数学直觉的作用

张玉峰，智红燕，付夕联

（1．中国矿业大学 理学院，江苏 徐州 221116；2．中国石油大学 理学院，山东 青岛 266580；3．山东理工大学 理学院，山东 淄博 255014）

数学直觉的作用

张玉峰1，智红燕2，付夕联3

（1．中国矿业大学 理学院，江苏 徐州 221116；2．中国石油大学 理学院，山东 青岛 266580；3．山东理工大学 理学院，山东 淄博 255014）

回顾数学直觉的有关概念，对庞加莱、阿达玛和徐利治的数学直觉观作简要论述和比较．强调产生数学直觉的不同论述：数学直觉产生于对数学的观察、归纳、类比和联想；数学直觉产生于无意识思维过程．根据数学家的共识，即数学直觉是可以培养的，结合阿达玛、庞加莱和徐利治先生的有关观点，提出数学直觉的培养途径以及数学教师如何培养学生的数学发明的一般原则；同时也给出了部分大数学家的数学直觉的不解之谜和认识．结合学习和研究数学的体会，提出从有意识到无意识再到有意识的循环思维过程，并指出渗透在其中的数学思想方法．

数学直觉；无意识；数学发明

法国数学家阿达玛的专著《数学领域中的发明心理学》（陈植荫，肖奚安译，江苏教育出版社，1988）（下文简称《心理学》）和中国著名数学家、教育家徐利治先生的专著《漫谈数学的学习和研究方法》（大连理工大学出版社，1989）（下文简称《方法》）都大篇幅论述了数学发明创造的心智活动过程．庞加莱、阿达玛和徐利治先生都提出了数学直觉的产生过程和思维机制，指出了数学家数学发明的不同心理活动过程，提出了数学家的数学直觉的不解之谜以及数学家对这些现象的不同认识等系列问题．不同数学家对数学直觉的产生途径、数学直觉与数学发明的关系有哪些各自认识，数学直觉有哪些类型，如何培养等问题值得探讨和研究．

