巧解考题 源于“构造”

陕西省西安市临潼区马额中学(710609) 童永奇

巧解考题 源于“构造”

陕西省西安市临潼区马额中学(710609) 童永奇

求解有关解析几何问题时,若能灵活地构造“直线”或“圆”,从直线与圆、圆与圆的位置关系出发去寻找解题的突破口,则往往能够给出简捷、明了的解答,让人耳目一新.

类型一、构造“直线”和“圆”,借助直线与圆有公共点,巧求值

一般地,设d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径,则直线与圆有公共点(即相切或相交)⇐⇒d≤r.灵活运用这一结论,可顺利解决许多貌似与直线和圆无关的数学问题,往往巧妙之极,真的令人拍案叫绝!

1.从方程的几何意义出发,构造直线和圆,巧求最值

例1(2014·浙江卷)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是____．

评注本题考虑直线方程ax+by+c=0和圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2的外在结构特征,我们很容易想到利用已知方程的几何意义,去构造直线和圆,巧解题.

2.将变量看作常量,构造直线和圆,巧求值

点拨本题具有一定的难度,上述求解的关键在于两点:一是将习惯上的变量看作“常量”加以灵活处理;二是构建不等式,将“不等”转化为“相等”.

3.以“换元”为切入点,构造直线和圆,巧求最值

例3(2011·浙江卷)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是____.

评注借助配方变形,利用换元策略,有利于将不熟悉的问题转化为熟悉的问题,值得品味、深思.

类型二、构造“圆”,借助公切线,巧求直线的条数

明确两圆的位置关系,利用“数形结合思想”易知公切线的条数,活用之,可迅速求解有关涉及直线的条数问题.

例4(2004·全国卷II)在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

解析以点A为圆心,以1为半径构造圆A:(x−1)2+(y−2)2=1;以点B为圆心,以2为半径构造圆B: (x−3)2+(y−1)2=4.因为所以圆A与圆B相交,从而两圆的公切线(只有2条外公切线)都是适合题意的直线.故选B.

评注一般地,在坐标平面内,与点P的距离为d1,且与点Q的距离为d2的直线的条数如下:若|PQ|＞d1+d2,则共有4条;若|PQ|=d1+d2,则共有3条;若|d1−d2|＜|PQ|＜d1+d2,则共有2条;若|PQ|=|d1−d2|(d1≠d2),则共有1条.

类型三、构造“圆”,借助公共弦,巧求直线的方程

一般地,若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0.

例5(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )

A.x+y−3=0 B.2x−y−3=0

C.4x−y−3=0 D.4x+y−3=0

解析设点P的坐标为(3,1),圆心为点C,则由题设知P,A,C,B四点共圆,且以线段PC为直径,于是可求得该圆的方程为x2+y2−4x−y+3=0.又易知两圆(已知圆和构造圆)公共弦所在直线即为直线AB,故所求直线方程为(x−1)2+y2−1−(x2+y2−4x−y+3)=0,即2x+y−3=0.故选A.

评注依据该思路,作一般性分析,可得如下规律:若定点P(x0,y0)在圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2的外部,过点P作圆的两条切线,切点分别记作A,B,则直线AB的方程为(x−a)(x0−a)+(y−b)(y0−b)=r2.

类型四、构造“圆”,借助两圆相交,巧求参数的取值范围

一般地,设圆C1,C2的半径分别为r1,r2,则两圆相交⇐⇒|r1−r2|＜|C1C2|＜r1+r2.

例6 (2013·江苏卷第17题变式题)如果圆(x−a)2+ (y−a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是____.

评注本题求解的关键在于,依据题意先构造圆,再等价转化题设条件,进而建立含参数的不等式.

类型五、构造“圆”,借助两圆有公共点,巧求参数的取值范围

一般地,设圆C1,C2的半径分别为r1,r2,则两圆有公共点(即两圆相交或相切)⇐⇒|r1−r2|≤|C1C1|≤r1+r2.

例7 (2013·江苏卷第17题改编)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,−2),直线l:y=2x−4．设圆C的半径为1,圆心在直线l上．若圆C上存在点M,使|MA|2+|MO|2=10,求圆心C的横坐标a的取值范围．

解析因为圆心在直线y=2x−4上,所以圆心C的坐标为(a,2a−4)．设点M(x,y),因为|MA|2+|MO|2=10,所以x2+(y+2)2+x2+y2=10,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,−1)为圆心,2为半径的圆上．又点M在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2−1|≤|CD|≤2+1,即故所求点C的横坐标的取值范围为

评注上述求解的关键在于利用方程x2+(y+1)2=4表示的几何意义转化、整合题设条件,并根据两圆有公共点的充要条件建立关于参数a的不等式.

综上,关注“构造思想”在解题中的灵活运用,有利于等价转化目标问题,有利于从解析几何角度看透问题的本质,进一步加深理解与认识,且学且悟!