巧构图形 妙解试题

刘成龙

摘 要：构造法是指根据题设条件或结论所具有的特征、性质，进而构造出满足条件及结论的数学模型.构造图形是构造的重要手段，在问题的转化中有积极作用.以高考中与向量有关的最值问题为例给出构造图形法的具体应用.

关键词：图形；构造；最值问题

构造法是指根据题设条件或结论所具有的特征、性质，进而构造出满足条件及结论的数学模型[1].构造法的核心是运用转化思想，进行命题转换，用产生的新方法或从新的角度解决原问题.波利亚指出：“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动.”可见，构造法在解题活动中有积极作用.

高中数学解题常用的构造方法有：构造方程、函数、图形、数列等.其中构造图形解题就是根据条件或结论中的数量关系，构造适合的图形，进而再运用相关几何性质解决问题.现以高考中与向量有关的最值（范围）问题为例说明构造图形法的应用.

类型一 构造三角形

例1 （2016年四川卷理科10题）在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是（ ）

A.434 B.494 C.37+634 D.37+2334

分析 如图1，因为|DA|=|DB|=|DC|，所以A，B，C在以D为圆心的圆上，即D为△ABC外心.由DA·DB=DB·DC，得DB·AC=0，所以DB⊥AC，同理可得DA⊥BC，DC⊥AB，所以D为△ABC垂心.所以△ABC为等边三角形.由DA·DB=|DA|·|DB|·cos120°=-12BD2=-2，得BD=2，BC=23.

延长CB到Q，使QB=BC.又B，M分别为CQ，CP中点，所以MB=12QP.故求|BM|2max，只需求（QP）max，显然当QP经过圆心A时，取得最大值.延长AD交BC边于点O，O为BC中点，且AO⊥BC，OQ=33.故（QP）max=AQ+1=AQ2+QO2+1=33+3（3）2+1=7，所以|BM|2max=（72）2=494.

评注 本题也可利用三角换元、柯西不等式等方法解答，但计算量大且运算复杂.通过构造三角形△PCQ，利用中位线定理等平面幾何知识，大大降低了运算难度.

例2 （2011年天津卷理科14题）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为.

分析 如图2，作直线l∥CD，使l与CD的距离为3.作射线BP与l交于点E，过E作直线CD的垂线，垂足为点F.

因为BC∥EF，所以△BCP∽△EFP，所以BPEP=BCEF=13，所以EP=3PB，所以PA+3PB=PA+EP=EA，所以|PA+3PB|min=|EA|min.当E，D，A三点共线时，|EA|最小值|E′A|，所以|EA|min=E′D+DA=3+2=5，故|PA+3PB|min=5.

评注 上述解答由所求表达式|PA+3PB|中的“3”引起思考，作出平行线l，目的是为了构造相似三角形，将3PB转化为向量EP，进而将PA+3PB转化为向量EA，再求|EA|min即可.

类型二 构造四边形

例3 （2013年浙江卷理科17题）设e→1，e→2为单位向量，非零向量b→=xe→1+ye→2，x，y∈R，若e→1，e→2的夹角为π6，则|x||b→|的最大值等于.

分析 设OE=e→1，OF=e→2，

（1）当x>0，y>0时，如图3，设OA=xe→1，OB=ye→2，以OA，OB为邻边构造平行四边形OACB，则b→=OC.在△OAC中，设∠OCA=θ（0°<θ<30°），则由正弦定理知|OA|sinθ=|b→|sin150°，

即|x|sinθ=|b→|sin150°，所以|x||b→|=2sinθ，又0°<θ<30°，故|x||b→|∈（0，1）.

（2）当x<0，y<0时，可转化为（1）处理，此处略；

（3）当x>0，y<0时，如图4，同（1）可得|x||b→|∈（1，2].

（4）当x<0，y>0时，可转化为（3）处理，此处略；

（5）当x=0，y≠0时，b→=ye→2，则|x||b→|=0|y|=0.

（6）当x≠0，y=0时，b→=xe→1，则|x||b→|=|x||x|=1.

综上，|x||b→|的最大值等于2.

评注 解答中通过讨论x，y的取值范围情况，构造平行四边形，再利用正弦定理得到|x||b→|与角度θ的一个关系式，进而求得|x||b→|的取值范围.

类型三 构造圆

例4 （2013年湖南卷理科6题）已知a→，b→是单位向量，a→·b→=0，若向量c→满足|c→-a→-b→|=1，则|c→|的取值范围是（ ）

A.[2-1，2+1]B.[2-1，2+2]

C.[1，2+1]D.[1，2+2]

分析 设OA=a→，OB=b→，OC=c→.因为a→，b→是单位向量且a→·b→=0，故以OA，OB为邻边构造边长为1的正方形OADB，如图5，a→+b→=OD.

因为向量c→满足|c→-a→-b→|=|DC|=1，所以点C在以D为圆心，1为半径的圆上运动，于是|c→|max=|OE|=OD+DE=2+1，|c→|min=|OF|=OD-DF=2-1，故选A.

评注 解答中通过从同一起点构造向量a→，b→，c→，容易将向量c→-a→-b→转化为DC，又|DC|=1，得出OC的终点C的运动轨迹为以D为圆心，1为半径的圆，于是当OC所在直线通过圆心D时，|OC|可分别取得最小值|OF|和最大值|OE|.

例5 （2011年全国卷理科12题）设向量a→，b→，c→满足|a→|=|b→|=1，a→·b→=-12，=60°，则|c→|的最大值等于（ ）

A.2B.3C.2D.1

分析 因为|a→|=|b→|=1，a→·b→=-12，所以cos=a→·b→|a→|·|b→|=-12，即=120°.又=60°，故可构造图形如下：

如图6，a→，b→，c→的终点分别为A，B，C，且A，B，C都在以P为圆心，1为半径的圆上，显然|c→|=1；

如图7，a→，b→，c→的起点为P，终点分别为A，B，C，且A，B，C都在以O为圆心，r为半径的圆上，故当线段PC经过圆心O时，|c→|max=|PC′|=2r.连接AB，AO.因为PA=PB=1，由∠APB=120°，得∠PBA=30°，所以∠AOP=60°，所以△APO为等边三角形，故r=PA=1.于是|c→|max=2r=2.

综上，|c→|max=2，故选A.

评注 考虑到题目条件60°，120°的特殊关系，结合圆的相关知识，分两种情况构造了a→，b→，c→，具体为：利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍关系构造了图6，利用圆的内接四边形对角互补构造了图7.本题也可以利用向量的数量积及均值不等式解决，但对如何将题设条件处理转化为不等式进行放缩要求较高.因此，借助图6，图7解决向量模长的最值问题显得更为简洁、直观.

通过上述例题分析，可以看出构造图形解题，能将抽象、复杂问题形象化、简单化，使问题更加直观，对提高学生分析问题、解决问题的能力有着重要作用.

参考文献：

[1] 卓水鑫.高中数学解题中构造法的巧妙运用[J].新课程学习，2014，（4）：75-77.