1 数学家关于数学直觉的认识

1.1 数学直觉有关概念及关系

什么是数学直觉？作为一种思维运动形式，徐利治先生在《方法》（64页）中指出：“数学直觉是人脑对于数学对象事物（结构及其关系）的某种直接的领悟或洞察；通常把它归属于心理学家所谓的发散思维范畴．”徐利治先生进一步指出：“数学直觉往往产生于经验、观察、归纳、类比和联想，有时以心理学上的“顿悟”形式出现，是认识过程的一种飞跃形式．”法国数学家阿达玛认为：直觉是由无意识产生的．那么什么是无意识？阿达玛在《心理学》中并没有给出明确的定义．据研究，无论从心理学还是思维论方面，目前还没有得到明确的解释，但阿达玛对无意识作了如下简单描述(《心理学》20页）：“在发明家的突然醒悟之前，还存在着连发明家自己也不知晓的某种心理过程，用一个专门名词来说，这就是无意识过程．”阿达玛在《心理学》中举出了许多例子来说明无意识确实是存在的．那么无意识到底是什么东西呢？对于人们来说，理解起来有些困难；但作为“无意识”的对立概念就是“有意识”，是否从“有意识”与“无意识”的关系方面留些影像呢？阿达玛在《心理学》（22页）中举了一个例子：“要识别一个人的面孔，实际上需要知道这个面孔的上百个特征，但却没有一个特征是可以精确地描述出来的（当然对具有天赋和受过专门训练的画家除外），然而你的朋友面孔的所有这些大大小小的特征都储存在你的记忆中，存在于你的无意识的心理状态中．所有这些记忆，在你见到朋友的那刹那，就会在你脑海中涌现出来．所以从这个普通的例子中即可发现无意识确实具有一种可称为多重性的重要性质，也就是好几个事物，甚至相当多个事物同时出现在你脑海中．这与意识不同，因为处在有意识状态中的观念是唯一的．”从以上描述还发现，无意识具有“多重性”特点，该特点的作用是有利于综合工作的，也就是说，该例子表明了一个事实（《心理学》22页）：“无意识状态下的那个相貌上的许许多多细节，便可在有意识状态下综合成唯一的一个观念，即是否认识此人．”按照阿达玛的观点，如果没有无意识，人类什么事情都做不成．因此，可否认为：无意识就是一些记忆结果的储存？但记忆是归属于无意识范畴的，这也是阿达玛与庞加莱的观点．接下来的一个问题是：无意识是怎么产生直觉的或者成为顿悟或灵感的？从上面人脸识别的例子来看，无意识具有多功能性：它不仅要去构造无穷无尽的思想组合，而且还要把它们相互比较．这种多功能性是产生数学直觉的主因，对此著名数学大师庞加莱说（《心理学》27页）：“发明创造就是排除那些无用的组合，保留那些有用的组合，而有用的组合又仅仅是极少数．因此发明就是辨别，就是选择．”这里先按照阿达玛在《心理学》中给出的心理学家克拉帕雷德所描述的“发明”指的是什么．他说：有两种不同类型的发明，其一是目标已经确定，问题只是寻找一种方法去实现它，于是人们的心理过程必然是由目标到方法，或说从问题到答案；其二是已经发现了一个事实，然后再去研究它有什么用途，因而这种心理过程将是从方法到目标，并且答案是比问题先给出的．对于发现的含义，保罗·瓦莱里指出（《心理学》27页）：“任何发明的过程都包括两个方面，其一是进行思想的组合，其二是选择和识别那些我们所期待的组合，那些能够给我们传递重要信息的组合，我们称之为天才的人物往往在第一步上只要花费很少的时间，就可以为第二步做好准备，而在第二步中又能够准确地掂量在种种组合中作出完美的选择．”由此可见，数学直觉就是无意识的多功能性的结果．对此，庞加莱作了一个形象的比喻（《心理学》38页）：“设想那些形成思想组合的基本的思想元素有点像Epicurus的带钩状的原子，在思维完全静止时，这些带钩的原子是不动的，它们像是挂在墙上这种完全静止的状态可以无限期地延续下去，原子间也就不会碰撞或相遇，因而更谈不上产生什么组合．但我们在进行研究工作时，就必须把一些思想动员起来，当然不会是全部思想，而是可能有用的思想．如果未达到预期结果，也就是虽已用千百种不同方式把这些观念原子相互组合，却仍然未获得令人满意的结果，此时我们认为自己干得不好，然而经过这样的努力之后，这些观念原子却已被激发并运动起来了，它们再也不会回到原先的位置上去，而是连续不断地向四面八方自由飞舞．这些被动员起来的观念原子互相组合，或者飞向那些尚未动员起来的观念原子，并与之结合把它们动员起来．在这些新的结合中，在这些有意识努力的间接结果中，可能蕴含着自发的灵感．”从以上描述看到了无意识是如何产生直觉形象过程的．但这里存在一些疑惑：如何做到“完美选择”？怎么知道哪些思想是可能有用的思想？这些问题留在下面去考虑．以上描述表明，酝酿是产生数学直觉的先行阶段，对此阿达玛指出（《心理学》29页）：“在酝酿阶段，没有什么自觉地智力活动，但也不是什么也没有发生，实际上，事情只是发生在我们的无意识中罢了．”既然无意识产生数学直觉，下面的问题是：如何产生无意识？对该问题的回答，阿达玛在《心理学》（37页）中作了一番阐述，他说：“无意识劳动是前一个时期所作艰苦努力的结果．如果不是经过好几天的有意识的艰苦努力，尽管这些努力没有产生结果，完全是一种盲目的摸索，那么突然的灵感是不会产生的”；“正是通过这种努力才使得无意识机器能以开动起来，亦即如果没有这些艰苦努力，无意识机器是不会开动起来的，从而什么灵感也不会出现．”因此，没有有意识的努力，就不会有任何发明，那么，如何进行有意识的努力？对此心理学家梭里奥说（《心理学》40页）：“为了发明，你必须开阔思路．”伯纳德也对此指出：“思想过于古板的人，乃是不适宜于从事发明工作的．”这也就是说，思路不开阔是不会有发明工作的．阿达玛的观点与梭里奥和伯纳德是完全一致的，他说（《心理学》40页）：“不管在数学中还是在实验科学中，如果不能充分地开阔自己的思路，就将一事无成，尽管他的能力而言，本来是应该有所创造的．”由此，无意识是可以训练的．徐利治先生曾经断言的（《方法》64页）“数学直觉产生于经验、归纳、类比和联想”是开阔思路的重要手段．“经验”来源于有意识的辛勤劳动和知识积累，见多识广；通过数学“观察”发现数学概念、性质、定理等知识间的关联；“归纳”可由特殊的例子，特殊的性质得到一般理论，即去伪存真；“类比”可由一类事物的特性得到另一类事物的特性．而直觉与联想是互为因果的，对这一点，徐利治先生在《方法》（55页）中指出：“对于一个学习或研究数学的人来说，为了开发智力必须同时注意培养直觉与联想两种能力．怎么培养？我想，首先要注意培养较广泛的兴趣，要博览全书，好学神思，要提倡多想问题，甚至不限于思考数学领域内部问题．”

