一道圆锥曲线题目引发的思考

西华师范大学(637000) 寇唯炜●



一道圆锥曲线题目引发的思考

西华师范大学(637000)
寇唯炜●

圆锥曲线的定值问题一直都是高考的热点问题.从四川省双流中学2014级高三九月月考21题(2)问证明得到的结论,将其进行了深入推广.研究了过焦点的直线与准线的交点,及与圆锥曲线的交点这三点和圆锥曲线上横坐标等于焦点的横坐标的点所成斜率的关系.

圆锥曲线,斜率,定值

一、问题再现

(1)求椭圆C的方程.

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3,问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值;若不存在，说明理由.

(2)设lAB:y=k(x-1) ①.

整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

将x=4代入①得M(4,3k),

此题是以椭圆为载体，通过直线与圆锥曲线的位置关系,设而不求等相关知识,同时考查了学生的探究能力,将此结论推广到双曲线和抛物线中发现也能得到同样的结果.

化得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-(a2k2c2+a2b2)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2) ①,

将②③对比得k1+k2=2k3.

证明 设抛物线为:y2=2px,

∵A,F,B三点共线，

由①代入得k1+k2=2k+2 ③.

将②③对比得k1+k2=2k3

以上的探究证明,知道对于中心(顶点)在坐标原点的三种圆锥曲线(平面内到定点与定直线距离的比为常数e的点的轨迹)揭示了他们内在的本质联系，都满足圆锥曲线上当横坐标为定值的点与过该点的直线与定直线和圆锥曲线的三个交点构成直线的斜率关系.圆锥曲线内在的和谐统一决定了它们还有更多优美的性质等待我们去探究与挖掘.

[1]陆应海.“有心”圆锥曲线焦点弦的一个优美定理与推论[J].

G632

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1008-0333(2017)10-0047-02