数学原型与命题解题技巧

2017-05-31林国钦

理科考试研究·高中 2017年3期

林国钦

摘要：有很多数学综合题都是由一些数学原型（如公式、定理、简单题目等）通过改变形式、组合变换、修饰伪装等手断变化而成，把本是简单的问题变得纷繁复杂，成为难题.这是数学命题的一种重要的技巧，掌握命题技巧，可使我们在平常命题时，自己出新题.避免综合题一味摘用别人的旧题，也有助于解题能力的提高，能识破出题人的技俩和伪装，抽丝剥茧，显露原型，破解难题.

关键词：变换；技巧；证明；函数

一、利用数学原型数数变换

例1 求证：|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.

分析与证明本题用分析法虽可以证明，但很繁.考察题中四个分式都型如x1+x.

考察函数F（x）=x1+x，易证函数F（x），x∈[0，+∞）是增函数.

而0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|<∞.

所以F（|a+b+c|）≤F（|a|+|b|+|c|）.

即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|

=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|

+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|

+|c|1+|c|.

命题技巧探讨这样的好题是如何命题出来的呢？从上述证明过程可以窥视到出题者的思想：这个命题首先利用两个数学原型：

1.不等式0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|<∞.

2.基本命題：函数F（x）=x1+x， x∈[0，+∞）是增函数.

再将上述两个数学原型加以复合、变形而得.解题时如果能洞察出题者的思想，顺势而为，化难为易，迎刃而解.再对本题进一步考察：若（1）将函数换成其它单调函数，（2）不等式换成其它不等式进行组合、变换，则可根据不同的难度要求变化出很多命题，取之不尽，用之不竭.

二、利用数学原型数形变换

例2 （第十五届全俄中学生数学竞赛试题）设x、y、z都在（0，1）内，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

分析与证明直接用代数法难以证明.因此，考察题中数量特征：∵x、y、z都在（0，1）内，∴x、y、z、（1-x）、（1-y）、（1-z）都是正数，而不等式左边各项都是两数积的形式，与三角形的面积公式S=12absinc相似.考察边长为1的正三角形ABC，如图D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，且AD=x，BE=z，CF=y，则BD=1-x， CE=1-z，AF=1-y，

即12×1×1×sin60°>12x（1-y）sin60°+12y（1-z）sin60°+12z（1-x）sin60°.

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

命题技巧探讨从以上证明过程可以推测出本题的命题技巧：

利用数学原型

1.三角形面积公式：S=12absinc.

2.如图S△ABC>S△ADF+S△CFE+S△BED.

将各个三角形面积用面积公式代入化简就得到本命题.也就是将一个简单的几何图形问题转化为一个看似较难的代数问题.证明技巧恰恰相反，需要能根据问题中的数量关系，发现代数问题的几何意义，数形结合才能化难为易.

三、类比数学原型题

例3 n为自然数，求证：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.

分析与证明用数学归纳法易于证明（略）.

命题技巧探讨这个等式是如何发现的呢？这里试以探讨.联想到一个数学原型题：n为自然数，1+2+3+…+n=n（n+1）2.而12+22+32+…+n2的结构形式与1+2+3+…+n相似，自然与之类比，它们是否存在某种关系呢？因此，考察Sn=1+2+3+…+n，S′n=12+22+32+…+n2.

Sn与S′n的值列表如下：