1.2 审美的作用

按照庞加莱和阿达玛的观点，数学创造就是辨别，就是选择．选择什么？就是选择所期待的思想组合．选择的标准是什么？庞加莱认为（《心理学》28页）：“美感对于发明来说，乃是必不可少的，没有美感就不会有发明．”他进一步强调（《心理学》28页）：“无意识不仅要担当起构造各种各样的思想组合的复杂任务，而且还要根据我们的审美原则去作最细微和最本质的选择．”尽管许多数学家、心理学家对庞加莱的观点提出批评并加以攻击，比如，沃拉斯就说（《心理学》32页）：“庞加莱的‘没有高度的审美本能就不会有伟大的发现’的说法也许是对的，但‘如果认为这种审美本能是数学家进行思维的唯一动力的话’，乃是极不妥当的．”然而多数数学家是赞同庞加莱的观点的．要有审美能力，首先要知道什么是美．其实，世界上的美有无数，概括起来其实就两种，一种“和谐美”，另一种是“奇异美”．因为自然界是美的，它的存在就是以和谐和奇异形式存在．对于数学来说，徐利治先生对这两种美作了进一步分类和分析，他指出（《方法》66—68页）：“和谐美表现为统一性、简单性、对称性、不变性（守恒性）、恰当性，等等．所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致．”“在繁杂之中概括出一种简洁明了的规律，则给人一种美的感觉．”“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美．”无理数的发现、非欧几何的诞生，虚数的引入等实例无不说明数学家追求数学美的结果．

2 数学直觉的培养

庞加莱和阿达玛都认为，有许多人是学不懂数学的．在《心理学》（80页）中阿达玛是这样表述的：“大家都知道，有许多人无法胜任数学工作，甚至无法学懂数学．这个问题也被庞加莱深入地研究过．他认为主要的问题在于不能‘真正地理解’．”怎么才算是‘真正地理解’？庞加莱对“理解”作了以下两种情况的分析，他说：“对于定理证明过程的理解，是不是仅一步一步地考察证明过程的每一推理步骤，判断一下它们是否正确和符合规则就够了呢？……对于某些人来说，事实就是如此，当他做完此事以后，便以为自己已经理解了”；“但对绝大多数人来说，事情并非如此简单，他们还有许多更为苛刻的要求．他们不仅要知道每个证明步骤是否正确，而且还想进一步知道，这些步骤为什么必须这样联结，而不是那样联结．在他们看来，如果对这些证明步骤的安排，依然看不出什么目的性的话，则就无法相信自己已‘理解’了”．阿达玛在《心理学》（81页）中对庞加莱的“理解”作出了令人信服的评价，他说：“至于庞加莱所指的第一态度，乃是有些学生从不关心任何综合，只是盲目地做些习题．这些学生的成绩也可能赶上其他同学，甚至还相当说得过去；但若长此以往，他的前景实际将比上述那种学生更糟，因为前面那种学生至少还知道此处存在着问题和困难．”对于不能“理解”数学的人，其实就是学不懂数学的人，这样的人能否通过后天的培养成为能“理解”数学的人呢？可能部分人能行，但大批人可能不行，这是否与他们天生的资质有关呢？还不能妄加评论，但加尔的“骨相说”似乎符合这样的观点．按照加尔的古怪数学“骨相说”原则（《心理学》6页）：“人的才能不仅与大脑的某些部位有联系，而且与脑壳的某些部位也有联系．”按照此原则，“人的数学能力是由头盖骨上的一个隆起部分，即一个局部的骨相决定的”．但这里所谓的“骨相说”得到了近代一些神经病学专家的一致批评，并认为是一个很荒唐的假说．虽说“骨相说”似乎不靠谱，但一些数学大师的数学创造难以理解，似乎不是光靠勤奋得来的．在《心理学》中的第八部分，阿达玛列出了直觉思维中的数个不解之谜．比如，黎曼研究了一个以复数s为自变量的函数，他证明了这个函数的某些性质，又指出了另一些未加证明的重要性质；但至今尚不知晓他所说的这个表达式是什么样子．还有著名的“黎曼猜想”，也就是希尔伯特23个问题中的第八问题，至今仍未获得解决．阿达玛说（《心理学》（第90页））：“半个世纪以来，人们对此花费了巨大的劳动，虽然在这个方向上也获得了某些极有趣的发现，但却仍然未能肯定或否定这个黎曼猜想．”可见，黎曼具有非凡的超强直觉能力．对于伽罗瓦的数学才能更是让我们惊叹（《心理学》91页）：“当他知道勒让德的几何之后，他的热情即可被数学迷住了”；“但他在20岁时就夭折的原因，却不是为了革命，而是出于一场荒谬的决斗．”在决斗的前夜，他匆忙地整理了自己的发现，先是扼要地写出了他的那些手稿，这些手稿曾被科学院认为是“不可理解”而被拒绝接受．接着在写给他朋友的一封信中，仓促地写下了另外一些漂亮的论点，同时又在信纸的空白处重复地写上“我没有时间”；“直到他死后15年，科学家们才开始注意他那篇曾被科学院拒绝接受的文章，开始认识到伽罗瓦在文章中遇见了向更高级代数学的全面转变，他在最伟大的数学家不太注意的领域中放射出最耀眼的光芒，并把代数问题和数学上其他完全不同的分支联系起来了”．还有像费尔马、庞加莱、卡当等数学大师都是具有非凡数学直觉能力的天才．尽管一些数学大师的数学创造令人不可思议，但庞加莱、徐利治先生都认为，数学直觉是可以通过后天的勤奋学习获得的．庞加莱认为，数学直觉是可以训练的；徐利治先生说，数学直觉是可以培养的．那么如何培养数学直觉能力呢？

