构造图形解决高考中不等式问题的例析*

扬州大学数学科学学院(225002) 茆福星 濮安山

构造图形解决高考中不等式问题的例析*

扬州大学数学科学学院(225002) 茆福星(1)濮安山(2)

不等式是高中数学的主要内容,它几乎涉及高中数学的所有领域,一直都是历年高考的热点.通过研究近几年全国的高考题,一些具有几何背景的不等式出现在全国各地的高考题中.而这些具有几何背景的不等式,通过构造图形来解决,更加简便快捷,体现了数形结合的优越性.对这类问题的分析与总结,为学生解决不等式问题增添了新途径.其巧妙灵活的方法也有利于培养学生的解决综合题目的能力和创新的思维.本文以近三年的高考题为例,分析构造图形的方法来解决某些不等式的解题策略.

一、构造平面几何图形

当不等式满足多边形的边或角之间的数量关系时,比如:三角形的任意一边大于两边之差小于两边之和;正方形的四边相等;三角形内角和180°;正方形四个角都是直角;三角形正余弦定理;勾股定理等,可以通过构造满足边或角数量关系的多边形,利用图形本身的性质解答不等式.

例1(2015,新课标全国卷II)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:

(I)若ab＞cd,则(II)略.

解当两个正数和为定值时,若两数之间的差值越小,则其乘积越大.因为ab＞cd,所有四个字母中c和d必是一个最大一个最小,不妨设c最大d最小,同理设a＞b.则有c＞a＞b＞d.由a+b=c+d知c−a=b−d,联想到勾股定理,因此作以为斜边、以为直角边的Rt△ADC,同理作以为直角边,斜边的Rt△BDC,拼成如图1的△ABC.由d＜a知AD＞BD,则在AD上取点B′,使得B′D=BD.又根据三角形三边关系得AB′+B′C＞AC,即

评析此题代数方法也可以解答,但题目给出的a+b=c+d能够联想到勾股定理,等式满足三角形边之间的数量关系,通过构造符合数量关系的三角形,从三角形的几何性质解答不等式.

二、构造两点间的距离

例2(2016,江苏)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是____.

解不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图2阴影部分.x2+y2容易联想到点(x,y)到原点距离的平方,因此以原点为起点,三角形及其内部任意一点为终点,构造线段.容易从图中得出,当(x,y)取点(2,3)时,两点距离最大为而两点最短距离即为原点到直线2x+y−2=0的距离,其是则x2+y2的取值范围为

图2

评析此题先根据不等式组在直角坐标系中画出平面区域,然后由x2+y2联想到两点之间的距离公式,构造线段,并根据线段的长短来得出结果.

三、构造直线的斜率

例3(2015,新课标全国卷I)若x,y满足约束条件则的最大值为____.

图3

解作出可行域如图3的阴影部分所示,把看成阴影部分内部及边上的任意一点与原点连线的斜率.当这条连线绕原点旋转,斜率值的大小也随之改变.构造如图3的直线,旋转直线,容易得到当直线过点(1,3)时,斜率最大为3,故的最大值为3.

评析本题中可以看出直线的斜率,根据斜率的几何性质,旋转构造的直线,得到斜率的取值范围,进而能得出斜率的最大值,得出不等式结果.

四、构造向量模型及其相关图形

向量具有代数和几何的双重身份,当不等式中能转换成向量知识来解决或者在向量知识包含不等式知识时,可以尝试构造向量模型及其相关图形,借助向量的模型和相关图形的性质,求出不等式的结果.

例4(2014,安徽,理)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足曲线区域若C∩Ω为两段分离的曲线,则( )

A. 1＜r＜R＜3 B. 1＜r＜3≤R

C.r≤1＜R＜3 D. 1＜r＜3＜R

图4

解由已知可设a=(1,0),b=(0,1),P(x,y),则曲线C={(cosθ,sinθ)|0≤θ＜2π},联想到圆,构造以原点为圆心的单位圆,即C:x2+y2=1.区域联想到圆环,构造如图4的阴影部分的圆环.如图4所示,要使C∩Ω为两段分离的曲线,只有1＜r＜R＜3.

评析根据向量关系,构造向量模型,进而构造出单位圆和圆环,从图形的位置关系得出不等式的结果.

五、构造数轴

绝对值是高中数学常见的知识点,在历年的高考中也频繁出现,当绝对值出现在不等式中,可以应用绝对值的几何意义,构造数轴等图形解答.构造数轴适合含有以下三种绝对值的不等式.

①|x−a|,其几何意义是数轴到点a的距离.②|x−a|+|x−b|,其几何意义是数轴到点a和点b的距离之和.③|x−a|−|x−b|,其几何意义是数轴到点a的距离比到点b的距离长多少或短多少.

例5(2015,山东,理)不等式|x−1|−|x−5|＜2的解集是( )

A.(−∞,4) B.(−∞,1) C.(1,4) D.(1,5)

图5

解不等式的几何意义是数轴上点到1的距离与到5的距离之差小于2,构造如图5的数轴,观察数轴有4到1的距离正好比到5的距离长2.那么比4的小的数都成立,因此不等式的解集为(−∞,4).

点评先分析含有绝对值不等式的几何意义,在数轴上准确画出图形,然后结合数轴分析解答出不等式的结果.

此外还可以构造直线、圆、立体几何等图形来解决不等式问题,但因为缺少近几年的高考题来论证,在这里无法讨论.美国数学家斯蒂恩说:如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法.构造图形能够巧妙简便地解决高中数学中某些不等式问题,对解决其它问题(例如:数列、函数)也同样适用.

[1]王亚雄,周国明.图形构造法证明不等式[J].科技信息,2011(34): 154-155

[2]张馨心,濮安山.例谈高考中含参不等式恒成立问题的解题策略[J].中学数学研究,2016(11)：14-16

[3]姚乔,濮安山.例析数形结合思想巧解高考“含参”题[J].中学数学研究,2017(2)：3-4

(1)全日制教育硕士研究生教育实习的研究—以学科教学(数学)为例(JGLX15_160).(2)江苏高校品牌专业建设工程资助项目(PPZY2015B109)