题有利于调动学生的学习兴趣，发展各方面的思维能力；对教师而言，教师应精于开放题的研究，学习开放题的编制策略，这样既可以帮助学生从容应对中考，更能培养学生的数学思考能力、解题能力. 下面采用戴再平的分类方法，按命题要素分为条件開放题、策略开放题、结论开放题、综合开放题，给出四种教师可以借鉴的开放题编制方法.

条件开放题

题目中的条件没有给出或者部分给出，结论是固定的，要求学生从不同角度尝试寻找使结论成立的条件，有利于培养学生思维的敏捷性以及主动分析问题、解决问题的能力.

案例1 已知3×3的网格图都是由9个相同的小正方形组成的，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影（如图1～图3），请在余下的6个空白小正方形中按下列要求涂上阴影：

（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；

（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；

（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.

（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）

这道题是2016宁波中考第20题，既是一道条件开放题，又是一道设计题. 作为一道中考题，首先答案具备规范性，便于批卷老师评分，也符合学生的最近发展区，能够让学生从多个角度探索问题. 本题考查学生对轴对称图形和中心对称图形的认识，学生平常接触到的题目往往是判断一个图形是否是轴对称图形、中心对称图形，此题反向出题，让学生自己去构造出满足条件的图形，更能考查学生的探索创新能力. 题目的要求是使阴影部分成为一个满足条件的图形，学生可采用枚举法在空白处依次涂阴影来判断. 由于题目要求“只需画出符合条件的一种情形”，因此学生考虑的不全面也不会影响此题的答案. 但如果将此题进行变式，改为“符合条件的画法共有几种”或“将所有画法全部画出”，则对学生要求较高，需要学生思维全面. 作为教师，在对开放题进行讲解以后，若进行恰当的变式，更能充分发挥开放题的用处，以拓展学生的思维能力.

结论开放题

结论作为未知要素，题目的条件是固定的，要求学生在已知条件下探索结论的多样性，能够培养学生对所学基本知识的应用能力以及发散思维，这也是中考中出现频率较高的一类开放题，经常出现在填空题中，有多种答案可供学生选择.

案例2 存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图像经过点（1，1）；②当x>0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.

本题来自一道中考真题的改编，让学生写出三个分别满足条件的函数解析式，答案不唯一，重点在于学生能否把握这三个函数的特点. 要使得x>0时，y随x的增大而减小，那么学生要知道一次函数必须满足条件k<0，再代入点（1，1），求出满足条件的b即可，满足条件的一次函数有无限个. 反比例函数的表达式是y=，首先，当k>0时y随x的增大而减小，又需经过（1，1），则k=1，满足条件的反比例函数只有一个. 二次函数的一般表达式是y=ax2+bx+c，需满足a<0且对称轴x=-≤0两个条件，即a<0，b≤0， 答案也有无限个，学生若能把握函数满足条件的本质，题目的解答便一击即破.

本题的原题是只要写出一个满足条件的任意函数即可，难度较低，学生容易想到一次函数或反比例函数，写出一个二次函数具有一定的挑战性. 但在此基础上，还可以进行变式，教师可以启发学生想出更多满足条件的函数，既可以启发思维又可以在一道题目中回顾旧知，达到一道开放题应有的作用.

策略开放题

解题的策略和方法是未知要素，题目的条件和结论固定，要求学生根据题目给出的信息，找出切合题意的多种解题策略，有利于帮助学生从多角度探索不同的解题方法，使学生发现和创造，培养学生思维的发散性和灵活性.

案例3 用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”. 如图4，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，求证：∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

证法1：因为___________，

所以∠BAE+∠1 +∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1 +∠2+∠3）.

因为___________，

所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.

这道题是2016南京中考第21题，作为一个大题，开放题出现的频率是较低的，此题给出了一种证明方法，先让学生补充完整，再给出另一种证法. 其中证法1采用的是平角为180°，结合三角形的内角和为180°进行证明，此外，可以考虑三角形外角与内角的关系，即∠BAE，∠CBF，∠ACD可以分别看作∠2+∠3，∠1+∠3，∠1+∠2，转化成内角和. 还可以过点A作BD的平行线AG（图5），通过平行线的性质得到∠CBF=∠GAB，∠ACD=∠EAG，因为∠BAE+∠GAB+∠EAG=360°，所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

对于策略开放题，要求给出多种解题策略，教师若能在平常的上课和作业讲解中就有意识地发展学生一题多解，那么学生遇到此类问题时就能得心应手地从各个方面入手给出解答，这对学生发散思维能力的培养大有裨益.

综合开放题

只给出一定的情境，题目的条件、结论和解题策略都需要学生自行设定和寻找，这是四种开放题中开放性最强的一种，对学生的考查更具综合性，能促使学生综合地运用已有知识进行分析，有利于训练学生思维的深刻性.

案例4 请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图6所示的函数关系，要求：

（1）指出变量x和y的含义；

（2）利用图6中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需涉及“速度”这个量.

本题是2012年南京中考题第23题，题目给出一个函数图像，让学生自己创造符合题意的故事情境，考查学生的迁移能力. 题目也给出了提示，涉及“速度”，学生很容易想到路程、时间、速度之间的关系. 综合开放题往往具有设计性，把题目的主动权交给学生，让学生来做出题人，以此达到锻炼学生应用能力的目的. 教师在平常上课时可以随时穿插让学生出题的情境，让学生感受自己出题的乐趣，这会让学生对数学题目的应用性有更深层次的理解.

除了上述详细阐述的四种开放题分类之外，教师应了解各种开放题的编制方法，并灵活运用，更要细心对待各类习题，因为稍作变式就可能变成一道能够考查和提升学生能力的开放题. 在课堂上探讨开放题时，教师也要注意开放度适中，便于起到引导、把握课堂节奏的目的，让开放题发挥其应有功能，开拓学生的创新能力和思维能力.