2.1 培养学生的学习数学的兴趣

“兴趣”是最伟大的老师．如果对数学毫无兴趣甚至讨厌数学的话，那必定不会学好数学．因此，在教学过程中，教师只有让学生真正理解数学并采取某些教学手段才能使得他们有兴趣地学习．比方说（《方法》70页），“通过举例分析教会学生鉴赏数学，懂得数学美表现在哪些地方，如何从数学美的观点分析评比各类数学定理和它们的证明方法．”这就要求数学教师首先学习和研究数学发现与数学美的有关知识．另外，结合数学知识的学习，教师从数学角度或者具体应用学科角度，简单地向学生传授数学的应用价值，比方说，数学在物理上的应用有这样一个例子：在讲授变换群时，变换群是如何提出来的（从具体例子抽象出来），又是如何应用到物理学中若干电子异常现象的精确描述的，由此让学生了解到数学是否有用．

2.2 培养学生数学地思考让他们“真正理解”数学

徐利治和徐沥泉在文[1]中指出：“学习数学的困难并不是它本身的抽象形式，而是离开了抽象它的背景，离开了用似真推理来发现它的过程，离开了在受到挫折以后对反馈信息的分析，离开了生动活泼的创造发明的活动机制．”其实著名数学家对此也有至理名言（《方法》71页）：“了解一种理论的最好方法是找出研究那种理论的原型的具体例子．”这也就是徐利治先生提出的“返璞归真”思想，弄清数学概念、性质、定理的来龙去脉，让学生“真正理解”（阿达玛语），让学生“真懂”（徐利治语）．下面简单介绍徐利治先生所指的“真懂”是什么意思，研究发现其意思完全与庞加莱在前面论述的“理解”含义一致．徐先生说[1]：“懂的含义是有不同层次的，比如一道难题，老师一步步把它解出来了，每步都看明白了，这就觉得懂了，其实这样的懂只是一种‘浅懂’或‘表面懂’，未必是真正彻底懂了，这叫‘见树不见林’．学习数学也是这样，‘真正的懂’就是要有整体性的理解，就是弄明白整个思路的来龙去脉，还要彻底理解它所以如此的道理．”其实，这里的“浅懂”就是前面谈到的庞加莱的“第一种情况”，这里的“真懂”就是庞加莱所指的“第二情况”．多数高校学习数学的方法就停留在“浅懂”层次上，从定义、性质再到定理或公式，最后就是做大量的练习题，这样的教学手段确实培养了一大批解题高手，能应付各类考试，还能拿到巨额奖学金，可以保送攻读研究生．但这样的培养模式培养的部分学生正如阿达玛所说的其未来前景实际上会更糟糕，一般不会有创新意识，这不符合教育目标．为解决这一问题，数学教师首先要深入学习和研究数学教育理论，包括数学创造的原则，比如归纳法、类比法，等，然后教师要从整体上把握教材内容，结合教育理论循序渐进地引导学生数学地学习和思考，让学生感到所学数学知识就好像他们自己发现的一样，完全符合他们的现有知识的认识能力，这样的话，学生才能真正学懂数学，并且终身不忘．另外，教师要引导学生选择自己感兴趣的研究课题，告诉学生如何选题．但事实上正好相反，现在高校中存在一种普遍现象：大学本科毕业生毕业前的毕业论文题目是由教师提出来然后再让学生去选择，而不是让学生提出来由老师指导去完成或者去修正．这种现象在国外也是普遍存在的，比如阿达玛就有这样的体会：“学生们常常向我要研究题目，希望得到指导．我也常常给以指导；然后凭心而论，我认为这样的学生充其量是第二流的．”是这样的，一个大学生学习数学三四年，竟连个毕业论文题目都选不出来，能说是一流的学生吗？另一方面看，这种糟糕的情况不仅是学生的原因，还有，可以说多数原因是教师导致的．有些教师没有让学生选题的意识，总认为选题本来是教师的事．之所以有这样的心态不无与学校、学院、数学系某些决策领导者有关．学院领导要是不重视数学学习、数学研究的话，一般来说，这个学院的科研与教学水平也好不到哪里去，这正是所谓的“将熊熊一窝”的道理．

