三视图的一个重要应用——多面体的外接(内切)球半径的求法举要

湖北省巴东一中(444300) 张世林●

湖北省恩施高中(445000) 谭 斌●



三视图的一个重要应用
——多面体的外接(内切)球半径的求法举要

湖北省巴东一中(444300)
张世林●

湖北省恩施高中(445000)
谭 斌●

求三视图还原而成的几何体的外接(内切)球的表面积或体积的问题在2016届各地的高考模拟题中大量出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点．困难表现在两个方面：一是根据三视图如何准确还原几何体；二是依据画出的几何体的特征如何采用适当的方法求外接(内切)球的半径．现就此类问题的常见求法举例分析如下．

一、找“墙角”

例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ).

解析 如图，还原的多面体就是三棱锥A-BCD，其外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球.注意：DC,

二、寻外心

①当几何体中出现两个垂直关系，利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半，球心为直角三角形斜边中点(即直角三角形的外心)．

② 因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，截面圆上的点与圆心、球心构成直角三角形，运用公式R2=r2+d2求半径．

例3 已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°,则球O的表面积为____.

变式 一几何体的三视图如左图，则它的外接球的表面积为( ).

A.12πB.16πC.20πD.24π

三、作截面

通过寻找外接球的一个轴截面圆，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.

例4 已知一几何体的三视图如右图所示，则此几何体的外接球的体积为____.

四、用结论

例5 如右下图所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为( ).

巩固练习1.如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为____.

3.如图2是某几何体的三视图，求该几何体的体积.

4. 如图3，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是____.

5. 如图4，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为____.

答案：1. 41π；2.16π;3. 8/3 4.14π5.41π/4

G

B

1008-0333(2017)10-0013-02