高中概率模型学与教中的问题和对策

何小亚

（华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631）

高中概率模型学与教中的问题和对策

何小亚

（华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631）

运用质性研究方法揭示高中概率模型学生学习、教师教学和教材编写中存在的问题，讨论存在问题的原因，最后给出解决所存在问题的对策．

概率；学习；教学；问题；反思；对策

作者曾经应邀到广州某重点中学主持古典概型的同课异构公开课活动，听了3个老师上的课，看了教师备课的教案和发给学生的学案．活动结束，思绪万千，许多问题不吐不快．下面结合教学经验，讨论高中概率模型学与教中的问题、反思和对策．

1 学生学习中存在的问题

（1）不理解随机事件，无法区分随机事件和随机现象．将数学定理、生活常识或学科的结论当成必然事件；将错误的数学命题、违背常理的结论当成不可能事件[1]；不理解古典概型；因不清楚何为基本事件，忽略等可能性要求，而导致在用古典概型求概率时，出现“要不要考虑顺序”的困惑．例如，抛掷两枚完全一样的硬币，求花色不同的概率？答案是1/2，还是1/3？

（2）难以理解教材中“几何概型”的定义，更不理解“贝特朗悖论”以及与之等价的类似问题[2]．

（3）对概率模型的不理解导致下述结论的理解困难．

① 概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件；

② 互斥事件不一定是对立事件，对立事件必然是互斥事件．

2 老师教学中存在的问题

（1）学生在概率学习中存在的上述问题，根本原因是教师也存在着这些问题．例如，研究报告（张敏、何小亚，2015）已经指出，教师中存在着严重的等可能性偏见[3]．

（2）教师在讲教材[4]中例3（同时掷两个骰子，计算：向上的点数之和是5的概率是多少？）和例5（某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？）时，没有向学生揭示两者的区别？失去了强化等可能性理解的机会．

教师没有讲清楚“随机抽出2听”是什么意思？是一次就抓两个出来，还是不放回地一次抽一个地抽两次，或者是有放回地一次抽一个地抽两次？

（3）很多教师在讲“古典概型”这一节内容时，没有解决好这些问题：我们为什么要学习古典概型？古典概型是什么？古典概型这一理想化的数学模型与真实世界的区别是什么？

各路学者、杂志编辑以及教师对几何概型的理解错误更是俯拾皆是[5]．

（4）学案教学大行其道，三维目标没有得到落实，教学目标实际上仍然停留在“知识+解题能力”的层面．

3 教材编写中存在的问题

（1）教材[6]通过一些实例介绍了确定现象和随机现象，教材[4]没有讲何为确定现象，何为随机现象．两者都没有明确区分随机现象和随机事件．这两种教材都没有讲随机试验的定义，而把随机事件定义为：“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件（random event）．”[4]“在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件（random event），简称随机事件．”[6]定义中的“条件”到底是什么？师生难以理解！

（2）对于概率教学中最基本的概念“概率”，教材[6]都没有回答清楚什么是概率．

（3）教材[4]通过掷硬币和掷骰子试验的结果，以揭示外延的方式定义了基本事件．教材[6]定义为：“在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件（elementary event）．”这一定义没有讲清楚什么是一次试验．不讲清楚试验，如何准确把握随机事件？

（4）教材[6]对古典概型的定义是，满足条件①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的.的随机试验的概率模型称为古典概型（classical probability model）．但没有说明什么是“随机试验”．

教材[4]认为基本事件有两个特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和；具有①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等这两个特点的概率模型称为古典概型（classical model of probability）．

请问什么是“任何事件”，基本事件是不是？什么是“事件”？“青岛一只虾38元”是不是事件？“2015年的中国股市：穿西服进去，穿三点式出来”是不是事件？

请问什么是“概率模型”？“概率”都还没有讲清楚，又冒出个“概率模型”，你叫师生们如何理解？

（5）抽象的几何概型．

教材[4]定义：“如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）简称为几何概型．”

教材[4]B版定义：“设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）．每个基本事件可视为从区域D内随机地取一点，区域D内每一点被取到的机会都一样，随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．”（北师大版教材的定义也类似）

这两种定义中均提到了一个条件 “如果事件发生的概率只与构成该事件区域的测度成比例”，这句话是什么意思，你叫读者如何判断“成比例”？你能判断它是古典概型吗？你叫学生求概率，教材、老师都没有讲清楚概率是什么，却叫学生先判断概率与长度或角度或面积或体积成正比，这似乎有点勉为其难．本该最讲道理的数学学科为什么如此不讲道理？

