对多边形对角线条数的探究

吴桂红

初中数学的几何知识学习中，探索多边形的对角线条数公式的过程是个难点，但它也是初中学生学习数学的重要基础。

北师大版七年级上册第四章第五节多边形和圆的初步认识的教学中，不仅要求学生掌握多边形的对角线概念，还要会求多边形的对角线的条数。笔者在教授这节课时运用了两种方法来探索多边形的对角线条数公式，学生接受的也不错。

在探索多边形的对角线条数公式之前，应该先把对角线的概念讲清楚，否则学生后面探索对角线条数时会很难理解。笔者探索多边形的对角线条数公式用的主要思想是探索规律，因为在学这章之前的第三章最后一节课刚好是学习探索规律，这样的方法他们比较容易接受，也更有利于巩固复习旧知识。

第一种方法：先探索过多边形的每个顶点的对角线条数，再分析出n边形的对角线条数公式。

让学生们合作探究

过多边形的每一个顶点

有几条对角线。

让学生分别作出上面图形经过顶点A的所有对角线，然后数数对角线条数并填入下表。

学生由画图很容易就能得出边数是4、5、6的多边形的对角线条数分别是1、2、3，于是根据表格数据探索规律就能观察出n边形的每一个顶点有（n-3）条对角线。其实这里还可以问下学生为什么过n边形的每一个顶点有（n-3）条？根据对角线的概念，知道多边形的对角线是不相邻的两个点之间的连线。而n边形的每一个顶点除了该顶点本身和两个相邻的点外共有（n-3）个点不相邻，所以过该顶点有（n-3）条对角线。

由于n边形有n个顶点，根据乘法法则得共有n（n-3）条对角线，可是我们发现每两个不相邻的点连接时会重复一次，于是最后得出n边形的对角线条数公式是n-（n-3）/2。

第二种方法：先探索边数少的多边形的对角线条数，再探索规律得出n边形的对角线条数公式。

学生们很容易由上面的4、5、6边形的对角线条数分别是2、5、9，那么根据数字的特征可以观察出5=2+3，9=2+3+4，于是可以猜想7边形的对角线条数是2+3+4+5=14。所以n边形的对角线条数公式是2+3+4+5+......+（n-2），这里首项是2，尾项是n-2，项数是n-3，这里的项数对于学生不太容易看出来，老师可以提醒学生先考虑从1+2+3+……+（n-2）的项数是n-2，再得出2+3+4+……+（n-2）应该前面的少一项是（n-3）项。根据连续自然数相加的公式1/2（首项+尾项）×项数，从而得出对角线条数是2+3+4+5+……+（n-2）=（2+n-2）（n-3）/2=n（n-3）/2。

下面我们利用以上两种思路分析一道2008年浙江省中考数学题：

[2008年浙江杭州第19题]

19.（本小题满分6分）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程。

这道题的评分标准中明确规定：（如果直接利用公式： 得到20而没有思考过程， 全题只给3分），所以学生一定要明白公式怎么来的。

解：凸八边形的对角线条数应该是20。

思考一： 从凸八边形的每一个顶点出发可以作出（8-3）条对角线， 8个顶点共8×（8-3）条， 但其一条对角线对应两个顶点重复一次， 所以有条对角线，即凸八边形的对角线条数是20。

思考二： 可以通过列表归纳分析得到： 多边形 4、 5、 6 、7、 8 的对角线条数分别是 2、 2+3、 2+3+4 、2+3+4+5 、2+3+4+5+6 ，所以凸八边形的对角线条数是20。

通过思考上面的中考题，我们知道学生不仅要会用公式，还要掌握公式的推导过程，于是如何推导的过程更是学生要学会掌握的能力，而运用探索规律的方法研究一个新问题是数学学习中常用的方法，也是数学学习的重点，这个也为学生今后高中的学习打下基础。（作者单位：江西省鹰潭实验中学）