2.3 三高作为大学生的后续必修课

徐利治先生在《方法》（72页）中指出：“我们赞成这样的观点：大学数学课程的各门教材应弄得少些、活一些．教材应该反映时代的进步面貌，所以‘力求新颖’是必要的．此外，‘少而精’原则也是大家一贯提倡的．”怎么解读徐先生的“少而精”？研究者认为，大学生首先学好旧三高，即《高等代数》、《数学分析》和《空间解析几何》，这是大学一、二年级学生的必修重要课程，它们是以后学习其它数学知识的基础，没有这3门课作为基础，后续数学课程的学习将是寸步难行．在掌握这三高基础上，为了提升学生抽象思维能力，培养其创新发现能力，建议在大学三或四年级将大学数学中的新三高，即《抽象代数》、《点集拓扑》和《泛函分析》作为必修课程，而不是选修课程，更不是不学．让学生知道，已经学过的旧三高知识是如何应用到更抽象的数学知识中去的，是在什么平台上应用这些知识的．新三高中的许多重要结果都是旧三高知识的推广、类比、归纳或联想得到的，教师要是把这样的问题给学生讲清楚，他们不仅很有兴趣学习数学，而且还学到了更高级的数学知识，教学的部分目的就算达到了．

2.4 开设《数学文化》课程

目前，某些高校在大学生选修课中开设了《数学文化》课程．以南开大学为例，在全国教学名师顾沛教授的领导下，南开大学课题组编写了《数学文化》教材，于2008年由高等教育出版社出版．通过教学实验表明，该教材很受学生欢迎．之所以取得这样的教学效果，是因为他们确定的课程选材原则是[2]：“第一，以数学史、数学问题、数学知识为载体，介绍数学思想、数学方法、数学精神．第二，涉及的数学知识深浅适当，以能讲清数学思想为准，使各专业的学生都能听懂，都有收获．第三，开阔眼界，纵横兼顾，对于数学的历史、现状和未来，都要有所介绍，对于数学与人文的各种关系，都要有所涉及．”总之，他们的选材贯彻了素质教育的思想，注意科学精神与人文精神的交叉与融合，既要着眼于提高学生的数学素质，又要着眼于提高学生的文化素质和思想素质．可见，从人文教育角度看，这样的课程不仅能增加学生学习数学的兴趣，而且能培养他们数学直觉能力，数学创新能力．通过数学史的学习，让学生了解到数学知识的来龙去脉和数学家是怎样通过艰辛的劳动获得的，培养学生吃苦耐劳、坚韧不拔的创新精神．