（6）教材[4]第135页的问题．

两人玩如图中的转盘游戏，规定指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．问甲获胜的概率是多少？

对于转盘（2）书上的解答是：甲获胜的概率是3/5．事实上，甲获胜的概率与字母 B所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与字母B所在区域的位置无关．

这一解答的理由是不正确的．转盘游戏中确定能否获胜的是指针的方向，而不是指针所在的区域面积或孤长．若把转盘割成正方形，则无论用面积还是弧长计算，甲获胜的概率还是3/5吗？应该按照指针方向扫过的角度范围计算．

教材[4]B版也犯了同样的错误．

4 对存在问题的原因分析

（1）导致学生和教师错误理解概率问题的根本原因是教材存在的问题．将随机现象与随机事件混为一谈，不讲随机试验就来讲随机事件，用随机现象来定义随机事件，完全没有理解好、处理好真实世界与数学世界的关系．

（2）以揭示概念外延的方式来定义基本事件的概念是无法让学生准确理解基本事件的本质，不理解基本事件，怎么可能准确把握住随机事件这一概念．这样就出现了前面所述的各种师生的困惑：学了概率竟然不知道何为概率；不清楚随机事件，到底要不要考虑顺序；等可能性偏见；几何概型中的概率之争，等等．也就是说，概率教学仅仅停留在记记公式，算算概率的工具性理解（Instrumental Understanding）水平，完全没有达到关系性理解（Relational Understanding）水平．

（3）虽然数学新课程改革实施了十余年，但“知识+解题能力”的应试教育依然大行其道．素质教育仍未得到真正落实的原因：一是以笔试成绩作为评价学生、老师、校长、教育局长表现的唯一标准；二是两个课标及其解读对三维目标的内涵、要素和要求都没有进行操作性的界定；三是数学教学中三维目标的落实不到位，只重点关注知识与技能目标而忽略了过程与方法和情感态度价值观目标．

5 解决所存在问题的对策

5.1 教材编写及教学思路理论框架

根据组块化、先行组织者等学习心理学的原理以及国外教材的编写经验，建议新修订的数学教材每一章可以考虑如下结构．

A. 先给出本章的小节目录和本章概览．

在本章概览中，以一些简单明了，贴近学生实际的生产问题、生活问题的实际问题，来说明本章要解决什么核心问题．为了解决核心问题，要引进什么概念？介绍什么模型？掌握什么原理？

B. 接着给出引言．

引言部分则主要回答这一数学分支是什么性质的学科？其理论概貌、主要奠基人是谁？为什么要学习这一章？学完以后你能做什么？

C. 然后是各个小节的内容．

每一小节的概念、原理的引入，注意联系生产生活实际，以学生熟悉的、浅显的背景问题（也可以是纯数学问题）引入．学生习作项目有课堂练习、课后习题和思考题．

D. 最后一小节之后给出本章知识结构图，并总结指出本章重要的数学思想方法．

E. 接着是本章习题．按照理解性、应用性和拓展性 3种水平设置．问题的类型尽量包括纯数学问题、应用题（部分理想化的实际问题）和实际问题．

F. 最后是拓展学生视野，激发学生兴趣的“大开眼界”栏目．目的是开拓学生的眼界，使学生真切感受到数学好玩，以激发他们的数学学习兴趣．

例如，在概率一章，可以设置：（1）概率小常识：谁拿走了 500万大奖？（2）概率小幽默：最完美的男人；（3）概率小笑话：坐飞机的安全性；（4）概率奇闻：五胞胎的生日[7]．

概率这一章的内容及顺序建议如下：

A. 介绍确定性现象、随机现象、概率论的发展简史（可放入本章概览）．

B. 引入随机试验的概念，由此给出基本事件、样本空间、随机事件的概念．

C. 通过实例介绍随机事件的包含、相等、并、交、对立、互斥等关系．

D. 先介绍概率的概念，再介绍通过随机试验，用频率去估计概率．

E. 先指出用频率去估计概率的局限性，再介绍特殊的、理想化的古典概型可以克服用频率去估计概率的局限性．

F. 讨论概率的基本性质．

G. 先指出古典概型的局限性，再讲更特殊、更理想化的几何概型，最后讲随机模拟试验．

5.2 需要明确的几个重要概念

（1）概率和频率．

概率论是研究随机现象的科学，随机现象是通过随机试验来研究的．概率是反映随机事件发生的可能性大小的数值，人们常常用它来研究刻画随机现象．随机事件由随机试验来确定．这一理想化的理论数值无法通过具体实践获得．但人们可以通过大量的重复试验获得的频率来估计概率的大小．教师应该让学生明白：

