品味三角函数的应用

周沁人

摘 要：三角函数在实际问题中主要涉及与物理知识相结合，与简谐运动相结合，与实际生活相结合等，关键是掌握正弦型函数的性质就可解决问题.

关键词：三角函数；解析式；实际；拟合函数

利用三角函数解决实际问题基本步骤是：（1）审题：读懂题目中的“文字、图形、符号”等语言，领悟其数学本质；（2）建立三角函数模型：根据审题所得到的信息，可把实际问题抽象成数学问题，建立三角函数式或三角函数方程或有关三角函数的不等式；（3）解决三角函数模型：可根据所学习的三角函数知识解决建立的模型问题；（4）作出结论：根据对模型问题的解答，将答案根据实际问题来作出相应的结论.我们这里一般常用函数y=Asin（ωx-φ）+b来刻画实际问题，在解决三角函数的实际问题时，要注意自变量x的取值范围；要数形结合，要能选择适当的三角函数模型.

品味一：依据实际问题的图像求解析式

知识点 根据函数图像，由函数图像确定解析式中的未知量，主要针对的是物理问题的考查.

例1 已知电流I（A）与时间t（s）的关系为I=Asin（ωt+φ），（1）图1是I=Asin（ωt+φ）ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像，根据图像中的数据求I=Asin（ωt+φ）的解析式；（2）若t在任意一段1150s的时间内，电流I=Asin（ωt+φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

分析 本题的函数模型是已知的，可利用待定系数法求出解析式中的未知参数，再确定函数解析式.

解 （1）由图1知道A=300，设t1=-1900，t2=1180，则周期T=2（t2-t1）=2×1180+1900=175.

则得到ω=2πT=150π.

又当t=1180时，I=0，即sin150π·1180+φ=0，而|φ|<π2，得到φ=π6，则所求的解析式为I=300sin（150πt+π6）.

（2）根据题意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），因此ω≥300π>942.

又ω∈N*，则所求ω的最小正整数值是943.

评注 这类问题的关键是将图形语言转化为符号语言，抓住图像是解决问题的关键.

品味二：利用解析式求解实际问题

知识点 已知实际问题的解析式解决相关问题，则比较容易解决，只要根据函数表达式结合所提供的信息来求解.

例2 已知简谐运动f（x）=2sinπ4x+φ |φ|<π2的图像经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和φ分别是多少？

分析 本题可由周期公式求出周期T，而该函数图像过点（0，1），则可得到关于φ的关系式，再根据φ的范围求出φ的值.

解 简谐运动f（x）=2sinπ4x+φ|φ|<π2，则其运动的周期为T=2ππ4=8.

∵其图像过点（0，1），∴将点（0，1）代入函数解析式得到，2sinφ=1，也即sinφ=12.又|φ|<π2，则得到φ=π6.

综上所述，这个简谐运动的最小正周期T和φ分别为8和π6.

评注 题中给出了简谐运动的函数模型，就可以直接运用三角函数的图像与性质解决简谐运动中的有关问题.

品味三：三角函数模型的实际应用

知识点 解决三角函数的实际应用问题时要按照一般应用题的解题步骤执行：（1）要审清题意，理清问题中的等量或不等关系；（2）建立函数模型（写出三角函数解析式或三角函数方程或有关三角函数的不等式等等），将实际问题数字化；（3）利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；（4）再回到实际问题中，可根据实际问题的意义，得出实际问题的解.

例3 如图2，游乐场的摩天轮匀速运转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面405米，摩天轮的半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，则你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答以下的问题：（1）求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式；（2）当你第4次距离地面605米时，用了多少时间？

分析 根据题意可知道应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的旋转周期为12分钟，振幅是40，同时t=0时y=05，可求出函数解析式；将y=605代入函数解析式求出第一个周期所满足题意的周期，再加上周期就可得解.

解 （1）由已知可设y=405-40cosωt，t≥0，则由周期为12分钟可知道在第1个周期内当t=6分钟时到达最高点，即函数取得最大值，则805=405-40cos6ω，因此cos6ω=-1，即6ω=π，得到ω=π6，于是y=405-40cosπ6t（t≥0）.

（2）令y=405-40cosπ6t=605，则可得到cosπ6t=-12，因此在第一个周期内π6t=23π或者π6t=43π，得到t=4或t=8，也即第1次距离地面605米时用了4分钟，第2次用时8分钟，则第4次距离地面605米时，用了12+8=20分钟.

评注 在本题中抓住余弦型函数解析式，分析各个时间点，则结合解析式就可求解.

品味四：根据数据建立拟合函数

知识点 往往是由已知条件的数据进行整理，在直角坐标系中描写出相应的点（作出散点图），再观察这些点的位置关系，再用光滑曲线将这些点尽可能连接起来，然后利用图像选择适当的模型进行研究.

例4 受到日月引力，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记y=f（t），下面是该港口在某季节每天水深的数据：

通過长期观察，曲线f（t）可以近似地看作函数y=Asinωt+b的图像；（1）根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上是认为安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面距离）为65m，若该船在同一天内安全进出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港的时间）？

分析 可根据所给的数据在坐标系中作出散点图，再结合几个关键数据求出解析式，最后求解.

解 （1）根据函数图像画出散点图，如图3，则周期T=12，ω=2π12=π6，振幅A=3，b=100.

则y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）.

（2）根据题意，该船进出港时，水深应该不小于5+65=115（m），也即y=3sinπ6t+10≥115，因此sinπ6t≥12，∴2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），0≤t≤24，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈z）.

在同一天内取k=0或1，则1≤t≤5或13≤t≤17.

又函数y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）的最小值为7>65所以该船在任何时候在港内都可以停靠，因此该船一天内在港内停留时间为17-1=16（小时）.

因此该船最早在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时.

评注 实际问题的背景比较复杂，需要综合运用各学科的知识来解答.