3 数学创新的类型

3.1 数学家的观点

阿达玛在《心理学》（87页）中论述了数学家之间的思维区别．首先，他指出数学家的思维职能：“数学家们不仅能够理解数学，而且还能研究新的数学问题，创造新的数学知识．”然后阿达玛进一步指出：“数学家不仅和普通学生不一样，而且数学家和数学家之间也存在深刻的区别．其中的一个主要区别是有些数学家是直觉型的，另一些是逻辑型的．”对此，庞加莱也曾经做过研究，他说（《心理学》81页）：“一种类型主要是充斥着逻辑．读着他们的著作，我们会被他们一步一步引导着，在信任他们的道路上稳步前进．他们的作风就像战士们一道又一道挖战壕一样，亦即不依赖任何机遇地步步逼近被围攻的敌营．另一种类型则是凭借于直觉了．他们能够一下子提出一个敏锐的、但有时是冒险的问题．就像一个勇敢而迅猛前进中的骑兵．”德国数学家维尔斯特拉斯是典型的逻辑主义者，他的声誉和影响在德国同行中是巨大的；而德国数学家黎曼就是毫无疑问的最典型的直觉心理类型的人，这是公认的事实．逻辑型或直觉型数学家是后天的学习造成的还是天生的？这两种类型的数学家真的有那么严格的区分吗？庞加莱回答了第一个问题，他说（《心理学》83页）：“一个数学家之所以成为逻辑主义者或直觉主义者的决定因素，乃是他们最深刻的心理本质，而不是他们所研究的问题．即使他们接触到并开始研究新的不同类型的问题，他们仍然不会把这种心理本质丢弃一边的．”严格来说，不存在什么纯逻辑发现或纯直觉发现的数学家，只是他们的思维侧重点不同，其实都是无意识思维的结果．正是这种无意识产生直觉，才使得思想得以进行各种组合．随着现代科学技术的迅猛发展，数学分支越来越多，就此，徐利治先生曾经说过：现在不存在数学家了，只有数学专家．只不过有的人倾向于逻辑思维发现的问题较多，有的人则是直觉猜测发现更多的数学问题而已．对于一般的数学工作者来说，在了解到以上事实后，必然反思相应的数学研究属于哪种类型．

3.2 例 子

基于以上分析，下面简单地谈谈数学研究思维过程．数学物理学科中有门专业称为可积系统理论．德国数学家Fuchssteiner在研究Virasoro代数时，提出了可积耦合的概念[3]，即假设

是某空间上的一类可积系统（读者不必知道什么是可积系统），假定存在显含变量u、v及其关于自变量x的不同阶导函数的函数S=S(u,v)使得下列方程系统

是可积的话，则称系统（2）是可积系统（1）的可积耦合．

美籍华人马文秀教授[4]利用扰动方法得到了在物理学中具有广泛应用的KdV方程的可积耦合系统．KdV方程是一个可积方程，必然会考虑：能否得到两个以上的可积方程系统的可积耦合？想到这一点，一点也不奇怪，因为在数学物理课题中，遇到的单个方程和由两个以上方程构成的方程系统比比皆是．这是有意识到无意识或意识边缘的思维过程．问题是如何实现呢？Fuchssteiner和马文秀教授的工作本质上就是通过一定的数学方法生成可积耦合．这种无意识必然使研究者想到了生成可积方程族的屠格式[5]．在文[5]中，屠规彰先生用有限维 Lie代数方法构造了不同的等谱Lax对，再由群结构方程给出了生成可积方程族的优美方法．观察发现：可积耦合就是在原来方程（1）的基础上得到方程（2）这样的含有“多余项”或者“多余方程”的耦合方程系统．既然是有“多余”，那么是否在原来方程（1）的Lax对基础上再加上适当的项，利用群结构方程就能生成方程族的可积耦合？经过试算，结果真的就成功了．从这一发现过程来看，由特殊到一般的联想，加上有意识俘获的无意识—屠格式，再经过有意识的艰苦劳动得到了新结果，该结果最早发表在Journal of Math. Phys.[6]和《物理学报》[7]上．后来马文秀教授进一步精化了这一算法，得到了许多优美的可积耦合结果．根据审美原则，得到的结果还不够优美，因为屠规彰先生得到的方程族都拥有 Hamilton结构，所以研究者也想考虑方程族的可积耦合是否也有 Hamilton结构？基于这样的出发点，必然想起前面提到的希尔伯特的名言：“了解一种理论的最好方法是找出然后研究那种理论的原型的具体例子．”还有徐利治先生的“返璞归真”思想．于是反过头来，考虑屠规彰先生是如何得到一个方程族的Hamilton结构的（这是有意识思维过程），结果发现：屠先生是引进了两个矩阵的Killing-Cardon迹作为线性泛函，再利用变分法得到寻求方程族的Hamilton结构的著名迹恒等式（这是中国学者在可积系统理论中的独特成就之一）．由于可积耦合也是方程族，根据类比联想法，是否能得到类似于迹恒等式的、用来寻求可积耦合的“迹”恒等式？那么从哪里下手呢？经过仔细的再观察，发现：屠规彰先生获得迹恒等式的首要一步就是引进了一个线性的迹泛函，即Killing-Cardon型，而这泛函的本质就是一类特殊的二次型，也就是二次型表达式中的方阵A取为单位矩阵的情形．根据这一观察，就考虑一般的二次型作为线性泛函，由此再由变分法就有望推得迹恒等式的推广形式．为此，首先，要建立一个推理舞台．根据Lie代数A1与二维向量空间R2间的同构关系，必然推广出：Lie代数An-1与n维向量空间Rn是同构的．于是在由有限维列向量构成Lie代数空间Rn上，利用变分法和屠规彰先生推求迹恒等式的思想，就获得了迹恒等式的推广形式，称之为二次型恒等式[8]，并由此得到了著名AKNS方程族的可积耦合的Hamilton结构．后来，对二次型恒等式作了进一步的改进，他称之为变分恒等式[9]，据此他们做了许多具有启发性的重要工作，将可积耦合理论向前推进了一大步．随着对可积耦合理论研究的不断深入，上海交通大学的朱佐农教授首次向文章第一作者提出：你们得到的可积耦合都是线性的，能否得到非线性的可积耦合？2009年10月，第一作者访问美国的马文秀教授时，他也提到如何解决非线性可积耦合问题．经过共同努力，通过对Lie代数的性质由半单修改为单的形式，这一问题就得到了解决，马教授创作了一篇离散的非线性可积耦合及有关性质的论文，而研究者作了连续的可积系统的非线性可积耦合[10～11]．