A. 频率是用来估计概率的近似值．

B. 频率是一个在试验前不能确定的随机数，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同．

C. 概率是频率的稳定值，它是一个理想化的理论数值，与每次试验无关．它反映着随机事件的偶然性中的必然性．但某个随机事件的概率是0.1，不能理解为试验10次该事件就一定会发生1次．

除了以上3点之外，教师最好还应该知道[1]：

D. 用频率作概率的近似值虽然会有偏差，但这是最简单，常用的方法，其理论根据是“数理统计”中的“最大似然法”．

E. 如何估计用频率作概率造成的偏差及可信程度，可参见数理统计中的区间估计．

（2）随机试验、基本事件、随机事件．

随机试验是满足如下3个条件的一个数学概念：

① 试验的所有可能结果可以预知，且不止有一个结果．

② 每次试验只出现所有可能结果中的一个，但试验前无法确定哪一个结果会出现．

③ 试验可以在同一条件下重复进行．

随机试验的每一个结果叫做基本事件，也叫做样本点，所有样本点的集合叫做样本空间W．样本空间的子集A（空集和W除外）叫做随机事件．

（3）古典概型．

如果随机试验只有有限个不同的基本结果，并且每个结果出现的机会是均等的，这一随机试验就叫做古典概型．

在古典概型中，如果样本空间的基本事件总数目为n，随机事件A包含的基本事件数目为m，用m/n来描述随机事件A出现的可能性大小，称它为随机事件A的概率，记作P(A)，即有P(A)=m/n．

（4）几何概型．

如果一个随机试验有无限个不同的结果，并且每个结果出现的机会均等，而且由所有结果构成的样本空间W具有非零的、有限的几何度量（或测度，记为m(W)，如长度、面积、体积等），那么就称这一随机试验是几何概型．

当随机试验的样本空间W是某个区域，并且任一点落在度量相同的子区域内是等可能的，设m(A)表示W的一个子区域A的度量，则随机事件“点落在A内”的概率

P(A)=m(A)/m(W)．

5.3 教学反思及建议

5.3.1 教学目标

文章开头所提的前两节古典概型同课异构课，均采用了学案教学．学案教学对低年级的学生，对自律性较差和顺从性占优的学生，对低认知水平的认知技能学习，有一定的效果．但对高年级学生，对追求数学思想的渗透、数学思维品质的改善、数学意识的形成，以及数学问题解决能力的提高等高认知水平的学习，其效果适得其反！那种“发发学案，填填数学概念、原理空缺词汇，做做例题、习题，对对答案”的学案教学，对追求数学素养[8]的提高更是毫无帮助．不揭示数学概念的形成过程，不揭示数学原理的来龙去脉，不揭示数学问题解决的思路探索过程，学生怎么能理解数学，喜欢数学，为数学所折服？

应试教育是学案教学大行其道的根本原因．当局者迷，许多数学教师没有意识到，只要学生真正理解数学概念的本质，抓住数学原理结构的不变性，从高一开始就受到数学问题解决的良好教育，学生的考试成绩会更好．

建议严格按照三维目标的理论标准来设计教学目标[9]，不能只停留在应试计算，不求理解的工具性理解水平，而是要达到数学思想的渗透、数学思维品质的改善、数学能力的提高、数学意识的形成和学会问题解决的关系性理解水平，更要追求数学情感态度价值观目标的达成．

要实现这一追求数学素养的教学目标，数学教学要让学生与数学“谈恋爱”[10]，即：相识：创设情境，使其一见钟情；勾魂：问题驱动，使其欲罢不能；解惑：解决问题，使其豁然开朗；相知：理解数学，使其情意绵绵；动情：欣赏数学，使其情不自禁．

关于古典概型的教学目标、内容、过程设计的改进，可以参考林品吟、何小亚、朱源（2016）的设计：“古典概型的教学思考与教学新设计．”[11]

