发展灵动深刻与锐意创新的思维品质

白雪峰

[摘 要] 本文从“一题多解”和“一题多变”两个方面阐述了平面几何教学与研究的基本方式. 前者强调在多解过程中，综合调用几何知识，灵活运用多种数学思想方法解决问题；后者关注基于问题的遗传不变性和变异性，进行变式拓展研究. 二者紧密联系，相辅相成，相互促进，都聚焦于学生“四能”提升、创新意识增强以及数学核心素养的培养.

[关键词] 灵动深刻；锐利创新；思维品质；探究历程

“一题多解”和“一题多变”两个方面阐述了平面几何教学与研究的基本方式. “一题多解”强调的是在多解过程中，在综合调用几何知识的基础上，灵活运用多种数学思想方法解决数学问题的过程；“一题多变”则关注的是对能够保持“遗传不变性”和发生“遗传变异性”的问题开展深入探究，进行变式和拓展的研究过程. 二者紧密联系，相辅相成，相互促进，都聚焦于学生“四能”提升、创新意识增强以及数学核心素养的培养. 下面就以一道平面几何试题的研究为例，谈谈这方面的思考与实践.

试题呈现

试题 如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F，求证：EC=2OF.

探究多解历程回顾

为使多解过程更为简洁，证明方法更加突出，笔者将多次证明中都需要用到的条件先行证明，避免在多解过程中反复赘述.

如图1，在正方形ABCD中，

因为对角线AC，BD相交于点O，

所以有AB=BC=CD=AD，（Ⅰ）

AB∥DC， AD∥BC，（Ⅱ）

AO⊥BD，AO=OC，即点O为AC的中点，（Ⅲ）

△AOB和△BCO为等腰直角三角形. （Ⅳ）

因为AE为∠BAC的平分线，

所以∠1=∠2. （Ⅴ）

因为∠3=∠1+∠4，∠5=∠2+∠6，

又∠4=∠6=45°，

所以∠3=∠5. （Ⅵ）

所以BE=BF. （Ⅶ）

说明 （1）以上结论（Ⅰ）至（Ⅶ）将在下面的证明中直接使用；（2）欲证EC=2OF，可证=或=2，这样的变形处理可以使证明思路更为开阔.

方法1 （直接折半法）如图2，取EC的中点G，连接OG，因为AO=OC，CG=EG，所以OG∥AE. 所以==1. 所以OF=EG=EC. 所以EC=2OF.

方法2 （间接折半法）如图3，取AE的中点G，连接OG，则OG=EC且OG∥EC①. 因为OG∥BE，所以∠5=∠8. 又∠3=∠7，注意到∠3=∠5，所以∠7=∠8. 所以OG=OF②. 由①②可知EC=2OF.

方法3 （直接加倍法）如图4，在OD上截取OG=OF，连接GC. 因为AO=OC，OF=OG，∠AOF=∠COG，所以△AOF≌△COG. 所以∠FAO=∠GCO. 所以AE∥CG. 所以∠3=∠9，∠5=∠10. 注意到∠3=∠5，所以∠9=∠10. 所以BG=BC. 又因为BF=BE，所以EC=FG. 所以EC=2OF.

方法4 （间接加倍法）如图5，过点C作CG∥OF交AE的延长线于点G，因为AO=OC，所以AF=FG，OF=CG. 因为BF∥CG，所以∠3=∠CGE. 又∠3=∠5，∠5=∠CEG，所以∠CGE=∠CEG. 所以CG=CE. 所以EC=2OF.

方法5 （平行相似法）如图6，过点B作BG∥AC，与AE的延长线交于点G，则==，=. 所以=. 因为BE=BF，所以EC=2OF.

方法6 （平行相似法）如图7，过点B作BG∥AE，与CA的延长线交于点G，则==，=. 所以=. 因为BE=BF，所以EC=2OF.

方法7 （平行相似法）如图8，过点O，B，C分别向直线AE作垂线，垂足分别为G，H，K，则有OG∥HB∥CK. 所以=①，=②，==③. 由BE=BF以及①②可得=，即=④. 由③④可得=，所以EC=2OF.

说明 上述七种证明方法，从本质上说都是作“辅助平行线”. 其中，前四种证法都用到了中位线定理或其逆定理，学生对此比较熟悉，而后三种证明方法则都采用了“平行相似法”，同时，需要学生观察到两次或三次三角形相似. 如果从另一种方向进行思考，可以看出其中的第5和第6 两种方法都是证明著名的梅涅劳斯定理的方法，下面我们直接利用该定理证明这个问题.

方法8 （应用梅涅劳斯定理）如图9，△OBC被直线EFA所截，由梅涅劳斯定理得··=1. 因为BE=BF，CA=2AO，所以EC=2OF.