从以上简单分析发现，在探讨可积耦合有关理论过程中，无不渗透着有意识到无意识再到有意识思维过程，其中的数学思想方法有特殊到一般、类比联想、数学观察等，思维过程总的来说是逻辑思维，根本就达不到直接猜出数学结果的直觉思维能力．只有像黎曼、庞加莱、高斯等大数学家才具有超凡的抽象直觉能力，他们在思维过程中避免使用语言（逻辑语言），甚至还避免使用代数符号或者任何其它固定符号，他们总是运用模糊的意向思维．但也有的著名数学家习惯借助代数符号进行思考．比如，著名美籍匈牙利数学家波利亚是完全用语言进行思维的，他在写给阿达玛的信件中说（《心理学》66页）：“我相信，对于一个问题的关键性思想总联系着一个恰当的词或句子．这个词或句子一经出现，形势即可明朗．如同你所说的，它给出了问题的全貌．语言可能略略超前于关键性思想，也可能紧紧跟随于其后出现，也许可以大致地说，它们与关键性思想同时出现……一个好的词或一个恰当的句子，可以帮助我回忆起那个关键性的思想．当然，这比起图像或符号来，可能不那么直接和客观．但在某种意义上，两者相差无几，它们都可以帮助我们把思想固定下来．”

一个新的理论的出现往往得不到一些数学工作者的承认，甚至认为是没有意义的．在研究者发表一系列可积耦合结果后，就受到了一些人的非议．有人说：你在原来的方程基础上再“贴”上一个方程有什么意义？这是无聊的工作．也有的人说：数学是越做越简单，你怎么越做越复杂？这不符合数学发展规律．因此，可积耦合一直受到国内一些数学工作者的质疑．但研究者坚信这样的工作是有意义的，因为研究者找到了一个可积方程或方程族的“伴侣”一起构成一个大的可积系统的方法，该可积系统不仅能约化出新的非线性可积方程而且是原来可积方程族的推广；能利用可积耦合思想把一些著名的可积方程族，用一个统一的可积模型表示出来，比如研究者已经将AKNS方程和KN方程族用一个数学模型表示出来；特别是还通过二次型恒等式得到了非常优美的 Hamilton结构，这些结果符合数学美中的对称美、统一美．只要是美的，从数学观点来看就是有意义的，因为数学就是描述大自然的，而大自然就是美的．然而有些数学工作者，不懂数学美，进一步说，不懂数学方法论，因此在他们看来只要是找不到实际应用背景，所得到的数学结果就是没有意义．其实这种看法真的是错了，可积耦合后来还真的找到了物理和几何背景．杰出青年获得者著名物理学家楼森岳教授在研究大气湍流过程中，就抽象出了一类数学模型，该模型正是一类可积耦合系统，他还求出了该可积耦合系统的一类对称．杰出青年获得者屈长征教授在几何问题过程中，就抽象出了一类数学方程，该方程正是一类可积耦合系统．至此，研究者已经知道了可积耦合系统的物理和几何模型．相信，在未来的物理科学和数学科学的深入研究过程中，可积耦合模型会不断涌现，而可积耦合理论也会随之更加完善．

