以形助数促思维 合理示图提能力

夏玉英

摘 要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考问题，通过“以形助数”或“以数解形”，使抽象问题具体化，使复杂问题简单化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合既是一种重要的思想方法，又是解决问题的有效手段。

关键词：以形助数；线段图；示意图；列提纲；数量关系；解决问题；学生思维

数形结合是借助图形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以几何图形、线段图、数轴、示意图、列表等一系列的“形”作为手段，以“数”为目的，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考问题，使得抽象思维和形象思维相结合。通过“以形助数“或“以数解形”，把复杂问题简单化，抽象问题具体化、直观化、生动化、形象化，从而起到优化解题途径的目的。它既是一种重要的思想方法，又是解决问题的有效手段。

新课程改革以来，借助图形等辅助手段来解决问题逐渐淡出了小学数学课堂教学，但以解决问题为载体的教学，对于部分审题能力、理解能力不佳的学生来说，十分有难度，所以尝试将数形结合这种数学思想方法融入新教材教学中，仍然具有十分重要的作用，数形结合仍是教师常用的重要的教学方法之一，也是学生解题非常有效的方法之一。

小学数学“解决问题”部分既是教学中的重点，也是难点。随着年级的升高，有不少数学问题的文字叙述越来越抽象，数量关系也随之变得更加复杂。如果教师一味地从题目字面意思去分析题意，用语言来表述数量关系，学生即使理解了，也只局限于会解决某个问题而难以理解和掌握。我们的数学教学不可能把所有的问题都讲全、教完，只能教学其中的一部分，怎样以少量问题为例，教会学生解决大量问题的本领，达到事半功倍的效果呢？这时，如果利用数形结合思想将题目中蕴含的抽象的数量关系以形象、直观的方式表达出来，就能有效解决很多问题，启迪学生的思维。下面笔者就结合中年级的解决问题具体谈谈如何“以形助数”，运用数形结合的思想，寻找解题途径，简化解题过程，提升解題能力。

一、借助示意图，降低难度，帮助学生提高审题能力

示意图是最原始的画图策略，是以形助数的数学思想方法中最基本的一种，具有使问题直观呈现的优点。在解决问题的过程中，如果教师能有意识地引导学生以数想形，能画图的尽量画图，把相对抽象的问题转化成示意图，借助图形，更有利于学生的审题，使数量关系明朗化。

例如，四（上）连除实际问题例4：2个书架一共放了224本书，每个书架有4层，平均每个书架每层放多少本书？教学时，笔者根据学生已有的经验指导画示意图（如图1），结合一一对应思想，突出了数形结合的思想，引导学生分别从三个方向观察示意图，从而得出三种不同的解题方法：①整体看，可以先求出一共有几层，再求问题；②纵向看，先求出一个书架4层放几本书，再求问题；以上是教材中呈现的两种常规的解题思路，结合示意图学生很容易想到：③横向看，可以先求出2个书架1层放几本书，再求问题。

又如四（上）的练习题：将5升水倒入一个圆柱形容器中，水深4厘米，如果要使水深达到16厘米，那么需要再倒多少升水？从实际的作业反馈可知，大部分学生在解决问题的时候往往延续低年级的做法，凭借直觉思维，直接列式计算：16÷4×5=20升，这时教师引导学生借助画示意图（如图2），细心审题分析，很容易发现错误所在：要使水深达到16厘米，必须要有20升水，但原来已经有5升水，所以只需在原有的基础上再倒20-5=15升水即可。

再如四年级小数报上习题：小芳与四位同学一起参加数学竞赛，四位同学的成绩分别是66分、92分、83分、79分，小芳的成绩比五人的平均成绩高8分，小芳的成绩是多少分？学生根据四位同学的成绩求出平均分：（66+92+83+79）÷4=80分，接下来无所适从，不知从哪里做起。此时如果画出示意图（如图3），便能一下明了数量之间的关系：小芳高出的8分就是四人成绩提高的总分，从而便可求出每人比原来提高了8÷4=2分，则五人的平均分就是80+2=82分，于是从图示就可得出：小芳的分数就等于五人的平均分加上高出的8分。

再如题：24名同学平均分一堆图书，后来又加了6名同学，大家重新分这些书，每人平均比原来少2本，这批图书共多少本？由于中年级学生思维的局限性，他们只限于借助相差关系、部总关系、倍数关系或份总关系等最基本的数量关系，从条件或是问题想起。对于该类题型，大多数学生束手无策，无从入手，这时教师引导学生借助示意图（如图4）审清题意：现在每人平均比原来少的2本书只是给了后来增加的6名同学，所以原来的24人一共少了24×2=48本书，这也是后来的6名同学的图书本数，题意到此审清，后面的思路基本流畅。