说明 方法8应用梅涅劳斯定理证明上述问题，可以不必添加任何辅助线，由一个式子便达到证明目标，过程简单明了，在推广过程中，为了减少篇幅，笔者就采用梅涅劳斯定理证法.

方法9 （应用等腰三角形）如圖10，过点A作AG∥DB，交CB的延长线于点G，则有四边形AGBD为平行四边形. 所以AG=BD=AC， GB=AD=BC，∠GAE=∠3. 注意到∠3=∠5，所以∠GAE=∠5. 所以GA=GE. 又GA=AC=2AO=2OB=2OF+2FB，GE=GB+BE=BC+BE=BE+EC+BE=2BE+EC，BF=BE，所以EC=2OF.

说明 在方法9中，应用△GAE为等腰三角形，GA=GE，然后利用线段的等量代换得到结论，由此我们又可以想到一种证明方法.

方法10 （应用等腰三角形）如图11，因为AD∥BC，所以∠5=∠DAF. 又∠3=∠DFA，∠5=∠3，所以∠DAF=∠DFA. 所以DA=DF. 因为DA=BC=BE+EC，DF=DO+FO=OB+OF=OF+BF+OF=2OF+BF，又BE=BF，所以EC=2OF.

方法11 （应用角平分线的性质定理）如图12，延长AE，DC交于点G，因为∠1=∠2，∠1=∠G，所以∠2=∠G. 所以AC=CG. 又∠AOF=∠ECG=90°，所以Rt△AOF∽Rt△GCE. 所以===. 所以EC=2OF.

方法12 （应用角平分线的性质定理）如图13，过点E作EG⊥AC于点G，因为AE为∠BAC的平分线，易证Rt△ABE≌Rt△AGE，所以AG=AB=AO. 又EG∥FO，所以==，EG=OF. 又因为∠DBC=∠GEC=∠GCE=45°，所以EC=EG=·OF=2OF.

方法13 （应用角平分线的性质定理）如图14，过点F作FP⊥AB于点P，延长PF交AC于点Q，则有PQ∥BC，FP=FO. 易证Rt△FPB≌Rt△FOQ，所以FB=FQ=BE. 因为PQ∥BC，所以=，=. 所以=，即=. 所以BE2=EC·OF①. 因为∠ABD=45°，所以Rt△BPF是等腰直角三角形. 所以BF2=PB2+PF2=2PF2=2OF 2 ②. 由①②可得2OF 2=EC·OF，所以EC=2OF.

方法14 （应用角平分线的性质定理）如图15，在△ABO中，AF为∠BAO的平分线，所以=①. 在△ABC中，AE为∠BAC的平分线，所以==②. 由①②得=. 因为BE=BF，所以EC=2OF.

点评 在以上14种证明方法中，有三种没有添加任何辅助线而证得结论，而这三种方法又都比较简便. 认真观察图形，分析图形特征，力争不用添加辅助线进行证明，这样的证明方法往往比较优雅.

探究原几何题的变化历程

在原题中，AE为∠BAC的平分线，我们分裂AE得到∠BAC的等角线，即点E1，E2在BC上，且∠BAE1=∠CAE2 . 用這种方法来拓展原问题，得到具有保持遗传不变性的结论，也会得到发生遗传变异性的结论.

拓展1 如图16，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E1，E2在BC上，且∠BAE1=∠CAE2，AE1，AE2分别与BO交于点F1和点F2 .

求证：（1）E1C·E2C=4OF1·OF2；

（2）+≥1.

证明 如图16，因为∠AOF2=∠ABE1=90°，∠BAE1=∠CAE2，所以∠AF2D=∠AE1B. 因为∠AF2O=∠F1F2E2，所以∠AE1B=∠F1F2E2 . 所以F1，E1，E2，F2四点共圆. 所以BE1·BE2=BF1·BF2 .

（1）△OBC被直线E1F1A所截，由梅涅劳斯定理可得··=1，所以=①. 同理，△OBC被直线E2F2A所截，由梅涅劳斯定理可得··=1，所以=②. 由①×②可得4==1，所以E1C·E2C=4OF1·OF2 . 当等角线AE1，AE2重合为∠BAC的平分线AE（点F1与点F2重合为点F）时，EC2=4OF 2，即EC=2OF.

（2）由①+②可得2+=+=≥==2，所以+≥1，当且仅当∠BAC的内等角线重合为它的平分线时取“=”.

当∠BAC的平分线分裂为它的外等角线时，图形变化奇异，得到下面的问题.

拓展2 如图17，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E1，E2在CB，BC的延长线上，且∠BAE1=∠CAE2，直线AE1与DB的延长线交于点F1，直线AE2与DB交于点F2.

求证：（1）E1C·E2C=4OF1·OF2；

（2）+≥1.

参照拓展1的证明，有兴趣的读者可以尝试证明，这里不再赘述.