4 展 望

前面回顾了不同数学家对数学直觉有关概念的论述，虽说叙述方式和角度不同，但最终是殊途同归．另外，对于数学直觉的产生、作用也作了阐述，并通过个人科研体会简述了数学思维过程．对于数学直觉的研究除了阿达玛的《心理学》外，徐利治先生在《方法》中有两篇论文专门论述了数学直觉的意义及作用、数学直觉与联想对学习和研究数学的作用，深受启发，但领悟得还不够，需要继续研读．在今后的有关研究中，研究者将结合大学数学有关内容，探讨数学直觉在数学教学和数学创新方面的积极作用，目标是：不仅教会学生知识也要教方法、教思维．按照徐利治先生的观点，就是让学生既看到树木也要看到森林（教学方面）；按照著名数学家希尔伯特的观点，就是（《方法》71页）“了解一种理论的最好方法是找出然后是研究那种理论的原型的具 体例子”（科研方面）．

[1]徐利治，徐沥泉．MM教育方式简介[J]．自然杂志，2008，（3）：138-142．

[2]顾沛．为什么数学文化课程能够“一呼而起，久盛不衰”[J]．数学教育学报，2014，23（6）：4-6．

[3]Fuchssteiner B.Applications of Analytic and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations[M]. Dordrecht: Kluwer, 1993.

[4]Ma Wen-Xiu. Integrable Couplings of Solution Equations by Perturbation [J].Methods Appl. Anal., 2000, (7): 21-56.

[5]Tu Guizhang. The Trace Identity, a Powerful Tool for Constructing the Hamiltonian Structure of Integrable Systems [J].Journal of Math. Phys., 1989, 30(2): 330-338.

[6]Zhang Yufeng, Zhang Hongqing. A Direct Method for Integrable Couplings of TD Hierarchy [J].Journal of Math. Phys., 2002, 43(1): 466-472.

[7]郭福奎，张玉峰．AKNS族的一类扩展可积模型[J]．物理学报，2002，（5）：951-954.

[8]Guo Fukui, Zhang Yufeng. The Quadratic-Form Identity for Constructing the Hamiltonian Structure of Integrable Systems [J].Journal of Phys. A, 2005, (38): 8 537-8 548.

[9]Ma Wen-Xiu, Chen Min. Hamiltonian and Quasi-Hamiltonian Structures Associated with Semi-direct Sums of Lie Algebras [J].Journal of Phys. A, 2006, (39): 10 787-10 801.

[10]Zhang Yufeng, Feng Binlu. A Few Lie Algebras and Their Applications for Generating Integrable Hierarchies of Evolution Types [J].Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 2011, (16): 3 045-3 061.

[11]Ma Wen-Xiu, Zhu Zuonong. Constructing Nonlinear Discrete Integrable Hamiltonian Couplings [J].Comput. Math. Appli., 2010, (60): 2 601-2 608.

Brief Discussion of the Roles of Mathematical Intuition

ZHANG Yu-feng1, ZHI Hong-yan2, FU Xi-lian3
(1. College of Sciences, China University of Mining and Technology, Jiangsu Xuzhou 221116, China; 2. College of Sciences, China University of Petroleum (East China), Shandong Qingdao 266580, China; 3. School of Sciences, Shandong University of Technology, Shandong Zibo 255014, China)

First of all, we recall some related concepts on the mathematical intuition. Then brief discussion on the mathematical intuition of Poincare, Hadamard and Xu Lizhi is showed, and further we give comparisons among them. We emphasize the different viewpoints on generation of the mathematical intuition, which is that mathematical observations, mathematical inductions, analogues and associations can generate the mathematical intuition, and the unconscious mind can also produce the mathematical intuition. We also point out that a common view of mathematicians that the mathematical intuition can be trained. We propose the training ways of the mathematical intuition, combined with some views of Hadamard, Poincare and Xu Lizhi, from which the general principle of mathematical creations for mathematical teachers to train students is proposed. We also present some puzzle mysteries of the mathematical intuition of some great mathematicians, and we give our viewpoints of the puzzles. Finally, we show the cycle-mind course from consciousness to the unconscious and again to consciousness, combined with our mathematical study. Some mathematical methodologies from the above course are discovered.

mathematical intuition; unconscious; mathematical creation

G424

A

1004–9894（2017）01–0082–06

[责任编校：周学智]

2016–10–16

张玉峰（1963—），男，山东泰安人，教授，博士，主要从事数学方法论与数学教育研究．