以上笔者列举的几个不同层次的题型都可以借助画示意图的方法把比较复杂的数学实际问题转化成图形，简明形象地找到等量关系，降低了难度，明确了解决问题的思路，逐步提高了学生的审题能力。特别是到了高年级，学习用假设法解决鸡兔同笼等类似的问题时，如果借助图形的直观与趣味，更能让学生从中体会到借助示意图能更加清楚的审清题意，从情感上来讲，也可以使学生在解决实际问题时不再感到枯燥乏味，不再成为学生最害怕教师最头疼的类型。

二、依托线段图，助力等量，帮助学生提高分析能力

小学阶段，如果说示意图还只是半具体半抽象的图形的话，那么线段图就一定属于抽象图了，它是解决问题教学中最常见、应用最广泛的一种行之有效的辅助手段，是中年级实现有效教学不可缺少的一部分。通过画线段图可以摒弃与解题无关的具体情节信息，直接指向条件与条件、条件与问题之间的数量关系，把具体的问题抽象化，从而帮助学生顺利由形象思维向抽象思维过渡，有效促进问题的解决，启迪学生思维，提高学生分析问题的能力。特别是在中年级，适时应用画线段图的方法，更能起到事半功倍的作用。

苏教版教材在三年级解决问题的策略单元中已经开始呈现线段图，只不过教材只要求学生经历用线段图表示条件和问题的过程，再让他们将原有的线段图补充完整。这时候笔者就开始有意识地、循序渐进地训练学生去画线段图，等学生已经有了一定的画线段图的基础后，再学习到“四年级下册解决问题的策略例1：小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚，两人各有邮票多少枚？”时，学生基本都能根据题意画出线段图（如图5），教师只需引导学生观察线段图并分析发现：用斩尾法去掉12枚，和小宁同样多后再平均分；或者用补少法加上12枚，和小春同样多后再平均分。这两种方式都能分别求出这两个量，特别是用移多补少法再还原的方法更凸显了画线段图的优越性，为教材第53页第10题“张宁和王晓星一共有画片86张。王晓星给张宁8张后，两人画片的张数同样多，两人原来各有画片多少张？”提供了解题的可能。

当然，对于画线段图的训练，贵在坚持，任何技能都需要量的积累，经历量变到质变的过程。要以习题为载体，目标定位是形成技能，而不是多解题。

又如题：小军看一本故事书，每天看24页，看了5天后再看8页就正好是这本书的一半，这本书有多少页？这是四年级上册的练习题，这个学段的解决问题的题型较三年级要复杂很多，且由于学生本身年龄阶段的特点，思维的长度还不够，大多数学生列式计算至24×5=120页，120+8=128页就没有下文了。这个时候，教师从学生已有的知识经验出发，通过作图，把原题中文字叙述的数量简洁明了化，利用线段图中各量的对应关系（如图6），学生一下就明白128页只是计算了整本书的一半，要再乘2才是问题的答案。教师在解决问题的过程中这样有意识地引导学生构造线段图，运用数形结合的思想，培养学生在解题过程中以形助数，自觉运用线段图，获得画线段图的基本方法和技能，能为将来高年级学习更复杂的分数应用题做好铺垫。

除了以上提到的这些问题，用画线段图的方法还能解决以后的和倍、差倍、盈亏等问题，将复杂的文字叙述转化为线段图进行分析，以形助数，渗透数形结合思想，能更有效地将题中抽象的数量关系直观形象地表示出来，降低了解题难度，达到优化解题途径的目的。

三、罗列出提纲，明朗关系，帮助学生提高抓对应量的能力

如果说示意图和线段图是以图形的形式呈现各个数量的话，那么列提纲则更能直接指向数量之间的对应关系，把信息进行简约化处理，去粗取精，使学生的思维更趋于抽象化，为高年级学习复杂的分数应用题做好前期的铺垫。教师应使之成为学生学习数学、解决数学问题的常规工具，养成思考的习惯，进一步提高学生解决问题的能力。

如题：一辆卡车，4次运面粉130袋，照这样计算，再运8次，一共可以运多少袋？对以上信息进行整理（如图7）后，中年级的学生一般是左右观察，根据以上两个条件求出每一次运送的袋数，而对于130÷4，四年级的学生只会有余数的除法，不会用分数表示，所以这时教师可以引导学生对以上信息进行观察并得出：8次是4次的2倍，所以8次运的袋数也是130的2倍，问题迎刃而解，为后面高年级学习分数应用题找量率对应关系做好铺垫。