5.3.2 课程标准和考试要求

高中数学课程标准[12]要求学生理解古典概型及其概率计算公式，初步体会几何概型的意义．近十年的数学高考考试大纲都是要求考生理解古典概型及其概率计算公式，了解几何概型的意义．无论是课程标准还是高考大纲均没有要求几何概型概率的计算，但遗憾的是2008江苏卷第6题；2011年湖南卷理科第15题，福建卷理科第4题，江西卷理科第12题；2013年陕西卷理科第5题；2014湖北卷理科第7题，福建卷第14题，辽宁卷第14题；2015年陕西卷第11题等，均是几何概型概率的计算题．这一导向很不好，导致很多一线教师要求学生做老师、复习资料编写者、命题者自己也不知道答案对错的几何概型概率的计算题．

介绍几何概型的概念不是为了求一些等可能性不清楚的计算题，而是为随机模拟方法的引入奠定理论基础．随机模拟的探究活动是落实数学新课程要求的数学探究、数学建模目标的重要课程内容．因此，教学必须如此定位，不能南辕北辙地去搞应试训练．

5.3.3 几点建议

（1）古典概型题要特别注意等可能性．一道好的古典概型题，在条件中应巧妙地暗藏一个合理的（或几个等价的），大家都会接受的、等可能的有限基本事件组．若对等可能性的理解，不像掷骰子，摸球那样鲜明，最好在题中说明、限定．

（2）几何概型题要充分估计对图形，对分布的不同理解．否则也要在题中说明、限定．一个好的几何概型题，条件中应暗藏一个合理的，大家都会接受的“均匀分布”图形，不然就会产生分歧[13]．

（3）作为一项大型的考试，高考题不要去考一些随机试验都不清楚的所谓的“必然事件”、“不可能事件”和“随机事件”，更不能去考一些等可能性不清楚的几何概型的概率计算．

（4）请把教材、试卷中“将数学定理、生活常识或学科的结论当成必然事件；将错误的数学命题、违背常理的东西当成不可能事件”的习题删掉，坚决铲除那些等可能性不清楚的几何概型的概率计算题．

最后，需要指出的是，无论是古典概型还是几何概型，都不是真实世界中存在的内容，他们都是理想化的数学世界的内容，是对真实世界模拟的结果，是人类心智的构造！教师要让学生真正体会到：“数学源于现实，高于现实，用于现实，统领着现实！”

[1]何小亚．概率教学问题探讨[J]．中学数学研究（下），2012，（2）：3-5．

[2]李晓峰．辨得清方能解得对——例析几何概型的常见错误[J]．中学数学，2015，（9）：80-81．

[3]张敏，何小亚．高中数学教师古典概型等可能性偏见的调查报告[J]．数学教学，2015，（9）：44-46．

[4]人民教育出版社．普通高中数学课程标准实验教科书 数学3（必修，A版）[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[5]张敏，何小亚．贝特朗悖论之争的终结[J]．数学教育学报，2015，24（3）：54．

[6]单墫．普通高中数学课程标准实验教科书 数学3（必修系列）[M]．南京：江苏教育出版社，2005．

[7]广东省中等职业学校教材编写委员会．数学（选修）[M]．广州：广东科技出版社，2008．

[8]何小亚．学生“数学素养”指标的理论分析[J]．数学教育学报，2015，24（1）：13-20．

[9]何小亚．中学数学教学设计[M]．北京：科学出版社，2012．

[10] 詹欣豪，何小亚．数学归纳法教学的困难、对策与价值[J]．中学数学杂志，2014，（9）：6-9．

[11] 林品吟，何小亚，朱源．古典概型的教学思考与教学新设计[J]．中学数学杂志，2016，（5）：20-24．

[12] 中华人民共和国教育部．普通高中数课程标准（试验）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[13] 孙道椿，何小亚．谁对？谁错？[J]．中学数学研究，2009，（9）：33-35．

[14] 王梓坤．概率论基础及其应用[M]．北京：北京师范大学出版社，2007．

[15]B·B·格涅坚科．概率论教程[M]．丁寿田译．北京：人民教育出版社，1956．

Problems and Countermeasures in Learning and Teaching Probability Model in Senior High School

HE Xiao-ya
(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Using qualitative methods to reveal the problems of learning, teaching and compiling of textbooks in senior high school probability, to discuss the causes of the problems, and finally gives the countermeasures.

probability; learning; teaching; problem; reflection; countermeasure

G632.0

A

1004–9894（2017）01–0037–04

[责任编校：周学智]

2017–01–10

广东省高水平大学建设本科生拔尖创新人才培养项目（113-S80712）

何小亚（1964—），男，贵州荔波人，教授，主要从事数学教学与数学学习心理研究．