如：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了20千米，这时距离中间还有，这条路全程多少千米？求解这类题的关键是找单位“1”，然后找到量和量所对应的分率，但学生在理解稍复杂的题目时有困难，不清楚距离中间还有六分之一是指谁是谁的六分之一，即单位“1”是谁，所以很多学生通常列算式：20÷（1-）。怎样让学生更明白题意，找到量率的对应关系呢？其实在理解题意的基础上完全可以通过列提纲的办法把问题从提纲中反映出来。通过左右观察分析数量关系，把具体数量与分率的对应关系正确地表示出来（如图8），求出单位“1”（即路程的一半），解决问题也就完成了一半，这样远比单纯地看题分析解题思路要容易得多。

四、合理化示图，简化思维，提高学生灵活解题的能力

画图的目的在于让学生经历画图描述和分析问题的过程，感受图形直观在描述和分析问题过程中的作用，发展几何直观能力，帮助学生分析和理解题目中的数量关系，找到解决问题的思路。如果学生看了题目就能理解题意，可能不需要画图，但当题中数量关系相对复杂时，采用合理的示图方式能便于学生理解和分析问题。如教材四（上）思考题：用一个杯子向空水壶里倒水，如果倒入3杯水，连壶重740克，如果倒入五杯水，连壶重980克，每杯水重多少克？在实际教学中，笔者只画了如图9所示的示意图，对于一些理解能力较好的学生来说，找到题中的对应关系并非难事，但对于一小部分理解能力较差的学生来说，仍不能马上找出题中的等量关系。后来笔者把示意图重新进行了调整（如图10），从图示中很容易看出980-740=240克，这个相差的量就是2杯水的重量，找出题中的关键点后，后面的问题就能迎刃而解了。

运用画线段图的手段确实能简明扼要地反映题中的数量关系，使思维更加清晰，不过在教学过程中，教师也要根据题中不同的数量关系灵活采用不同形式的画法。例如四下教材第54页第11题：甲、乙两地相距495千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了3小时，剩下的路程比已经行的多45千米，这辆汽车的平均速度是多少千米/时？教材是按事情发展的顺序用一条线段表示了已行的和剩下的两部分（图11左），画这样的线段图对于部分学生来说，仍然很难找到解题的思路，如果改为右图，用两条线段分别表示已行的和剩下的，强调比较的方式，学生可以直观地看到“已行的”增加一部分或“还剩的”减少一部分就能使两个数量变得相等，进而更容易获得解题方法。

又如四（上）数学报习题：（年龄问题）老师对小亮说：“我像你那么大时，你才1岁。”小亮说：“我长到您这么大时，您已经43岁了。”你知道小亮和老师现在各是多少岁吗？此类较复杂的年龄问题，如果采用多线式线段图（如图12）来表示数量关系，对于学生来说，解题仍有一定困难，这就需要教师灵活采用符合学生理解水平的线段图，把本题改为单线式线段图（如图13）帮助学生分析。通过线段图，我们清晰地看到43岁与1岁之间整整有三个年龄差，即用（43-1）÷（4-1）=12岁就能求出两人的一个年龄差，那么现在小亮的年龄就是1+12=13岁，现在老师的年龄就是13+12=25岁。

再如四下（如图14）：下面的长方形被分成两部分，已知阴影部分的面积比空白部分的面积大20平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米。题中的示意图不能清楚地表示出这两个量之间的相差关系，但如果转化成线段图，学生很容易就能找到解题的共性，拓展思维，使问题得以顺利解决。

应该说，这样的问题对于学生领悟画图对分析和解决问题的价值是有很好的促进作用的。再如：小林用压岁钱的一半买了一个语言复读机，又用余下的钱的一半多2元买了几本课外书，这时还剩下148元，小林一共有多少压岁钱？此类题型可以通过画图理清题意后再用列提纲的方法来表示压岁钱的变化过程（如图15），即由数转化为形，再从形转化成数。数与形的结合，明确显示出已知与未知的内在联系，激活了学生的解题思路，这是以形助数运用的极致，实现了形象思维与抽象思维的互补。如果针对该类题型采用列提纲法，则对以后高年级学习分数应用题起到不可估量的作用。

从以上几个例子可以得出，我们在中年级的教学中有意识地培养学生合理画图，能让学生充分感受到合理示图利于理清关系，灵活解决问题，提升能力。

五、拾补

上面笔者就中年级出现的题型借助画线段图、示意图或列提纲的方法，巧妙应用数形结合的思想，把抽象的语言转化位具体形象的图形，化难为易、化繁为简，快速解决实际问题，发展了学生的思维。数形结合不仅是一种重要的思想方法，更是中年级解決实际问题的有效手段与方法，虽然此思想在教材中并未明确指出，但对学生今后数学学习和知识的应用有深远的影响。当然，除了以形助数，到了高年级还可以由数思形，如对之类的计算也完全可以用画正方形的办法来解决，真正做到数形转化。特别是在新课程改革背景下，教师更应将此思想贯穿其中，正如美国数学家斯蒂恩所说：如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。